第1章 有理数【章末复习】（教学课件）湘教版2025-2026学年七年级数学上册

第 1 章 有理数章末复习教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：第 1 章 有理数章末复习副标题：初中七年级数学上册授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：本章知识框架核心知识树：有理数的概念：正数、负数、有理数的定义与分类。数轴：数轴的三要素、有理数与数轴上点的对应关系。相反数：相反数的定义、几何意义、性质。绝对值：绝对值的定义、几何意义、性质、求法。有理数的大小比较：利用数轴比较、利用绝对值比较。有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方的法则与运算律。科学记数法与近似数：科学记数法的表示方法、近似数的概念与取值。引入：本章学习了有理数的相关概念和运算，本章复习将系统梳理这些知识，巩固重点内容，解决易错问题，提高综合运用能力。第 3 页：复习目标知识目标：回顾有理数的概念，包括正数、负数、有理数的分类；熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念及性质；掌握有理数的各种运算（加、减、乘、除、乘方）的法则和运算律；理解科学记数法和近似数的含义并能正确运用。能力目标：通过知识梳理和例题练习，提高对有理数知识的综合运用能力；培养运算的准确性和灵活性，提升分析问题和解决问题的能力。情感目标：感受有理数知识的系统性和逻辑性，体会数学知识的严谨性，增强学习数学的信心。第 4 页：知识点 1—— 有理数的概念正数与负数：正数：大于 0 的数（如 + 3、5.2）。负数：在正数前面加上 “-” 号的数（如 - 2、-4.5），0 既不是正数也不是负数。作用：表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降）。有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。有理数的分类：按定义分：\(\begin{cases}整数\begin{cases}正整数 \\ 0 \\ 负整数\end{cases} \\ 分数\begin{cases}正分数 \\ 负分数\end{cases}\end{cases}\)按性质分：\(\begin{cases}正有理数\begin{cases}正整数 \\ 正分数\end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases}负整数 \\ 负分数\end{cases}\end{cases}\)易错点：π 不是有理数（它是无限不循环小数）。第 5 页：知识点 2—— 数轴数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。数轴的画法：先画一条直线，确定原点，规定正方向（通常向右），选取适当的单位长度。有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（还可以表示无理数，如 π）。应用：利用数轴表示有理数，直观呈现数的大小关系。例题：画出数轴，并在数轴上表示出 - 3、0、2.5、-1.5 这几个数。第 6 页：知识点 3—— 相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数（如 2 与 - 2，0 的相反数是 0）。几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。性质：互为相反数的两个数的和为 0，即若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0。相反数是成对出现的，不能单独存在。表示方法：数 a 的相反数是 -a。例题：求 - 5 的相反数、a + 1 的相反数。（答案：5；-a - 1）第 7 页：知识点 4—— 绝对值定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。几何意义：|a | 表示数 a 到原点的距离，距离是非负的，所以 | a|≥0。性质：当 a > 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0；当 a < 0 时，|a| = -a。非负性：任何数的绝对值都是非负数，即 | a|≥0；若 | a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0。例题：求 | -3 |、| 0 |、| 2.5 | 的值；若 | x| = 4，求 x 的值。（答案：3；0；2.5；x = ±4）第 8 页：知识点 5—— 有理数的大小比较利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。利用绝对值比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。两个正数比较大小，绝对值大的数大。两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。步骤：比较两个有理数大小时，先判断符号，再根据符号特点选择合适的比较方法。例题：比较 - 3 与 - 5 的大小；比较 - 2、0、1.5 的大小。（答案：-3 > -5；-2 < 0 < 1.5）第 9 页：知识点 6—— 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。一个数同 0 相加，仍得这个数。运算律：加法交换律：a + b = b + a。加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。例题：计算（-5） + （-3）；（-7） + 4；3 + （-3）；0 + （-6）。（答案：-8；-3；0；-6）第 10 页：知识点 7—— 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。步骤：将减法转化为加法，再按加法法则进行计算。例题：计算 8 - 12；（-5） - （-3）；0 - 7；（-2） - 5。（答案：-4；-2；-7；-7）第 11 页：知识点 8—— 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都得 0。几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。运算律：乘法交换律：a×b = b×a。乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)。乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c。例题：计算（-4）×（-5）；（-3）×2；（-2）×（-3）×（-4）；0×（-7）×3。（答案：20；-6；-24；0）第 12 页：知识点 9—— 有理数的除法法则 1：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)（b≠0）。法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。注意：0 不能作除数。例题：计算 12÷（-3）；（-18）÷（-6）；（-24）÷\(\frac{1}{2}\)；0÷（-5）。（答案：-4；3；-48；0）第 13 页：知识点 10—— 有理数的乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。注意：\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别（如\(-2^4 = -16\)，\((-2)^4 = 16\)）。例题：计算\(2^3\)；\((-3)^2\)；\(-3^2\)；\(0^5\)。（答案：8；9；-9；0）第 14 页：知识点 11—— 有理数的混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。同级运算，从左到右进行。如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。技巧：合理运用运算律简化计算。例题：计算\(3 + 5×(-2) - (-4)^2÷(-8)\)。解析：先算乘方\((-4)^2 = 16\)；再算乘除\(5×(-2) = -10\)，\(16÷(-8) = -2\)，则原式变为\(3 - 10 - (-2)\)；最后算加减\(3 - 10 + 2 = -5\)。第 15 页：知识点 12—— 科学记数法与近似数科学记数法：定义：把一个大于 10 的数表示成\(a×10^n\)的形式（其中 1≤a < 10，n 是正整数）。例题：用科学记数法表示 350000；0.000021（补充：小于 1 的数也可表示，n 为负整数）。（答案：\(3.5×10^5\)；\(2.1×10^{-5}\)）近似数：定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数。精确度：表示近似数与准确数的接近程度（如精确到十分位、精确到 0.01、精确到千位等）。例题：将 3.14159 精确到百分位；将 28960 精确到千位。（答案：3.14；\(2.9×10^4\)）第 16 页：典型例题 1—— 概念辨析例 1：下列说法正确的是（ ）A. 有理数包括正数和负数B. 绝对值等于本身的数是正数C. 互为相反数的两个数的绝对值相等D. 倒数等于本身的数是 1解析：A 选项错误，有理数包括正数、0 和负数。B 选项错误，绝对值等于本身的数是正数和 0。C 选项正确，互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等。D 选项错误，倒数等于本身的数是 1 和 - 1。答案：C第 17 页：典型例题 2—— 运算综合例 2：计算\(-1^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]\)。解析：步骤 1：算乘方\(-1^4 = -1\)，\((-3)^2 = 9\)，原式变为\(-1 - 0.5×\frac{1}{3}×(2 - 9)\)。步骤 2：算括号内的\(2 - 9 = -7\)，原式变为\(-1 - 0.5×\frac{1}{3}×(-7)\)。步骤 3：算乘除\(0.5×\frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)，\(\frac{1}{6}×(-7) = -\frac{7}{6}\)，原式变为\(-1 - (-\frac{7}{6})\)。步骤 4：算加减\(-1 + \frac{7}{6} = \frac{1}{6}\)。答案：\(\frac{1}{6}\)第 18 页：典型例题 3—— 实际应用例 3：某粮库一周内粮食进出库的记录如下（运进为正，运出为负）：+35 吨，-20 吨，-30 吨，+25 吨，-24 吨，+50 吨，-15 吨。（1）一周后粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？（2）若进出库的装卸费都是每吨 5 元，求一周的装卸总费用。解析：（1）将一周内的进出库记录相加：\(35 - 20 - 30 + 25 - 24 + 50 - 15 = (35 + 25 + 50) + (-20 - 30 - 24 - 15) = 110 - 89 = 21\)（吨），所以粮食增多了，增多了 21 吨。（2）先求所有记录的绝对值之和：\(|35| + |-20| + |-30| + |25| + |-24| + |50| + |-15| = 35 + 20 + 30 + 25 + 24 + 50 + 15 = 199\)（吨），总费用为\(199×5 = 995\)（元）。答案：（1）增多了，增多了 21 吨；（2）995 元。第 19 页：易错点总结概念类易错点：混淆相反数、倒数、绝对值的概念，如认为绝对值等于本身的数只有正数（忽略 0）。对有理数分类不清，误将 π 归为有理数。分不清\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别，导致计算错误。运算类易错点：有理数加减运算时符号错误，尤其是减去负数时忘记变号。乘除运算中符号判断错误，多个负因数相乘时未正确根据个数判断积的符号。混合运算时运算顺序错误，先算加减后算乘除。应用类易错点：科学记数法中 a 的范围错误（a 必须满足 1≤a < 10）。近似数的精确度判断错误，如将 3.2 万精确到十分位（实际精确到千位）。第 20 页：巩固练习 1—— 基础题练习 1：填空题（1）-3 的相反数是______，绝对值是______，倒数是______。（2）比较大小：-|-4|-(-3)；\(-\frac{3}{4}\)\(-\frac{2}{3}\)。（3）用科学记数法表示 5670000 是______，近似数 3.02×10^5 精确到______位。练习 2：选择题（1）下列各数中，既是正数又是分数的是（ ）A. -3.1 B. 0 C. 2 D. 3.5（2）下列运算正确的是（ ）A. \(-2^2 = 4\) B. \(3×(-4) = 12\) C. \((-1)^3 = -1\) D. \(|-5| = -5\)2025-2026学年湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 知识结构负数的引入，有理数的分类相关概念乘方的意义数轴有理数有理数的大小比较加、减运算有理数的运算相反数绝对值乘、除运算乘方运算混合运算科学记数法思考回顾1.为什么要引入负数？有理数可以如何分类？为了表示某一问题中具有相反意义的两种量.有理数整数分数正整数负整数0正分数负分数有理数正有理数负有理数正整数负整数0正分数负分数2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？①画：即画一条水平直线；②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O；③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；④标：即选取适当的长度作为单位长度.数轴的画法: 在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____.正数负数03.如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？ 任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.|a|=a，a为非负数，－a，a为负数.4.怎样比较有理数的大小？正数大于负数，0大于负数两个负数，绝对值大的反而____在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.小① 利用正负性比较大小② 利用绝对值比较大小③ 利用数轴比较大小5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算?加法法则： 两个负数相加，结果是____，并且把它们的绝对值_____. 异号两数相加，当它们的绝对值不相等时，取绝对值____的加数的符号，并且用较大的绝对值_____较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得__；一个数与0相加，仍得______. 减法法则： 减去一个数，等于____这个数的相反数. 负数相加较大减去0这个数加上乘法法则： 异号两数相乘得____，并且把绝对值____.同号两数相乘得_____，并且把绝对值_____.任何数与0相乘，仍得____ . 除法法则： 同号两数相除得____，异号两数相除得____，并把它们的绝对值相除； 0 除以任何一个不等于0的数都得____ . 除以一个不为0的数，等于乘这个数的_____ . 负数相乘正数相乘0正数负数0倒数求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.幂底数指数 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号).6.有理数的运算满足哪些运算律?加法交换律：a+b =b+a加法结合律：a+b+c =(a+b)+c=a+(b + c)乘法交换律：a × b = b × a乘法结合律：(a × b)× c = a ×( b × c )乘法对加法的分配律：a ×(b + c) = a × b + a× c 有理数加法：有理数乘法：1.0既不是正数也不是负数.如绝对值等于本身的数有正数和0,绝对值等于相反数的数有负数和0.2.数轴是一条直线,由原点、正方向、单位长度三要素确定,三者缺一不可.3.把一个大于10(小于-10)的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意a的取值范围,其中n为正整数.4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法,乘方实质是求几个相同因数的乘积.注意事项考点1 正、负数 BA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回2. 下列说法正确的是( )D  返回考点2 有理数 CA. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 返回考点3 数轴及其应用 C   返回考点4 有理数的大小比较5. 某药品说明书上贴有如图的标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是( )B  返回考点5 相反数、绝对值、倒数    返回考点6 科学记数法7. 据联合国《世界人口展望2024》报告称，世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿,则103亿用科学记数法表示是___________.  返回考点7 有理数的加减运算 CA. 加法交换律 B. 加法结合律C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对 返回9. 仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高( )B  返回10.计算:     返回考点8 有理数的乘除运算 CA. 段① B. 段②C. 段③ D. 段④ 返回 D   返回考点9 有理数的乘方13. 下列各组数中，不相等的一组是( )A  返回14.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅拿一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细细的面条，如图所示.则第六次捏合后可拉出面条____根.64  返回考点10 有理数的混合运算15.计算：       返回16. 根据背景素材，探索解决问题.  【任务1】 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 【任务2】 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 【任务3】 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费. 答：水果店到奶茶店用八折券，奶茶店到露营基地用七折券，总车费最低，最低总车费为52.8元. 返回思想1 数形结合思想 B A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 返回思想2 分类讨论思想       返回思想3 从特殊到一般的思想  55   返回思想4 转化思想        返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！