1.6.1 有理数的乘方 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.5.3 有理数的乘除学科：数学年级：七年级上册版本：湘教版配图建议：展示乘除混合运算转化示意图（如 “(-2)×3÷(-4)×\(\frac{1}{2}\)” 转化为 “(-2)×3×(-\(\frac{1}{4}\))×\(\frac{1}{2}\)”），标注符号判断过程与计算步骤，直观体现 “统一乘法、定符号、算绝对值” 的核心思路。教学目标理解有理数乘除混合运算的本质，掌握 “先统一乘法，再按顺序计算” 的核心方法。熟练掌握乘除混合运算的符号判断规则（负因数个数决定符号），能准确计算含多个有理数的乘除混合算式。学会运用乘法交换律、结合律简化乘除混合运算，提升计算效率与准确性。能运用有理数乘除解决实际问题（如比例计算、浓度问题等），深化数学应用意识，强化转化与分类思想。新课导入旧知回顾与冲突引入：回顾有理数乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）与除法法则（除以一个数等于乘它的倒数，0 除外）。计算热身：①(-3)×4÷(-2)；②(-3)÷4×(-2)。提问：“这两个算式包含乘法和除法，运算顺序是什么？结果是否相同？”（学生可能因顺序混淆出错，引出运算顺序的重要性）。情境问题：某工厂生产零件，每小时生产 - 12 个（表示报废 12 个），3 小时后，将报废零件按每箱装 - 4 个（表示每箱减少 4 个报废零件）的标准分装，能分装多少箱？（列式：(-12)×3÷(-4)，引导思考：如何计算乘除混合运算？）问题聚焦：“有理数乘除混合运算中，除法可转化为乘法，因此所有算式都能统一为乘法运算。但运算顺序和符号判断是关键，今天我们就来系统学习‘有理数的乘除’混合运算。”衔接旧知：回顾乘法交换律（ab=ba）、结合律（(ab) c=a (bc)），为简化乘除混合运算铺垫。新知探究 —— 有理数乘除混合运算的核心规则运算顺序规则：规则 1：不含括号的乘除混合运算，从左到右依次计算（因为乘法和除法是同级运算）。例：计算 (-8)÷2×(-3)。从左到右：先算 (-8)÷2 = -4，再算 - 4×(-3) = 12；若先算 2×(-3) = -6，再算 (-8)÷(-6) = \(\frac{4}{3}\)，结果错误，因此必须遵循 “从左到右”。规则 2：含括号的乘除混合运算，先算括号内的，再算括号外的。例：计算 (-12)÷[3×(-2)]。先算括号内：3×(-2) = -6，再算括号外：(-12)÷(-6) = 2。统一乘法形式的方法：依据：除法法则（a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)，b≠0），将所有除法转化为乘法，使算式变为 “只含乘法的连乘算式”。步骤：第一步：把算式中的 “÷” 号转化为 “×” 号，同时将除号后面的数变为它的倒数（除数→倒数）；第二步：省略连续的 “×” 号，写成连乘形式（方便运用运算律）。举例：将 “(-6)×2÷(-3)÷\(\frac{1}{2}\)” 转化为连乘形式。转化除法：(-6)×2×(-\(\frac{1}{3}\))×2（“÷(-3)”→“×(-\(\frac{1}{3}\))”，“÷\(\frac{1}{2}\)”→“×2”）；连乘形式：(-6)×2×(-\(\frac{1}{3}\))×2。符号判断规则（连乘形式）：规则：多个非 0 有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负；若有一个因数为 0，积直接为 0。强调：先定符号，再算绝对值的乘积，可减少计算错误。举例：计算 (-2)×(-3)×(-4)×\(\frac{1}{2}\)。负因数个数：3 个（奇数），符号为负；绝对值乘积：2×3×4×\(\frac{1}{2}\) = 12；结果：-12。新知探究 —— 乘除混合运算的简便计算技巧（结合运算律）技巧 1：凑整 / 凑 1 结合（交换律 + 结合律）：原理：将乘积为整数、1 或易计算的因数先结合，简化绝对值计算。例：计算 (-4)×(-\(\frac{1}{2}\))÷(-\(\frac{1}{3}\))×3。转化连乘：(-4)×(-\(\frac{1}{2}\))×(-3)×3；凑整结合：[(-4)×(-\(\frac{1}{2}\))]×[(-3)×3] = 2×(-9) = -18；例：计算 (-0.25)×8÷(-\(\frac{1}{2}\))×4。转化连乘：(-0.25)×8×(-2)×4；凑整结合：[(-0.25)×4]×[8×(-2)] = (-1)×(-16) = 16。技巧 2：约分简化（分数连乘）：原理：若算式含分数，可先约分再计算，避免大数字相乘。例：计算\(\frac{2}{3}\)÷(-\(\frac{4}{5}\))×(-\(\frac{3}{2}\))。转化连乘：\(\frac{2}{3}\)×(-\(\frac{5}{4}\))×(-\(\frac{3}{2}\))；约分：\(\frac{\cancel{2}}{3}\)×(-\(\frac{5}{\cancel{4}^2}\))×(-\(\frac{3}{\cancel{2}}\)) = \(\frac{1}{3}\)×\(\frac{5}{2}\)×3 = \(\frac{5}{2}\)；符号：负因数个数 2 个（偶数），结果为正，最终\(\frac{5}{2}\)。技巧 3：含 0 因数优先判断：原理：若算式中存在因数 0（或除法转化后含 0），积直接为 0，无需计算其他部分。例：计算 (-5)×0÷(-3)×2 = 0（因含因数 0，结果直接为 0）。例题讲解例题 1（不含括号的乘除混合运算）：计算 (-18)÷(-3)×(-2)÷\(\frac{1}{2}\)。解答过程：步骤 1：统一乘法形式：(-18)×(-\(\frac{1}{3}\))×(-2)×2；步骤 2：判断符号：负因数个数 3 个（奇数），符号为负；步骤 3：计算绝对值乘积：18×\(\frac{1}{3}\)×2×2 = 6×4 = 24；步骤 4：组合结果：-24；最终结果：-24。例题 2（含括号的乘除混合运算）：计算 (-24)÷[(-3)×4÷(-\(\frac{1}{2}\))]。解答过程：步骤 1：先算括号内，统一乘法：(-3)×4×(-2)；步骤 2：计算括号内：负因数个数 2 个（偶数），绝对值乘积 3×4×2 = 24，括号内结果为 24；步骤 3：算括号外：(-24)÷24 = -1（或转化为 (-24)×\(\frac{1}{24}\) = -1）；最终结果：-1。例题 3（简便计算：凑整与约分）：计算 (-\(\frac{3}{4}\))×(-8)÷(-\(\frac{2}{3}\))×\(\frac{1}{2}\)。解答过程：步骤 1：统一乘法：(-\(\frac{3}{4}\))×(-8)×(-\(\frac{3}{2}\))×\(\frac{1}{2}\)；步骤 2：凑整与约分：[(-\(\frac{3}{4}\))×(-8)]×[(-\(\frac{3}{2}\))×\(\frac{1}{2}\)] = 6×(-\(\frac{3}{4}\)) = -\(\frac{18}{4}\) = -\(\frac{9}{2}\)；步骤 3：符号验证：负因数个数 2 个（前两组）+1 个（后两组）=3 个（奇数），结果为负，与计算一致；最终结果：-\(\frac{9}{2}\)（或 - 4.5）。例题 4（实际问题应用）：某溶液浓度变化如下：初始浓度为 100%，第一次稀释：浓度变为原来的 -\(\frac{1}{2}\)（表示浓度降低一半，负号表示稀释），第二次浓缩：浓度变为第一次的 - 3 倍（负号表示浓缩），第三次稀释：浓度变为第二次的\(\frac{1}{4}\)。最终浓度是初始浓度的多少倍？解答过程：① 明确问题：求三次变化的乘积，列式：1×(-\(\frac{1}{2}\))×(-3)×\(\frac{1}{4}\)；② 计算：负因数个数 2 个（偶数），绝对值乘积\(\frac{1}{2}\)×3×\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{8}\)；③ 结论：最终浓度是初始浓度的\(\frac{3}{8}\)倍（即 37.5%）。课堂练习基础题：计算下列各题：（1）(-10)×(-2)÷(-5)；（2）(-\(\frac{1}{3}\))÷\(\frac{2}{3}\)×(-6)；（3）(-4)×0÷(-7)×3；（4）(-12)÷(-3)×(-\(\frac{1}{4}\))；（5）\(\frac{3}{5}\)÷(-\(\frac{3}{2}\))×(-\(\frac{5}{6}\))；（6）(-0.5)×8÷(-\(\frac{1}{3}\))。指出下列计算的错误并改正：错误计算：(-6)÷2×(-\(\frac{1}{2}\)) = (-6)÷(-1) = 6；错误原因：未从左到右计算，先算了 2×(-\(\frac{1}{2}\))，正确计算应为 (-6)÷2 = -3，再算 - 3×(-\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{3}{2}\)。提升题：计算：[(-\(\frac{1}{2}\))×(-4)÷(-\(\frac{1}{3}\))]×(-6)（提示：先算括号内，再算括号外）；若 | a| = 4，|b| = 2，|c| = 3，且 a×b÷c < 0，求 a×b÷c 的所有可能值（分情况讨论符号）；某商店进货、销售、库存的数量变化如下（进货为正，销售为负）：第一天进货 100 件，第二天销售 - 30 件，第三天进货 - 20 件（退货），第四天按剩余数量的\(\frac{1}{5}\)补货（进货）。第四天补货多少件？（先算前三天剩余数量，再算补货量）。本课小结核心知识：运算顺序：不含括号从左到右，含括号先算括号内；统一乘法：a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)（b≠0），转化为连乘形式；符号判断：负因数个数为偶数得正，奇数得负（含 0 则为 0）；简便技巧：凑整 / 凑 1 结合、分数约分、含 0 优先判断。易错点提醒：忽略运算顺序，随意改变乘除顺序（如将 a×b÷c 算成 a×(b÷c)，虽结果相同，但需明确 “从左到右” 原则，避免复杂算式出错）；转化除法时，漏变除数的符号（如将 ÷(-3) 误写为 ×3，应写为 ×(-\(\frac{1}{3}\))）；多个负因数时，漏数个数导致符号判断错误（如 3 个负因数误判为偶数，结果符号出错）。数学思想：转化思想：将除法转化为乘法，将混合运算转化为连乘运算，简化计算；分类思想：按负因数个数分类判断符号，按是否含括号分类确定运算顺序；优化思想：通过运算律凑整、约分，优化计算过程，提升效率。作业布置必做题：教材对应练习题，完成不含括号、含括号的乘除混合运算，以及简单实际应用题。选做题：计算：(-\(\frac{2}{3}\))÷(-\(\frac{4}{5}\))×(-\(\frac{3}{5}\))÷\(\frac{1}{2}\)（提示：先统一乘法，再约分）；已知 a = -2，b = 3，c = -\(\frac{1}{2}\)，求 a×b÷c - a÷b×c 的值（先分别计算乘除，再算减法）；探索规律：计算 (-1)×2÷(-3)×4÷(-5)×6……÷(-99)×100，判断结果的符号并计算绝对值（提示：负因数个数为 50 个（偶数），绝对值为\(\frac{100!}{99!!}\)，简化为\(\frac{100}{1}\)×\(\frac{98}{3}\)×…×\(\frac{2}{99}\)，最终结果为正，绝对值为\(\frac{2^{50}×50!}{99!!}\)，可简化计算前几项找规律）。预习任务：预习 “1.6 有理数的乘方”，思考 “多个相同有理数相乘如何简便表示”，尝试写出 “3×3×3×3” 的简便形式并计算结果。2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 掌握有理数的乘、除混合运算顺序，能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的乘除混合运算.2. 会运用有理数的乘、除混合运算解决简单的实际问题.重点：有理数乘、除混合运算.难点：运算顺序的确定与性质符号的处理.异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0；同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘1. 叙述有理数的乘法法则.2. 叙述有理数的除法法则.同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.（除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数）有理数的乘、除混合运算议一议：下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？可以按从左到右的顺序依次计算.也可以先将除法转化为乘法.方法一：＝－32.方法二：＝－32.例1 计算： (1) (-5)×6÷(-3)；(2) (-56)÷(-2)÷(-8).解 (1) (-5)×6÷(-3)＝(-30)÷(-3)＝10.(2) (-56)÷(-2)÷(-8)＝28÷(-8)例2 计算： (1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；解 (1) 原式＝ (-10)÷10＝-1.＝-8.······ 除法转化为乘法······ 乘法结合律······ 先算括号内解：2. 计算： 有理数的乘除混合运算，如果没有括号，遵循________ 的顺序计算．含有除法运算的，利用倒数将除法转化为乘法，在计算时，先定________，然后再进行___________的乘法计算．如果有括号，遵循先算括号内，再算括号外的法则计算．从左到右符号绝对值 下面是小明同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.例3 已知海拔每升高 1000 m，气温下降 6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是 8℃，当热气球升空后，测得高空温度是 －1℃，热气球的高度为_____m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得 [8－(－1)]÷6×1000＝1500 (m)，故填 1500.15001. 下列运算正确的是( )C  B  返回3. 下列各式中，计算结果为负数的是( )D  返回4. 阅读下面的解题过程并解答问题. 二没有按顺序计算三 没有按有理数除法的符号法则确定结果的符号  返回5.计算：     返回 B   返回   返回8.如图，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，列式计算.（1）若从中抽取两张卡片，使这两张卡片上数字的差结果最小，则应抽取哪两张卡片，结果最小值是多少？ （2）若从中抽取三张卡片，这三张卡片上的数字先让两个数相乘再与第三个数相除的结果最大，则应抽取哪三张卡片，结果最大值是多少？  返回乘除混合运算往往先将除法化______，然后确定积的_____最后求出结果有理数的除法可以化为______，所以可以利用_______的运算性质简化运算有理数混合运算乘法乘法乘法符号必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！