3.4.1一元一次方程的应用（一）（教学课件）湘教版2025-2026学年七年级数学上册

3.4.1 一元一次方程的应用（一）教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：3.4.1 一元一次方程的应用（一）副标题：初中七年级数学上册授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾问题 1：解一元一次方程的基本步骤是什么？（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。）问题 2：解下列方程：\(\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + 1}{2}\)（去分母得\(2(2x - 1)=3(x + 1)\)，去括号得\(4x - 2 = 3x + 3\)，移项合并得\(x = 5\)）。问题 3：用字母表示：若一个数为\(x\)，则它的 3 倍与 5 的和是______（答案：\(3x + 5\)）。引入：上节课学习了含分母的一元一次方程解法，本节课将运用一元一次方程解决实际问题，重点掌握列方程解应用题的基本思路和步骤。第 3 页：情境引入情境 1：开学初，小明买了 3 支钢笔和 2 个笔记本，共花了 32 元，已知每个笔记本 4 元，每支钢笔多少元？（生活中购物问题，可通过方程求解）。情境 2：学校图书馆计划购买一批新书，原计划购买 200 本，实际购买数量比原计划多 20%，实际购买多少本？（百分比问题，需找到等量关系）。情境 3：甲、乙两地相距 240 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，几小时可以到达？（行程问题，路程 = 速度 × 时间）。思考：这些实际问题如何转化为数学方程？列方程解应用题的关键是什么？本节课将学习列一元一次方程解决实际问题的方法。第 4 页：学习目标知识目标：理解列一元一次方程解应用题的基本思想；掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）；能运用一元一次方程解决简单的实际问题（如和差倍分问题、购物问题等）。能力目标：通过分析实际问题中的数量关系，培养抽象概括能力和数学建模能力；在列方程解决问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力。情感目标：感受数学与生活的密切联系，体会方程作为解决实际问题工具的实用性，增强应用数学的意识和信心。第 5 页：列一元一次方程解应用题的基本步骤步骤 1：审 —— 审题。认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，找出题目中的数量关系。步骤 2：设 —— 设未知数。根据题意设未知数，一般有直接设元（直接设所求量为\(x\)）和间接设元（设与所求量相关的量为\(x\)）两种方法，初中阶段以直接设元为主。步骤 3：列 —— 列方程。根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式（一元一次方程）。步骤 4：解 —— 解方程。运用一元一次方程的解法求出未知数的值。步骤 5：验 —— 检验。检验所求的解是否符合原方程，同时是否符合实际意义。步骤 6：答 —— 作答。写出答案，回答题目中的问题。口诀记忆：“审清题意找关系，设好未知列方程，解出答案勤检验，最后作答要完整。”第 6 页：例题讲解 1—— 和差倍分问题例 1：某班共有学生 45 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 9 人，求该班男生和女生各有多少人？解析：步骤 1：审题。已知总人数 45 人，男生人数 = 女生人数 ×2 - 9。步骤 2：设未知数。设女生人数为\(x\)人，则男生人数为\((2x - 9)\)人。步骤 3：列方程。男生人数 + 女生人数 = 总人数→\(x + (2x - 9)=45\) 。步骤 4：解方程。\(3x - 9 = 45\)→\(3x = 54\)→\(x = 18\) 。步骤 5：检验。女生 18 人，男生\(2×18 - 9 = 27\)人，总人数\(18 + 27 = 45\)人，符合题意。步骤 6：作答。该班男生有 27 人，女生有 18 人。方法总结：和差倍分问题的关键是找出数量间的倍数关系和和差关系，设其中一个量为未知数，用含未知数的式子表示另一个量，再根据总和或差列出方程。第 7 页：例题讲解 2—— 购物问题例 2：小明去文具店买文具，买了 3 支铅笔和 2 块橡皮，共支付 10 元；已知每支铅笔的价格比每块橡皮贵 1 元，求每支铅笔和每块橡皮的价格各是多少元？解析：步骤 1：审题。3 支铅笔总价 + 2 块橡皮总价 = 10 元，铅笔单价 = 橡皮单价 + 1 元。步骤 2：设未知数。设每块橡皮的价格为\(x\)元，则每支铅笔的价格为\((x + 1)\)元。步骤 3：列方程。\(3(x + 1)+2x = 10\) 。步骤 4：解方程。\(3x + 3 + 2x = 10\)→\(5x = 7\)→\(x = 1.4\) 。步骤 5：检验。橡皮 1.4 元，铅笔\(1.4 + 1 = 2.4\)元，总价\(3×2.4 + 2×1.4 = 7.2 + 2.8 = 10\)元，符合题意。步骤 6：作答。每支铅笔 2.4 元，每块橡皮 1.4 元。方法总结：购物问题的等量关系是 “总费用 = 单价 × 数量”，需明确不同商品的单价、数量与总费用的关系。第 8 页：例题讲解 3—— 行程问题（相遇问题）例 3：甲、乙两地相距 300 千米，一辆快车从甲地开往乙地，每小时行 80 千米；同时一辆慢车从乙地开往甲地，每小时行 70 千米。两车出发后几小时相遇？解析：步骤 1：审题。相遇时快车行驶路程 + 慢车行驶路程 = 总路程 300 千米，时间相同。步骤 2：设未知数。设两车出发后\(x\)小时相遇。步骤 3：列方程。快车路程 + 慢车路程 = 总路程→\(80x + 70x = 300\) 。步骤 4：解方程。\(150x = 300\)→\(x = 2\) 。步骤 5：检验。2 小时快车行驶\(80×2 = 160\)千米，慢车行驶\(70×2 = 140\)千米，总路程\(160 + 140 = 300\)千米，符合题意。步骤 6：作答。两车出发后 2 小时相遇。方法总结：相遇问题的基本等量关系是 “甲路程 + 乙路程 = 总路程”，路程 = 速度 × 时间。第 9 页：例题讲解 4—— 工程问题例 4：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。若甲、乙两人合作，几天可以完成这项工程？解析：步骤 1：审题。将工程总量看作单位 “1”，甲工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙工作效率为\(\frac{1}{15}\)，合作效率 = 甲效率 + 乙效率。步骤 2：设未知数。设甲、乙合作\(x\)天可以完成这项工程。步骤 3：列方程。合作效率 × 时间 = 工作总量→\((\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x = 1\) 。步骤 4：解方程。去分母（乘 30）→\((3 + 2)x = 30\)→\(5x = 30\)→\(x = 6\) 。步骤 5：检验。合作 6 天，甲完成\(\frac{6}{10}\)，乙完成\(\frac{6}{15}\)，总和\(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1\)，符合题意。步骤 6：作答。甲、乙两人合作 6 天可以完成这项工程。方法总结：工程问题中常把工作总量看作单位 “1”，工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，等量关系为 “各部分工作量之和 = 总工作量”。第 10 页：找等量关系的常用方法方法 1：抓住关键词。如 “等于”“是”“比”“多”“少”“共”“倍”“几分之几” 等，这些词是等量关系的直接体现。例：“A 比 B 的 2 倍多 3”→\(A = 2B + 3\)。方法 2：利用基本公式。如行程问题（路程 = 速度 × 时间）、面积体积公式（长方形面积 = 长 × 宽）、购物问题（总价 = 单价 × 数量）等。例：路程问题中，“路程和 = 速度和 × 时间”。方法 3：分析数量变化。如 “增加了”“减少了”“提高了”“降低了” 等，明确变化前后的数量关系。例：“商品原价 100 元，降价\(x\)元后售价为 80 元”→\(100 - x = 80\)。方法 4：借助图表。对于复杂问题，可通过画线段图、列表等方式直观呈现数量关系。例：相遇问题中，用线段图表示总路程与两车行驶路程的关系。第 11 页：例题讲解 5—— 百分比问题例 5：某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果仍获利 20 元，这件商品的进价是多少元？解析：步骤 1：审题。进价 ×(1 + 50%)= 标价，标价 ×80%= 售价，售价 - 进价 = 利润 20 元。步骤 2：设未知数。设这件商品的进价为\(x\)元。步骤 3：列方程。售价 - 进价 = 利润→\(x(1 + 50\%)×0.8 - x = 20\) 。步骤 4：解方程。\(1.5x×0.8 - x = 20\)→\(1.2x - x = 20\)→\(0.2x = 20\)→\(x = 100\) 。步骤 5：检验。进价 100 元，标价 150 元，8 折后售价 120 元，利润\(120 - 100 = 20\)元，符合题意。步骤 6：作答。这件商品的进价是 100 元。方法总结：百分比问题需明确进价、标价、售价、利润之间的关系，利润 = 售价 - 进价。第 12 页：课堂练习 1练习 1：某班女生人数是男生人数的\(\frac{3}{4}\)，全班共有 49 人，求男生和女生各有多少人？练习 2：小明买了 5 本练习本和 2 支钢笔，共花了 20 元，已知每支钢笔的价格是练习本的 3 倍，求每本练习本和每支钢笔的价格。第 13 页：课堂练习 2练习 3：A、B 两地相距 180 千米，甲骑自行车从 A 地出发，每小时行 15 千米；乙骑摩托车从 B 地出发，每小时行 45 千米，两人同时出发相向而行，几小时后相遇？练习 4：一项工作，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成，甲先做 3 天后，余下的由乙单独做，还需要多少天完成？第 14 页：易错点提醒审题不清，未理解题目中的数量关系，导致等量关系错误（如将 “多” 理解为 “少”）。设未知数时未写单位，或单位不统一（如速度单位千米 / 小时与时间单位分钟未统一）。列方程时遗漏部分数量，如购物问题中忘记计算某种商品的费用。解方程过程出错，如移项未变号、去分母漏乘等。检验环节缺失，未验证解是否符合实际意义（如人数、天数出现负数或小数不合理情况）。作答不完整，未明确回答题目中的问题。第 15 页：课堂小结本节课学习了列一元一次方程解应用题的基本步骤：审、设、列、解、验、答。掌握了几种常见实际问题的解法：和差倍分问题、购物问题、行程问题（相遇）、工程问题、百分比问题。学会了找等量关系的常用方法：抓住关键词、利用基本公式、分析数量变化、借助图表。明确了解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型（一元一次方程），通过解方程解决问题。第 16 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页练习二十三第 1、2、3 题。提高作业：（1）某工厂今年生产零件 5000 个，比去年增产 25%，去年生产零件多少个？（2）甲、乙两人从相距 100 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，甲带了一只狗，狗每小时行 10 千米，狗与甲同时出发，碰到乙后立即返回跑向甲，碰到甲后又立即返回跑向乙，直到两人相遇，狗共跑了多少千米？拓展作业：编一道用一元一次方程解决的实际问题，并写出解答过程。2025-2026学年湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 新课导入 一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.探索新知 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度； 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度.设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则轮船顺水航行的速度为_______ km/h，逆水航行的速度为_______ km/h.(x+2)(x-2)轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程在航行过程中，你还能找到什么等量关系？设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h，逆水航行的速度为(x-2) km/h.轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程4h5h(x+2)km/h(x-2)km/h4(x+2)5(x-2)=解得x=18 .因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h . 1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇?例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 .例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.根据题意，得 4x+3(16-x)=60 .解得 x=12 .因此，凳子有 16-12=4 (把) .答：有12张椅子，4把凳子. 1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.根据题意，得 4（13 + x）= 40 + x.解得 x = – 4. 即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？ 例2题中有什么等量关系？甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？例2 甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线? 用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤：实际问题分析问题找出等量关系设出未知数列出方程检验解的合理性解方程这一过程一般包括以下几个步骤：1. 审：审题，分析题目中的数量关系；2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；3. 列：根据题目中的数量关系列方程；4. 解：解这个方程；5. 答：检验并作答.课堂练习【课本P113 练习 第1题】1. (1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm. 根据题意，得 2x+2(x-5)=60解得 x=12.5 答：该长方形的长为12.5 cm.  【课本P113 练习 第1题】1. (2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场. 根据题意，得 3x+(14-5-x)=19 解得 x=5 答：该队共胜5场.【课本P113 练习 第2题】应用1 顺逆流问题    . . 返回应用2 配套问题 C  返回3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？  返回应用3 工程问题4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅与徒弟每小时各检修多长的管道.       返回用一元一次方程解决有关实际问题的步骤：实际问题分析问题找出等量关系设出未知数列出方程检验解的合理性解方程必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！