1.5.1.2有理数的乘法运算律 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.5.1.2 有理数的乘法运算律学科：数学年级：七年级上册版本：湘教版配图建议：展示三组算式对比图（如 (-2)×3 与 3×(-2)、[(-2)×3]×(-4) 与 (-2)×[3×(-4)]、(-2)×(3 + (-4)) 与 (-2)×3 + (-2)×(-4)），标注结果相等，直观体现三种运算律。教学目标理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，明确其与小学所学乘法运算律的一致性。熟练运用乘法运算律简化多有理数乘法及乘法与加法的混合运算，掌握常见简便计算技巧。学会通过实例验证运算律，培养观察、归纳与逻辑推理能力，深化对 “数系扩展后运算律保持不变” 的认知。能运用乘法运算律解决稍复杂的实际问题（如批量计算、分配问题等），提升数学应用意识。新课导入旧知回顾与实例引入：回顾有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。计算热身（分组计算）：第一组：①(-2)×3；②3×(-2)（提问：①和②结果是否相等？）第二组：①[(-2)×3]×(-4)；②(-2)×[3×(-4)]（提问：①和②结果是否相等？）第三组：①(-2)×(3 + (-4))；②(-2)×3 + (-2)×(-4)（提问：①和②结果是否相等？）学生计算后发现：每组两个算式结果相同，引出猜想 —— 小学学过的乘法运算律在有理数范围内是否仍成立？问题聚焦：“在有理数乘法中，交换因数位置、改变结合顺序，积是否不变？一个数乘两个数的和，是否等于这个数分别乘两个数再相加？今天我们就来探究‘有理数的乘法运算律’，验证猜想并学习其应用。”衔接旧知：回顾小学乘法交换律（a×b = b×a）、结合律（(a×b)×c = a×(b×c)）、分配律（a×(b + c) = a×b + a×c），为有理数范围内的运算律推导铺垫。新知探究 —— 有理数乘法交换律实例验证猜想：正数 × 负数：(-3)×4 = -12，4×(-3) = -12，故 (-3)×4 = 4×(-3)；负数 × 负数：(-5)×(-2) = 10，(-2)×(-5) = 10，故 (-5)×(-2) = (-2)×(-5)；含 0 的情况：(-4)×0 = 0，0×(-4) = 0，故 (-4)×0 = 0×(-4)。总结乘法交换律：文字表述：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。符号表示：对于任意有理数 a、b，都有 a×b = b×a（可简记为 ab = ba，数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可省略）。强调：交换律在有理数范围内依然成立，与因数的正负无关，可用于调整因数顺序，方便计算（如将易计算的因数先相乘）。新知探究 —— 有理数乘法结合律实例验证猜想：负数、正数、负数：[(-2)×5]×(-3) = (-10)×(-3) = 30；(-2)×[5×(-3)] = (-2)×(-15) = 30，故 [(-2)×5]×(-3) = (-2)×[5×(-3)]；分数、负数、整数：[(-\(\frac{1}{2}\))×(-4)]×3 = 2×3 = 6；(-\(\frac{1}{2}\))×[(-4)×3] = (-\(\frac{1}{2}\))×(-12) = 6，故 [(-\(\frac{1}{2}\))×(-4)]×3 = (-\(\frac{1}{2}\))×[(-4)×3]。总结乘法结合律：文字表述：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。符号表示：对于任意有理数 a、b、c，都有 (a×b)×c = a×(b×c)（可简记为 (ab) c = a (bc)）。强调：结合律可与交换律配合使用，通过调整因数结合顺序，将易计算的因数先结合（如凑整、凑 1 或凑 0），简化计算。新知探究 —— 有理数乘法分配律实例验证猜想：正数 ×（负数 + 正数）：3×[(-2) + 4] = 3×2 = 6；3×(-2) + 3×4 = -6 + 12 = 6，故 3×[(-2) + 4] = 3×(-2) + 3×4；负数 ×（正数 + 负数）：(-5)×[2 + (-\(\frac{1}{5}\))] = (-5)×\(\frac{9}{5}\) = -9；(-5)×2 + (-5)×(-\(\frac{1}{5}\)) = -10 + 1 = -9，故 (-5)×[2 + (-\(\frac{1}{5}\))] = (-5)×2 + (-5)×(-\(\frac{1}{5}\))。总结乘法分配律：文字表述：一个有理数乘两个有理数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。符号表示：对于任意有理数 a、b、c，都有 a×(b + c) = a×b + a×c（可简记为 a (b + c) = ab + ac），反向运用为 ab + ac = a (b + c)。拓展：分配律可推广到多个数的和，即 a (b + c + d) = ab + ac + ad，反向运用同理。强调：分配律是连接乘法与加法的核心运算律，正向运用可简化 “数乘和”，反向运用可简化 “积的和”（如提取相同因数）。新知探究 —— 乘法运算律的简便应用技巧多有理数乘法的简便计算（交换律 + 结合律）：技巧 1：凑整结合（将乘积为整数的因数先结合）。例：(-4)×(-3)×0.25 = [(-4)×0.25]×(-3) = (-1)×(-3) = 3（交换 - 3 与 0.25 的位置，再结合 - 4 与 0.25）；技巧 2：凑 1 结合（将乘积为 1 的因数先结合，如倒数）。例：(-\(\frac{1}{2}\))×(-4)×(-\(\frac{1}{2}\)) = [(-\(\frac{1}{2}\))×(-4)]×(-\(\frac{1}{2}\)) = 2×(-\(\frac{1}{2}\)) = -1（先结合 -\(\frac{1}{2}\)与 - 4，乘积为 2，再与 -\(\frac{1}{2}\)相乘）；技巧 3：含 0 因数优先结合（若有一个因数为 0，积直接为 0）。例：(-5)×0×(-3)×2 = [(-5)×0]×[(-3)×2] = 0×(-6) = 0；符号判断技巧：多个非 0 有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 —— 负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负（先定符号，再算绝对值乘积）。例：(-2)×(-3)×(-4)×5：负因数个数为 3（奇数），积为负；绝对值乘积为 2×3×4×5 = 120，故结果为 - 120。乘法与加法混合运算的简便计算（分配律）：正向运用（数乘和→积的和）：例：(-6)×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\)) = (-6)×\(\frac{1}{2}\) + (-6)×(-\(\frac{1}{3}\)) = -3 + 2 = -1（避免先算括号内的减法，直接分配计算更简便）；反向运用（积的和→数乘和，提取公因数）：例：(-3)×2 + (-3)×(-5) = (-3)×[2 + (-5)] = (-3)×(-3) = 9（提取相同因数 - 3，简化计算）；凑整分配（将数拆分为易计算的形式，再用分配律）：例：99×(-5) = (100 - 1)×(-5) = 100×(-5) - 1×(-5) = -500 + 5 = -495（将 99 拆为 100 - 1，避免复杂乘法）。例题讲解例题 1（运用交换律与结合律简化多有理数乘法）：计算 (-\(\frac{1}{4}\))×(-8)×(-3)×\(\frac{1}{2}\)。解答过程：步骤 1：判断符号：负因数个数为 3（奇数），积为负；步骤 2：交换与结合因数（凑整）：[(-\(\frac{1}{4}\))×(-8)]×[(-3)×\(\frac{1}{2}\)]；步骤 3：计算绝对值乘积：2×\(\frac{3}{2}\) = 3；步骤 4：组合符号与结果：-3；最终结果：-3。例题 2（运用分配律简化混合运算）：计算 (-12)×(\(\frac{2}{3}\) - \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{5}{6}\))。解答过程：步骤 1：正向运用分配律：(-12)×\(\frac{2}{3}\) - (-12)×\(\frac{1}{4}\) + (-12)×\(\frac{5}{6}\)；步骤 2：分别计算积：-8 + 3 - 10；步骤 3：计算最终和：-15；最终结果：-15。例题 3（反向运用分配律简化计算）：计算 3.14×(-5) + 3.14×(-13) + 3.14×18。解答过程：步骤 1：观察到三个积均有公因数 3.14，反向运用分配律：3.14×[(-5) + (-13) + 18]；步骤 2：计算括号内的和：(-18) + 18 = 0；步骤 3：计算最终结果：3.14×0 = 0；最终结果：0。例题 4（运算律在实际问题中的应用）：某工厂生产一批零件，每个零件的成本为 - 2 元（亏损 2 元，记为负），第一天生产 100 个，第二天生产 150 个，第三天生产 50 个，求这三天生产零件的总成本（总成本 = 每个成本 × 总个数，用分配律计算）。解答过程：① 明确问题：总成本 = (-2)×100 + (-2)×150 + (-2)×50；② 反向运用分配律：(-2)×(100 + 150 + 50)；③ 计算：(-2)×300 = -600；④ 结论：这三天生产零件的总成本为 - 600 元（即总亏损 600 元）。课堂练习基础题：运用运算律计算下列各题：（1）(-5)×(-7)×2；（2）[(-\(\frac{1}{3}\))×(-6)]×(-\(\frac{1}{2}\))；（3）(-4)×(\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{4}\))；（4）(-3)×5 + (-3)×(-3)；（5）(-0.125)×(-8)×(-3)；（6）101×(-6)（提示：拆 101 为 100 + 1）。计算 (-2)×(-3)×(-4)×(-5)，并说明负因数个数与积的符号关系。某商店进了 3 种商品，每种商品的利润为 - 5 元（亏损 5 元），每种商品分别进了 20 件、30 件、10 件，求这 3 种商品的总利润（用分配律计算）。提升题：已知 ab = 8，求 ba + (-a)×b 的值（利用交换律和分配律简化）；计算 (-1)×2×(-3)×4×…×(-99)×100（提示：共 100 个因数，每两个为一组，每组积为正，共 50 组）；若 | a| = 3，|b| = 2，且 a×b