1.5.2 有理数的除法 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.5.2 有理数的除法学科：数学年级：七年级上册版本：湘教版配图建议：展示一个平均分物品的场景图，如将若干个苹果平均分给几个小朋友，苹果总数和小朋友人数可设置为有理数，旁边列出对应的除法算式，体现除法的实际意义。教学目标理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，能准确进行有理数的除法运算。理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数，明确 0 没有倒数的原因。能灵活运用有理数除法法则解决实际问题，提升数学应用能力和逻辑推理能力。通过对比有理数乘法与除法运算，体会数学知识之间的内在联系和相互转化。新课导入复习回顾：回顾有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。提问：已知 3×(-4)= -12，那么根据乘法与除法的互逆关系，(-12)÷(-4)=？(-12)÷3=？通过简单的乘法式子引出除法运算，让学生初步感受有理数除法与乘法的联系。实际问题引入：问题：小明从家出发，以每分钟 -50 米的速度（向西行走记为负）行走，3 分钟后到达学校，小明家距离学校 150 米。那么从学校到家，小明需要几分钟？引导学生分析：已知路程为 150 米，速度为 -50 米 / 分钟，根据时间 = 路程 ÷ 速度，可列出算式 150÷(-50)。如何计算这个式子呢？从而引出本节课要学习的有理数的除法。知识衔接：回顾小学学过的除法意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。同时回顾小学的除法运算规则，如整数除法中 “除以一个数等于乘以它的倒数”（0 除外），为有理数除法法则的推导做铺垫。新知探究 —— 有理数除法法则探索除法与乘法的关系：计算下列式子：因为 2×3 = 6，所以 6÷3 = 2，6÷2 = 3；因为 (-2)×(-3)=6，所以 6÷(-3)= -2，6÷(-2)= -3；因为 (-2)×3 = -6，所以 (-6)÷3 = -2，(-6)÷(-2)=3。引导学生观察并总结：有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不能为 0）。归纳有理数除法法则：文字表述：法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。用符号表示为 a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)（b≠0）。法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。强调：对于法则一，要特别注意除数不能为 0，因为 0 没有倒数。例如 5÷0 是没有意义的。法则二是根据乘法法则以及除法与乘法的互逆关系得出的。在计算时，先确定商的符号，再把绝对值相除。比如 (-8)÷(-2)，因为两数同号，所以商为正，再把绝对值相除，即 8÷2 = 4，所以 (-8)÷(-2)=4；而 (-8)÷2，两数异号，商为负，8÷2 = 4，所以 (-8)÷2 = -4。新知探究 —— 倒数的概念实例引入倒数概念：计算：2×\(\frac{1}{2}\) = 1，(-3)×(-\(\frac{1}{3}\))=1，\(\frac{2}{3}\)×\(\frac{3}{2}\) = 1。引导学生观察这些式子的特点：两个数相乘的积为 1。总结倒数的定义：文字表述：乘积为 1 的两个有理数互为倒数。符号表示：若 ab = 1，则 a 与 b 互为倒数。例如，5 与\(\frac{1}{5}\)互为倒数，-\(\frac{4}{5}\)与 -\(\frac{5}{4}\)互为倒数。强调：0 没有倒数。因为任何数与 0 相乘都得 0，不可能等于 1。倒数是相互的，不能单独说某个数是倒数，要说 a 是 b 的倒数，或者 a 与 b 互为倒数。求一个数的倒数的方法：求一个整数（0 除外）的倒数，直接写成这个数分之一。如 4 的倒数是\(\frac{1}{4}\)。求一个分数的倒数，把分子分母交换位置。如\(\frac{3}{5}\)的倒数是\(\frac{5}{3}\)。求一个带分数的倒数，先将它化成假分数，再交换分子分母位置。如\(1\frac{1}{2}\)=\(\frac{3}{2}\)，它的倒数是\(\frac{2}{3}\)。求一个小数的倒数，常把小数化为分数后再求倒数。如 0.25 = \(\frac{1}{4}\)，它的倒数是 4。新知探究 —— 有理数除法运算的应用简单除法运算示例：例 1：计算 (-15)÷3。解答：根据除法法则二，两数相除，异号得负，绝对值相除。所以 (-15)÷3 = -（15÷3）=-5。例 2：计算 (-24)÷(-6)。解答：因为两数同号，根据除法法则二，商为正，绝对值相除。即 (-24)÷(-6)=24÷6 = 4。例 3：计算 0÷(-5)。解答：根据法则，0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0，所以 0÷(-5)=0。运用除法法则一进行运算示例：例 4：计算 (-\(\frac{3}{4}\))÷(-\(\frac{5}{8}\))。解答：根据除法法则一，除以一个数等于乘以这个数的倒数。所以 (-\(\frac{3}{4}\))÷(-\(\frac{5}{8}\))=(-\(\frac{3}{4}\))×(-\(\frac{8}{5}\))。两数相乘，同号得正，再把绝对值相乘，即\(\frac{3}{4}\)×\(\frac{8}{5}\) = \(\frac{3×8}{4×5}\) = \(\frac{6}{5}\)。乘除混合运算示例：例 5：计算 (-2)×3÷(-6)。解答：按照从左到右的顺序进行计算。先算乘法，(-2)×3 = -6，再算除法，(-6)÷(-6)=1。这里也可以将除法转化为乘法，即 (-2)×3÷(-6)=(-2)×3×(-\(\frac{1}{6}\))。根据乘法交换律和结合律，[(-2)×(-\(\frac{1}{6}\))]×3 = \(\frac{1}{3}\)×3 = 1。强调：在进行有理数乘除混合运算时，先将除法转化为乘法，再根据乘法运算律进行简便计算。同时要注意运算顺序，有括号的先算括号内的。例题讲解例题 1（基本除法运算）：计算 (-48)÷6。解答过程：步骤 1：根据有理数除法法则二，两数相除，异号得负。步骤 2：把绝对值相除，即 48÷6 = 8。步骤 3：组合符号与结果，得到 (-48)÷6 = -8。例题 2（运用除法法则一）：计算\(\frac{2}{3}\)÷(-\(\frac{4}{9}\))。解答过程：步骤 1：根据除法法则一，将除法转化为乘法，即\(\frac{2}{3}\)÷(-\(\frac{4}{9}\))=\(\frac{2}{3}\)×(-\(\frac{9}{4}\))。步骤 2：两数相乘，异号得负，再把绝对值相乘，\(\frac{2}{3}\)×\(\frac{9}{4}\) = \(\frac{2×9}{3×4}\) = \(\frac{3}{2}\)。步骤 3：组合符号与结果，得到\(\frac{2}{3}\)÷(-\(\frac{4}{9}\))= -\(\frac{3}{2}\)。例题 3（乘除混合运算）：计算 (-5)×6÷(-\(\frac{1}{3}\))。解答过程：步骤 1：先将除法转化为乘法，即 (-5)×6÷(-\(\frac{1}{3}\))=(-5)×6×(-3)。步骤 2：判断积的符号，这里有两个负因数，负因数个数为偶数，积为正。步骤 3：计算绝对值的乘积，5×6×3 = 90。步骤 4：得到最终结果为 90。例题 4（实际问题应用）：某公司在一周内，每天的利润变化如下（盈利为正，亏损为负，单位：万元）：-3，2，-1，4，-2，3，-4。如果平均每天的利润为 0 万元时，公司处于不亏不盈状态，那么这一周公司是盈利还是亏损？盈利或亏损多少万元？解答过程：① 先计算这一周利润的总和：(-3)+2+( -1)+4+( -2)+3+( -4)。② 计算结果为 (-3 - 1 - 2 - 4)+(2 + 4 + 3)= -10 + 9 = -1（万元）。③ 一周有 7 天，用总利润除以天数得到平均每天的利润，即 (-1)÷7 = -\(\frac{1}{7}\)（万元）。④ 结论：这一周公司处于亏损状态，平均每天亏损\(\frac{1}{7}\)万元，一周共亏损 1 万元。课堂练习基础题：计算下列各题：（1）(-24)÷(-8)；（2）15÷(-\(\frac{1}{3}\))；（3）0÷(-100)；（4）(-\(\frac{3}{5}\))÷\(\frac{3}{5}\)；（5）(-18)÷6÷(-3)；（6）(-\(\frac{1}{2}\))×(-\(\frac{2}{3}\))÷(-\(\frac{1}{4}\))。求下列各数的倒数：（1）5；（2）-\(\frac{2}{3}\)；（3）-0.25；（4）\(1\frac{1}{3}\)。已知 a÷b = -3，b = -2，求 a 的值。提升题：计算：(-1)÷(-5)×(-\(\frac{1}{5}\))；若 | a| = 4，|b| = 2，且 a÷b < 0，求 a - b 的值；某冷冻厂的一个冷库的室温是 -2℃，现有一批食品需要在 -28℃冷藏，如果每小时能降温 4℃，问几小时能降到所要求的温度？本课小结核心知识：有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数（a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)，b≠0）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。倒数的概念：乘积为 1 的两个有理数互为倒数，0 没有倒数，求倒数的方法（整数、分数、带分数、小数求倒数的方式）。有理数乘除混合运算：先将除法转化为乘法，再按乘法运算顺序和运算律进行计算。易错点提醒：进行除法运算时，容易忽略除数不能为 0 这个条件。在将除法转化为乘法时，容易忘记把除数的分子分母交换位置。进行乘除混合运算时，容易弄错运算顺序，不按从左到右的顺序计算，或者在有括号时不先算括号内的。数学思想：转化思想：将有理数除法运算转化为乘法运算，体现了数学知识之间的相互转化，简化了运算过程。类比思想：通过与小学除法运算以及有理数乘法运算进行类比，帮助理解有理数除法的意义和法则，让学生体会数学知识的连贯性和一致性。作业布置必做题：教材对应练习题，完成有理数除法运算的题目及简单实际应用题，如计算各种类型的有理数除法式子，解决涉及有理数除法的行程问题、分配问题等。选做题：计算：(-\(\frac{1}{2}\))÷[(-\(\frac{1}{3}\))÷(-\(\frac{1}{4}\))]；已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求\(\frac{a + b}{m}\)-cd + m 的值；探索规律：计算 1÷(-1)，2÷(-2)，3÷(-3)，……，n÷(-n)（n 为正整数），你发现了什么规律？用含 n 的式子表示出来。2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数.2. 经历有理数除法法则的探索过程，会进行有理数的除法运算.3. 会用转化的数学思想，推导出有理数的除法法则.重点：正确地运用法则进行有理数的除法运算.难点：根据不同的情况来选取适当的方法求商.你能迅速说出下列算式的结果吗? 小学时我们就知道除法是乘法的逆运算，那它在有理数的运算中也满足吗？0÷3 = 12÷3 = 12÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 33240有理数的除法法则(-2)-221. 填空：2思考：观察上述式子，你能发现除法跟乘法的关系吗？(-2)-2从这些式子受到启发，抽象出有理数的除法运算： 对于两个有理数 a，b，其中 b 不为 0，如果有一个有理数 c，使得 cb = a，那么规定 a÷b＝c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商. 类比有理数的乘法，从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能得出什么结论？6÷(－3)＝－2；(－6)÷(－3)＝2.(－6)÷3＝－2；6÷3＝2；① 同号两数相除得正数，有理数除法法则(二)：(＋)÷(＋) → (＋)(－)÷(－) → (＋)(－)÷(＋) → (－)(＋)÷(－) → (－)② 异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；③ 0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.例1 计算：(1) (－24)÷4； (2) (－18)÷(－9)；(3) 10÷(－5)； (4) 0÷(－10).解：(1) (－24)÷4＝－(24÷4)＝－6.(2) (－18)÷(－9)＝18÷9＝2.(3) 10÷(－5)＝－(10÷5)＝－2.(4) 0÷(－10)＝0.(2) (－15)÷(－3)；(3) (－0.75)÷0.25.1. 计算：(1) (－36)÷9； 解：(1) (－36)÷9＝－(36÷9)＝－4.(3) (－0.75)÷0.25＝－( 0.75 ÷ 0.25 )＝－3.(2) (－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5.有什么关系？问题：计算并填空：-22-120-22-120＝＝＝(-1)×(-1)＝1若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数. 有理数除法法则：用字母表示为：除以一个不等于 0 的数等于乘这个数的倒数.例2 计算：1. 计算： 带分数和小数可化为分数计算1. 下列各组数中，互为倒数的是( )C  D  返回3. 下列计算不正确的是( )D  CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 返回 B  4      返回0 除以任何一个________的数，都得_______除以一个__________的数，等于乘这个数的________两数相除，同号得_____，异号得____，并把________相除有理数除法法则正倒数负绝对值不等于 0 0 不等于 0必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！