3.4.2一元一次方程的应用（二）（教学课件）湘教版2025-2026学年七年级数学上册

3.4.2 一元一次方程的应用（二）教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：3.4.2 一元一次方程的应用（二）副标题：初中七年级数学上册授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾问题 1：列一元一次方程解应用题的基本步骤是什么？（审、设、列、解、验、答。）问题 2：行程问题中相遇问题的等量关系是什么？（甲路程 + 乙路程 = 总路程。）问题 3：工程问题中常用的基本关系是什么？（工作总量 = 工作效率 × 工作时间，通常将工作总量看作单位 “1”。）引入：上节课学习了用一元一次方程解决和差倍分、购物、简单行程等问题，本节课将学习更复杂的实际应用问题，如追及问题、分段计费问题、配套问题等，进一步提升列方程解应用题的能力。第 3 页：情境引入情境 1：学校运动会上，小明和小亮进行百米赛跑，小明让小亮先跑 5 米，小明每秒跑 7 米，小亮每秒跑 6 米，小明出发后几秒能追上小亮？（追及问题，需分析速度、时间与路程的关系。）情境 2：某市出租车收费标准为：3 千米以内（含 3 千米）收费 8 元，超过 3 千米的部分每千米收费 1.5 元，小明乘出租车行驶了\(x\)千米（\(x > 3\)），付费 14 元，求行驶的路程。（分段计费问题，需分阶段计算费用。）情境 3：某车间生产螺栓和螺母，1 个螺栓配 2 个螺母，每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 18 个，现有 28 人，如何分配人力使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？（配套问题，需明确数量比例关系。）思考：这些复杂问题的等量关系如何确立？本节课将学习解决这类问题的方法。第 4 页：学习目标知识目标：掌握追及问题、分段计费问题、配套问题的等量关系确立方法；能运用一元一次方程解决较复杂的实际应用问题；进一步熟练列方程解应用题的基本步骤。能力目标：通过分析复杂问题中的数量关系，提高逻辑思维能力和数学建模能力；在解决不同类型问题的过程中，培养灵活运用知识的能力。情感目标：体验用方程解决复杂实际问题的成就感，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣和主动性。第 5 页：追及问题问题特征：两个物体同向运动，一个物体追赶另一个物体，通常存在路程差或时间差。基本等量关系：同地不同时出发：前者路程 = 后者路程（追赶者行驶路程 = 被追者先行驶路程 + 被追者后行驶路程）。同时不同地出发：追赶者路程 - 被追者路程 = 初始距离（路程差）。关键公式：路程 = 速度 × 时间。图示分析：用线段图表示两者的路程关系，直观呈现追及点的位置和路程差。第 6 页：例题讲解 1—— 追及问题例 1：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲的速度是每小时 3 千米，乙的速度是每小时 5 千米，甲在上午 10 点经过 A 地，乙在上午 12 点经过 A 地，乙在下午几点能追上甲？解析：步骤 1：审题。甲比乙早 2 小时经过 A 地，乙速度比甲快，追及时两人行驶路程相等。步骤 2：设未知数。设乙从 A 地出发后\(x\)小时追上甲，则甲从 A 地到被追上共行驶\((x + 2)\)小时。步骤 3：列方程。乙行驶路程 = 甲行驶路程→\(5x = 3(x + 2)\) 。步骤 4：解方程。\(5x = 3x + 6\)→\(2x = 6\)→\(x = 3\) 。步骤 5：检验。乙 3 小时行驶\(5×3 = 15\)千米，甲\(3 + 2 = 5\)小时行驶\(3×5 = 15\)千米，路程相等，符合题意。步骤 6：作答。乙在上午 12 点出发，3 小时后是下午 3 点，所以乙在下午 3 点能追上甲。方法总结：追及问题需明确两者的出发时间、地点和速度关系，根据路程相等列方程。第 7 页：分段计费问题问题特征：费用计算分不同阶段，各阶段计费标准不同，总费用为各阶段费用之和。常见类型：出租车计费、水电费、电话费、阶梯票价等。等量关系：总费用 = 第一阶段费用 + 第二阶段费用 +……+ 第\(n\)阶段费用。解题关键：明确分段点和各阶段的计费标准，判断所求量处于哪个阶段，或分阶段表示总费用。第 8 页：例题讲解 2—— 分段计费问题例 2：某市居民生活用电收费标准如下：每月用电量不超过 100 度的部分，每度 0.5 元；超过 100 度的部分，每度 0.6 元。若某户居民 10 月份电费为 62 元，求该户居民 10 月份用电量。解析：步骤 1：审题。电费分两段计费，100 度以内费用为\(100×0.5 = 50\)元，超过部分每度 0.6 元，总电费 62 元超过 50 元，说明用电量超过 100 度。步骤 2：设未知数。设该户居民 10 月份用电量为\(x\)度（\(x > 100\)）。步骤 3：列方程。100 度以内费用 + 超过部分费用 = 总电费→\(100×0.5 + 0.6(x - 100)=62\) 。步骤 4：解方程。\(50 + 0.6x - 60 = 62\)→\(0.6x - 10 = 62\)→\(0.6x = 72\)→\(x = 120\) 。步骤 5：检验。100 度费用 50 元，超过 20 度费用\(20×0.6 = 12\)元，总费用\(50 + 12 = 62\)元，符合题意。步骤 6：作答。该户居民 10 月份用电量为 120 度。方法总结：分段计费问题需先判断总量是否超过分段点，再按对应阶段的计费标准列方程。第 9 页：配套问题问题特征：生产或制作过程中，不同部件需按一定比例搭配使用，需合理分配资源使部件刚好配套。基本等量关系：部件 A 的数量 × 配套比例 = 部件 B 的数量（或部件 A 数量 = 部件 B 数量 × 配套比例）。常见类型：螺栓与螺母配套、桌面与桌腿配套、上衣与裤子配套等。解题关键：明确两种部件的配套比例，根据比例关系列方程。第 10 页：例题讲解 3—— 配套问题例 3：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？解析：步骤 1：审题。生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 22 人，螺母数量 = 螺钉数量 ×2。步骤 2：设未知数。设安排\(x\)名工人生产螺钉，则安排\((22 - x)\)名工人生产螺母。步骤 3：列方程。螺母总产量 = 螺钉总产量 ×2→\(2000(22 - x)=2×1200x\) 。步骤 4：解方程。\(44000 - 2000x = 2400x\)→\(4400x = 44000\)→\(x = 10\) 。步骤 5：检验。生产螺钉 10 人，产量\(10×1200 = 12000\)个；生产螺母 12 人，产量\(12×2000 = 24000\)个，\(24000 = 2×12000\)，刚好配套，符合题意。步骤 6：作答。应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。方法总结：配套问题需根据 “部件数量 × 配套比例” 的关系列方程，注意表示出两种部件的总产量。第 11 页：例题讲解 4—— 航行问题例 4：一艘船在静水中的速度为每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花了 8 小时，已知水流速度为每小时 3 千米，从乙地返回甲地需要多少小时？解析：步骤 1：审题。顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度，甲、乙两地距离不变。步骤 2：设未知数。设从乙地返回甲地需要\(x\)小时。步骤 3：列方程。顺水路程 = 逆水路程→\((15 + 3)×8=(15 - 3)x\) 。步骤 4：解方程。\(18×8 = 12x\)→\(144 = 12x\)→\(x = 12\) 。步骤 5：检验。顺水速度 18 千米 / 小时，8 小时行驶\(18×8 = 144\)千米；逆水速度 12 千米 / 小时，12 小时行驶\(12×12 = 144\)千米，路程相等，符合题意。步骤 6：作答。从乙地返回甲地需要 12 小时。方法总结：航行问题需区分顺水（顺风）和逆水（逆风）速度，利用路程不变列方程。第 12 页：复杂问题分析方法方法 1：分层分析法。将复杂问题分解为多个简单部分，分别分析各部分的数量关系，再整合建立等量关系。方法 2：列表法。将已知量、未知量、相关量分类填入表格，清晰呈现数量关系，便于发现等量关系。例：追及问题中列表：物体速度（千米 / 小时）时间（小时）路程（千米）甲3\(x + 2\)\(3(x + 2)\)乙5\(x\)\(5x\)方法 3：图示法。用线段图、示意图等直观表示问题中的数量关系，尤其是行程问题、配套问题等。第 13 页：课堂练习 1练习 1：甲以每小时 4 千米的速度步行去学校，乙比甲晚 4 小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行 12 千米，乙几小时可追上甲？练习 2：某通讯公司手机话费收费标准为：每月月租费 20 元，通话费每分钟 0.2 元，若某用户某月通话时间为\(x\)分钟，该月话费为 50 元，求通话时间。第 14 页：课堂练习 2练习 3：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，1 个盒身与 2 个盒底配成 1 个罐头盒，现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？练习 4：一架飞机在两城之间飞行，顺风时需 5 小时，逆风时需 6 小时，已知风速为每小时 24 千米，求两城之间的距离。第 15 页：易错点提醒追及问题中未正确区分出发时间和路程关系，导致等量关系错误（如同地不同时出发时忘记计算先行路程）。分段计费问题中未判断总量所在阶段，直接按单一标准计算（如超过分段点却按低标准计费）。配套问题中混淆配套比例，如 “1 配 2” 错误列为部件 A 数量 = 部件 B 数量 ×2（正确应为部件 B 数量 = 部件 A 数量 ×2）。航行问题中混淆顺水和逆水速度公式（顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度）。设未知数时未明确单位，或单位换算错误（如速度单位千米 / 小时与时间单位分钟未统一）。第 16 页：课堂小结本节课学习了三种复杂实际问题的解法：追及问题、分段计费问题、配套问题，以及航行问题。掌握了各类问题的等量关系：追及问题：追赶者路程 = 被追者路程（或路程差 = 初始距离）。分段计费问题：总费用 = 各阶段费用之和。配套问题：部件数量 × 配套比例 = 对应部件数量。航行问题：顺水（逆风）路程 = 逆水（顺风）路程。进一步巩固了列方程解应用题的基本步骤，学会运用分层分析、列表、图示等方法分析复杂问题。第 17 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页练习二十四第 1、2、3 题。提高作业：（1）一列火车匀速行驶，经过一条长 300 米的隧道需要 20 秒的时间，隧道顶部有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 秒，求火车的长度。（2）某服装厂要生产一批某种型号的学生服，已知每 3 米长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 600 米长的这种布料生产学生服，应分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？拓展作业：收集生活中的分段计费实例，编一道应用题并解答。2025-2026学年湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 情境导入 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇. 那么甲车行了______km，乙车行了______kmA、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____.20x30x20x+30x20x+30x=50010 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆．探索新知 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？同时出发，距离相等10 km/h上午10时到15 km/h上午9时30分到本问题中有什么等量关系？小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 时间=路程÷速度 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h应用一元一次方程解决问题的步骤：1. 审：审题，分析题目中的数量关系；2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；3. 列：根据题目中的数量关系列方程；4. 解：解这个方程；5. 答：检验并作答.某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10 km，可早到6 min ；若每小时骑 8 km，就迟到6 min，则他家到工厂的路程是_______.8 km 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？分析：本题中的等量关系： (1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1； (2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2 .例3解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人.根据题意，得 45-x=2[39-(x-1)].解得 x=35 .于是，x-1=35-1=34 .答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？例3某班部分同学周日到公园游玩，休息时发现路边有若干条长凳，如果每3个同学坐一条长凳，则刚好还剩下一条长凳无人坐；如果每2个同学坐一条长凳，则还剩3个同学没有凳子坐. 路边共有多少条长凳?解：设路边共有x条长凳. 根据题意，得3(x-1)=2x+3 ，解得 x=6 .答：路边共有6条长凳.例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.观察下面植树示意图，想一想：相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1)设原有树苗x棵，由题意可得下表：x+215(x+21-1)x5.5(x-1)方案一和方案二的路长相等吗？设原有树苗x棵，由题意可得下表：解：设原有树苗x棵，根据题意，得 5(x+21-1)=5.5(x-1) .解得 x = 211.因此，原有树苗211棵，这段公路长为 5×(211+21-1)=5×231=1155(m) .答：原有树苗211棵，这段公路长1155m.相等1.在一个圆形花坛的外围种植长春花，若每隔0.5 m种植1株，最后还剩3株；若每隔0.4 m种植1株，还需要购置12株，则原有长春花_____株.632.绿化环境，美化生活. 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵.若每隔2m栽1棵，则树苗缺150棵；若每隔3m栽1棵，则树苗多出50棵. 求这段公路的长. 课堂练习1.一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30 min 出发，为赶上队伍，甲以6 km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍?解：设甲用t h就可追上队伍，根据等量关系，得4(0.5+t)=6t解得 t=1答：甲用1 h就可追上队伍.【课本P115 练习 第1题】2. 某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m. 为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？ 路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)本问题中有什么等量关系？【课本P115 练习 第2题】解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得 25×(x-1)=30×(56-1) 解得 x=67 答：需要安装节能灯67盏.路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)3.甲、乙两列火车从相距480 km的A，B两地同时出发，相向而行，甲火车每小时行驶120 km，乙火车每小时行驶100 km，经过多长时间两列火车相距40 km？应用1 行程问题   返回 A  返回       （3）求这列火车的长度.  返回 （1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？    返回应用一元一次方程解决问题的步骤：1. 审：审题，分析题目中的数量关系；2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；3. 列：根据题目中的数量关系列方程；4. 解：解这个方程；5. 答：检验并作答.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！