1.6.1 有理数的乘方（教学课件）湘教版2025-2026学年七年级数学上册

1.6.1 有理数的乘方教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：1.6.1 有理数的乘方副标题：小学六年级数学下册授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习回顾问题 1：有理数乘法法则中，多个数相乘时符号如何确定？（负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负。）问题 2：计算：3×3×3；（-2）×（-2）×（-2）×（-2）。（答案：27；16。）问题 3：小学学过的平方和立方的意义是什么？（a×a 记作 a²，读作 a 的平方或 a 的二次方；a×a×a 记作 a³，读作 a 的立方或 a 的三次方。）引入：当相同的因数相乘次数较多时，如 10 个（-3）相乘，用乘法表示繁琐，有没有更简洁的表示方法？本节课学习有理数的乘方。第 3 页：情境引入折纸问题：一张厚度为 0.1 毫米的纸，对折 1 次后厚度为 0.1×2 毫米；对折 2 次后厚度为 0.1×2×2 毫米；对折 3 次后厚度为 0.1×2×2×2 毫米…… 对折 n 次后厚度为多少毫米？列式观察：对折 1 次：0.1×2；对折 2 次：0.1×2×2；对折 3 次：0.1×2×2×2…… 发现相同因数 2 的乘法次数随对折次数增加，引出乘方的必要性。提出问题：如何用简洁的方式表示多个相同因数的乘法？引出乘方的定义。第 4 页：学习目标知识目标：理解有理数乘方的意义；掌握乘方的表示方法和各部分名称；能熟练进行有理数的乘方运算，正确确定乘方结果的符号。能力目标：通过从乘法到乘方的转化，培养抽象概括能力；在乘方运算中，提高运算准确性和符号判断能力。情感目标：感受乘方在简化运算中的作用，体会数学符号的简洁美，激发对数学学习的兴趣。第 5 页：乘方的定义定义内容：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。表示形式：n 个 a 相乘，即 a×a×a×…×a（n 个 a），记作 aⁿ。各部分名称：a 叫做底数（表示相同的因数）。n 叫做指数（表示相同因数的个数）。aⁿ读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。实例说明：（-2）×（-2）×（-2）=（-2）³，其中底数是 - 2，指数是 3，读作 “-2 的 3 次方” 或 “-2 的 3 次幂”。第 6 页：乘方与乘法的关系核心关系：乘方是特殊的乘法运算（因数相同的乘法），幂是乘方运算的结果。实例转化：3×3 = 3²（2 个 3 相乘，指数为 2）。（-5）×（-5）×（-5）=（-5）³（3 个 - 5 相乘，指数为 3）。1×1×1×1×1 = 1⁵（5 个 1 相乘，指数为 5）。注意事项：指数 n 是正整数，当 n=1 时，a¹=a（通常省略指数 1）。第 7 页：有理数乘方的符号法则正数的任何次幂都是正数。实例：2²=4，2³=8，2⁴=16（正数的平方、立方、四次方均为正数）。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。实例：（-2）³=-8（指数 3 是奇数，结果为负）；（-2）⁴=16（指数 4 是偶数，结果为正）。0 的任何正整数次幂都是 0。实例：0³=0，0⁵=0（0 乘任何数都得 0，多次乘 0 结果仍为 0）。第 8 页：乘方运算的计算步骤步骤 1：确定底数和指数，明确是几个相同因数相乘。步骤 2：根据底数的符号和指数的奇偶性确定幂的符号（正数正；负数奇负偶正；0 正整数次幂为 0）。步骤 3：计算底数绝对值的乘方（即相同因数绝对值的乘积）。步骤 4：结合符号写出最终结果。实例演示：计算（-3）⁴步骤 1：底数是 - 3，指数是 4，表示 4 个 - 3 相乘。步骤 2：底数为负，指数 4 是偶数→符号为正。步骤 3：绝对值计算：3⁴=3×3×3×3=81。步骤 4：结果为 + 81（简写为 81）。第 9 页：例题讲解 1—— 正数和 0 的乘方运算例 1：计算下列各题：（1）5³ （2）2⁴ （3）0⁷ （4）（\(\frac{1}{2}\)）²步骤解析：（1）5³ 表示 3 个 5 相乘：5×5×5=125（正数的奇次幂为正）。（2）2⁴表示 4 个 2 相乘：2×2×2×2=16（正数的偶次幂为正）。（3）0⁷表示 7 个 0 相乘：0×0×…×0=0（0 的正整数次幂为 0）。（4）（\(\frac{1}{2}\)）² 表示 2 个\(\frac{1}{2}\)相乘：\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{1}{4}\)（正数的偶次幂为正）。答案总结：（1）125；（2）16；（3）0；（4）\(\frac{1}{4}\)。第 10 页：例题讲解 2—— 负数的乘方运算例 2：计算下列各题：（1）（-3）² （2）（-2）⁵ （3）（-1）⁴ （4）-3²步骤解析：（1）（-3）² 表示 2 个 - 3 相乘：（-3）×（-3）=9（负数偶次幂为正）。（2）（-2）⁵表示 5 个 - 2 相乘：（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）=-32（负数奇次幂为负）。（3）（-1）⁴表示 4 个 - 1 相乘：（-1）×（-1）×（-1）×（-1）=1（负数偶次幂为正）。（4）-3² 表示 3² 的相反数：-（3×3）=-9（注意与（-3）² 的区别）。答案总结：（1）9；（2）-32；（3）1；（4）-9。第 11 页：例题讲解 3—— 易混淆的乘方形式辨析例 3：比较下列各组数的异同并计算：（1）（-2）³ 与 - 2³ （2）（-\(\frac{1}{2}\)）² 与 -\(\frac{1}{2²}\)步骤解析：（1）（-2）³：底数是 - 2，指数是 3，结果为（-2）×（-2）×（-2）=-8；-2³：底数是 2，指数是 3，结果为 -（2×2×2）=-8。两者结果相同，但表示意义不同（前者是 3 个 - 2 相乘，后者是 3 个 2 相乘的相反数）。（2）（-\(\frac{1}{2}\)）²：底数是 -\(\frac{1}{2}\)，指数是 2，结果为（-\(\frac{1}{2}\)）×（-\(\frac{1}{2}\)）=\(\frac{1}{4}\)；-\(\frac{1}{2²}\)：底数是 2，指数是 2，结果为 -\(\frac{1}{4}\)。两者意义和结果均不同。答案总结：（1）-8；-8；（2）\(\frac{1}{4}\)；-\(\frac{1}{4}\)。第 12 页：例题讲解 4—— 乘方的实际应用例 4：某种细胞每 30 分钟分裂一次，每次 1 个细胞分裂成 2 个。那么 1 个细胞经过 3 小时后可分裂成多少个细胞？步骤解析：3 小时 = 6 个 30 分钟，即分裂 6 次。分裂 1 次：2 个 = 2¹；分裂 2 次：2×2=2² 个；…… 分裂 n 次：2ⁿ个。3 小时后细胞个数：2⁶=2×2×2×2×2×2=64（个）。答案总结：1 个细胞经过 3 小时后可分裂成 64 个细胞。第 13 页：方法总结有理数乘方运算的核心：明确底数和指数，先定符号，再算绝对值的乘方。关键技巧：区分（-a）ⁿ与 - aⁿ：（-a）ⁿ的底数是 - a，指数是 n；-aⁿ的底数是 a，指数是 n，结果是 aⁿ的相反数。符号判断口诀：“正全正，负奇负，负偶正，零正幂为零”（正数任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0）。分数乘方：底数是分数时，需加括号，如（\(\frac{2}{3}\)）³ 表示 3 个\(\frac{2}{3}\)相乘，而非\(\frac{2³}{3}\)。第 14 页：课堂练习 1练习 1：计算下列各题：（1）3⁴ （2）（-4）² （3）（-1）⁵ （4）0¹⁰ （5）（\(\frac{2}{3}\)）³练习 2：计算：-5²；-（-2）³；（-\(\frac{1}{3}\)）²。第 15 页：课堂练习 2练习 3：比较大小：（-2）⁴与 - 2⁴；（-3）³ 与（-2）³。练习 4：一个边长为 2 厘米的正方形，边长扩大到原来的 3 倍后，面积是原来的多少倍？（用乘方表示并计算）第 16 页：易错点提醒混淆（-a）ⁿ与 - aⁿ的意义和结果，如将（-3）² 错误计算为 - 9。底数是分数或负数时忘记加括号，如将（-\(\frac{1}{2}\)）³ 错误写成 -\(\frac{1}{2³}\)。指数与底数的位置颠倒，或误将指数乘到底数上，如 3⁴错误计算为 3×4=12。对 0 的乘方理解错误，认为 0 的任何次幂都是 0（忽略指数为 0 的情况，初中阶段暂不涉及）。计算负底数的高次幂时，符号判断错误，尤其是指数为奇数时误得正数。第 17 页：课堂小结本节课学习了乘方的定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，记作 aⁿ，其中 a 是底数，n 是指数，结果是幂。掌握了有理数乘方的符号法则：正数任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0。学会了区分易混淆的乘方形式（如（-a）ⁿ与 - aⁿ），能熟练进行乘方运算。理解了乘方在实际问题中的应用，体会到乘方对简化相同因数乘法的作用。第 18 页：作业布置基础作业：教材第 [X] 页练习九第 1、2、3 题。提高作业：计算：（-2）⁴ + （-3）³；-（-1）⁵ × （-2）²；（-\(\frac{1}{2}\)）³ × （-2）⁴。拓展作业：观察下列算式：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32…… 你能发现 2ⁿ的个位数字变化规律吗？预测 2²⁰的个位数字是多少。2025-2026学年湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 计算下列正方形的面积和正方体的体积.(单位：m)面积：5×5体积：5×5×5简记：52简记：53读作：五的平方读作：五的立方S正方形=5×5=52=25V正方体= 5×5×5=53=125S正方形=5×5=52=25V正方体= 5×5×5=53=125类似地，5×5×5×5=5×5×5×5×5=5×5×···×5=54555nn 个5a×a×a×a×a=a5a×a×···×a=n 个aan它们都是乘法，并且它们各自的因数都相同.观察左边的式子，你有什么发现？有理数的乘方 一般地，a 是有理数，n 是正整数，则把a × a × a ×…×a 简记为 an ，n 个a其中，an 读作“a 的 n 次方” 或“a 的 n 次幂”.即规定求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.幂底数(相同的因数)指数(因数的个数) (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)可以简记为什么？ (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)简记为________个(-2)(-2)55特别地，一个数 a 可以看作 a1 ，通常将指数 1 省略不写，只写作 a.a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方. (1) (-6)3，底数是-6，指数是3； 【课本P47 练习 第1题】填空：(-1)325 3 -4 0.3 4 (-2)4 与 -24 的含义相同吗？它们的结果相同吗？(-2)4 表示 “-2 的 4 次方”,它的结果为16 .-24 表示“2 的 4 次方的相反数”,它的结果为-16.(-2)4 与-24的含义不同，结果也不同. (-2)3 与-23 的含义相同吗？它们的结果相同吗？(-2)3 表示 “-2 的 3 次方”,它的结果为-8 .-23 表示“2 的 3 次方的相反数”,它的结果为-8.(-2)4 与-24的含义不同，结果相同. （1） 07 ； （2） 16 ；（3） 34 ； （4）43 . 计算：解(1) 07＝0×0×0×0×0×0×0＝0 .(2) 16＝1×1×1×1×1×1＝1 .(3) 34＝3×3×3×3＝81 .(4) 43＝4×4×4＝64 .计算： 解(1) 0.23＝0.2×0.2×0.2＝0.008 .(2) (-3)3＝(-3)× (-3)× (-3)＝-27 .    在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来.结合例1、例2，你认为底数为正数的任何正整数次幂是正数吗？底数为负数呢？底数为0呢？16 ＝1；34 ＝81 ； 43 ＝64 ； 0.23 ＝0.008 .  正数的任何正整数次幂都是正数；07＝0. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0． 直接判断下列各式计算结果的符号：（1）(-4)2×(-3)3； （2）-23×(-2)3.(1)的结果为负，(2)的结果为正.直接判断下列各式计算结果的符号：解(1)的计算结果为负；(2)的计算结果为负.【课本P47 练习 第4题】课堂练习1.关于式子(-5)4，下列说法错误的是( ) A.表示 (-5)×(-5)×(-5)×(-5) B. -5 是底数，4 是指数 C.-5 是底数，4 是幂 D.4 是指数，(-5)4 是幂C B3.计算(-3)2的结果是( )A. -6 B. 6 C. -9 D. 9 4. -23等于( )A. 6 B. -6 C. 8 D. -8 DD5. 若(a+3)2+|b－4|=0，则ab的值为_______.81 （2）(-2)3=(-3)2； （3） -32 =(-3)2. 6. 判断下列各等式是否成立，并说明理由. （1） 32 = 2 × 3 = 6；不成立，32 = 3×3 = 9【课本P47 练习 第2题】 7. 计算：解(1) (-3)4 ＝ (-3)×(-3)×(-3)×(-3)＝ 81 .(2) (-4)3 ＝ (-4)×(-4)×(-4)＝-64 .(3) (-8)3 ＝ (-8)×(-8)×(-8)＝-512 .  【课本P47 练习 第3题】 A 2. 下列说法正确的是( )C  返回3. ［2025衡阳期末］下列各组式子中，运算结果相同的是( )A  返回4. 数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘”则刀鞘数为( )C  返回5. 如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，图形①的面积是原长方形纸片面积的一半，图形②的面积是图形①面积的一半，图形C ③的面积是图形②面积的一半，依次类推，则阴影部分的面积为( ) 返回 C  1  返回8.计算：         返回 D  B   返回 BA. 1B. 7C. 9D. 3有理数的乘方性质定义注意正数的任何正整数次幂都是正数；求n个相同因数的乘积的运算叫作乘方在书写负数、分数的乘方时,一定要把整个负数、分数用括号括起来乘方运算的结果叫作幂幂底数指数负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0．必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！