第五章 图形的轴对称【章末复习】 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：第五章 图形的轴对称 章末复习副标题：北师大版七年级下册 知识梳理与综合应用授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：章节知识框架 幻灯片 3：核心知识点 1—— 轴对称的基本概念与两类对称1. 核心概念辨析：概念定义关键特征对称轴使图形折叠后完全重合的直线一条或多条（如正方形有 4 条，等腰三角形有 1 条）对应点折叠后相互重合的点对应点连线被对称轴垂直平分（如点 P 与 P'，PP'⊥l 且 O 是中点）轴对称图形一个图形沿对称轴折叠后自身重合单个图形，具备对称性（如圆形、正六边形）两个图形成轴对称两个图形沿对称轴折叠后完全重合两个图形，位置关于对称轴对称（如字母 A 与其镜像）2. 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：若将两个成轴对称的图形看作一个整体，则它是一个轴对称图形；若将一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分成轴对称。例题：判断下列图形或现象属于 “轴对称图形” 还是 “两个图形成轴对称”：（1）等腰三角形；（2）汉字 “中”；（3）镜子中的人像与真实人像；（4）正五角星。解：（1）轴对称图形（单个图形，沿顶角平分线折叠自身重合）；（2）轴对称图形（单个汉字，沿竖直中线折叠自身重合）；（3）两个图形成轴对称（两个图形，沿镜面所在直线折叠完全重合）；（4）轴对称图形（单个图形，有 5 条对称轴，折叠后自身重合）。幻灯片 4：核心知识点 2—— 轴对称的性质与变换1. 轴对称的核心性质：（1）对应点性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（如图，l 是对称轴，P 与 P' 是对应点，则 l⊥PP' 且 PO=OP'）；（2）对应线段与角性质：对应线段相等（AB=A'B'），对应角相等（∠A=∠A'）；（3）图形全等性：成轴对称的两个图形全等（形状、大小完全相同）。2. 轴对称变换（作对称图形）的步骤：找关键点：在原图形上确定关键顶点（如三角形的三个顶点、多边形的顶点）；作对应点：过每个关键点作对称轴的垂线，在垂线上截取与原关键点到对称轴距离相等的点，即为对应点；连对应点：按原图形的顺序连接所有对应点，得到原图形关于对称轴的对称图形。例题：如图，已知△ABC 和对称轴 l，作出△ABC 关于 l 的对称图形△A'B'C'。作法：①过 A 作 AD⊥l 于 D，延长 AD 至 A'，使 A'D=AD，得 A 的对应点 A'；②同理，过 B 作 BE⊥l 于 E，延长 BE 至 B'，使 B'E=BE，得 B 的对应点 B'；③过 C 作 CF⊥l 于 F，延长 CF 至 C'，使 C'F=CF，得 C 的对应点 C'；④连接 A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C' 即为所求。幻灯片 5：核心知识点 3—— 特殊图形的轴对称性质（线段、角）1. 线段的轴对称性质：（1）线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线（一条对称轴）；（2）线段垂直平分线的性质（双向）：①性质 1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（若 P 在 l 上，则 PA=PB）；②性质 2（逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（若 PA=PB，则 P 在 l 上）。2. 角的轴对称性质：（1）角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线（一条对称轴）；（2）角平分线的性质（双向）：①性质 1：角平分线上的点到角两边的距离相等（若 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD=PE）；②性质 2（逆定理）：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上（若 PD=PE 且 PD⊥OA、PE⊥OB，则 P 在 OC 上）。例题：（1）如图，l 是 AB 的垂直平分线，P 在 l 上，PA=5cm，求 PB 的长度；（2）如图，OC 平分∠AOB，PD⊥OA 于 D，PD=3cm，求 PE（P 到 OB 的距离）。解：（1）∵l 是 AB 的垂直平分线，P 在 l 上，∴PB=PA=5cm（线段垂直平分线性质 1）；（2）∵OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=3cm（角平分线性质 1）。幻灯片 6：核心知识点 4—— 等腰三角形的轴对称性质（回顾与衔接）1. 等腰三角形的轴对称特征：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（也是底边的垂直平分线、底边的高所在直线，三线合一）。2. 等腰三角形的核心性质（基于轴对称）：（1）等边对等角：等腰三角形的两底角相等（由折叠后两底角重合推导）；（2）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（由对称轴是底边垂直平分线推导）。3. 等边三角形的轴对称性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，有 3 条对称轴（每条角平分线所在直线），且三条对称轴交于一点（重心、内心、垂心重合）。例题：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，AD 是底边 BC 的中线，∠B=50°，求∠BAD 的度数。解：∵AB=AC，AD 是 BC 的中线，∴AD 平分∠BAC 且 AD⊥BC（三线合一）；∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°（等边对等角）；∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，故∠BAD=∠BAC/2=40°。幻灯片 7：高频易错点总结混淆 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称”：错误：认为 “等腰三角形与它的对称轴成轴对称”（实际等腰三角形是单个图形，属于轴对称图形）；避坑：看图形数量 —— 单个图形是 “轴对称图形”，两个图形是 “成轴对称”。忽略 “垂直平分” 的双重条件：错误：认为 “经过线段中点的直线就是对称轴”（忽略 “垂直” 条件），或 “垂直于线段的直线就是对称轴”（忽略 “平分” 条件）；避坑：对称轴需同时满足 “垂直于对应点连线” 和 “平分对应点连线”，线段的对称轴必须是垂直平分线。角平分线性质应用忽略 “垂直” 条件：错误：点 P 在角平分线上，连接 P 与角两边上的点 D、E，错误认为 PD=PE（未作 PD⊥OA、PE⊥OB）；避坑：角平分线性质中的 “距离” 是垂线段长度，必须作垂线，确保 PD、PE 是垂线段。作对称图形时关键点遗漏或距离计算错误：错误：作三角形对称图形时，只作两个顶点的对应点，导致图形变形；或截取对应点时距离不等，导致对称图形与原图形不全等；避坑：作对称图形时，需确定所有关键顶点（如三角形 3 个顶点、四边形 4 个顶点），并用量角器 / 直尺确保对应点到对称轴的距离相等。幻灯片 8：综合例题 1（轴对称性质与线段、角结合）例 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于 D，交 BC 于 E，求证：AE=BE，且 AE 平分∠BAC。分析：利用线段垂直平分线性质得 AE=BE，再结合等腰三角形性质证角平分线；证明：①∵DE 是 AB 的垂直平分线，E 在 DE 上，∴AE=BE（线段垂直平分线性质 1）；②∵AE=BE，∴△ABE 是等腰三角形，∠B=∠BAE（等边对等角）；③∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形，∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°；④∴∠BAE=30°，∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°？（修正：∠BAC=120°，∠BAE=30°，故∠CAE=90°，实际需证明 AE 平分∠BAC，此处题目可能有误，应为 “AE=BE=CE”，调整后：②∵AE=BE，∴∠B=∠BAE=30°，∠AEC=∠B+∠BAE=60°（外角性质）；③∵AB=AC，∠C=30°，∴△AEC 中，∠CAE=180°-∠C-∠AEC=90°，若 BC=2BE，则 AE=BE=CE，此处按原题证明 AE=BE 及∠BAE=30° 即可）。幻灯片 9：综合例题 2（轴对称变换与图案设计）例 2：如图，已知一个基本图形（等腰直角三角形）和对称轴 l，利用轴对称变换设计一个轴对称图案，并说明设计步骤。设计步骤：①以等腰直角三角形 ABC 为基本图形，对称轴为 l；②作△ABC 关于 l 的对称图形△A'B'C'；③作△A'B'C' 关于 l 的对称图形△A''B''C''（以 l 为对称轴，重复对称变换）；④依次连接 ABC、A'B'C'、A''B''C''，得到连续的轴对称图案（如 “箭头链”）；图案特征：整体图案沿 l 对称，且每个基本图形与相邻图形成轴对称，具备对称美感。幻灯片 10：章末检测题（基础篇）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆线段的对称轴是______，角的对称轴是______。如图，l 是 AB 的垂直平分线，P 在 l 上，PA=6cm，则 PB=______cm；若∠PAB=30°，则∠PBA=______°。等腰三角形的一个角为 70°，则它的顶角为______°，对称轴有______条。幻灯片 11：章末检测题（提升篇）如图，OC 平分∠AOB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，PD=2cm，OE=3cm，求 OP 的长度（提示：先证△PDO≌△PEO）。如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，l 是底边 BC 的垂直平分线，l 交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：AD=AE，BD=CE。幻灯片 12：检测题答案基础篇：B（平行四边形沿任意直线折叠后，两部分不重合，不是轴对称图形）；线段的垂直平分线，角平分线所在的直线；6（垂直平分线性质），30°（△PAB 是等腰三角形，PA=PB，故∠PBA=∠PAB）；70 或 40（70° 是顶角或底角），1（等腰三角形有 1 条对称轴）。提升篇：证明：∵OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE=2cm（角平分线性质）；在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）；∴OE=OD=3cm（全等性质）；在 Rt△PDO 中，OP=√(PD²+OD²)=√(2²+3²)=√13≈3.61cm；证明：∵l 是 BC 的垂直平分线，∴DB=DC，EB=EC（垂直平分线性质）；∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）；∵DB=DC，∴∠B=∠DCB（等边对等角），同理∠C=∠EBC，故∠DCB=∠EBC；∴DE∥BC（内错角相等），又 l 是 BC 的垂直平分线，∴AD=AE（等腰三角形三线合一）；∵AB=AD+BD，AC=AE+CE，AB=AC，AD=AE，∴BD=CE。幻灯片 13：课堂小结知识梳理：概念层：区分轴对称图形与两个图形成轴对称，理解对称轴、对应点的定义；性质层：掌握轴对称的核心性质（对应点连线垂直平分、对应线段 / 角相等），以及线段、角、等腰三角形的轴对称性质；操作层：会作一个图形关于某直线的对称图形，利用轴对称变换设计图案。解题思路：证明线段 / 角相等：若涉及对称轴、垂直平分线、角平分线，优先用轴对称性质（如垂直平分线上点到两端距离相等）；作对称图形：按 “找关键点→作对应点→连线段” 步骤，确保对应点到对称轴距离相等；判断对称类型：看图形数量和折叠效果，单个图形是轴对称图形，两个图形是成轴对称。幻灯片 14：课后作业整理本章错题，按 “概念错误”“性质应用错误”“作图错误” 分类标注；完成教材章末复习题；拓展题：利用轴对称变换设计一个简单的轴对称图案（如窗花、logo），并标注对称轴和对应点。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴.2. 轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.一. 轴对称图形与轴对称3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称 区别联系图形 轴对称图形是指 ( ) 个具有特殊形状的图形，只对 ( ) 个图形而言轴对称是指 ( ) 个全等图形的位置关系，必须涉及 ( ) 个图形如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形一一两两4. 轴对称的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.1. 等腰三角形的性质 二. 简单的轴对称图形角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3. 角平分线的性质2. 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.(1) 画直线 EF；(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；（2）连接 B″O，B′O，BO.因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，所以∠BOM =∠B′OM.因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称，所以∠B′OE =∠B″OE.所以∠BOB″ = 2(∠B′OM +∠B′OE) = 2α.MN 轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等.2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．解：如图，△A′B′C′ 就是所求作的图形.l例2 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.试说明：∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角之间的数量关系.解：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图.所以 AE⊥BC，∠1 = ∠2 = ∠BAC.所以∠AEC = 90°，∠2 +∠ACB = 90°. 因为 BD⊥AC，所以∠2 =∠DBC.所以∠BAC = 2∠DBC.因为 AB = AC，所以∠BDC = 90°，∠DBC +∠ACB = 90°.例3 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cmC解析：因为 DE 垂直平分 AB，所以 AD＝BD. 所以△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝BC＋AD＋CD＝BC＋AC＝35 cm. 因为 AC＝20 cm，所以 BC＝35－20＝15 (cm). 故选C 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转化，从而来求线段之间的关系及和差等，有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.例4 如图，公路 l1，l2 的附近有两个城镇 A，B. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，并注明点 C 的位置 (保留作图痕迹，不要求写出画法).【分析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.解：根据题意，点 C 应满足两个条件：一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 C 应是它们的交点.(2) 作线段 AB 的垂直平分线 FG；则射线 OD，OE 与直线 FG 的交点 C1，C2 就是所求的位置.(1) 作两条公路夹角的平分线 OD 和 OE；2. 如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm.18分类讨论思想和方程思想例5 已知等腰三角形的一个内角为 40°，求这个等腰三角形另外两角的度数.【提示】要考虑此角是顶角还是底角两种情况.解：若 40° 角是该等腰三角形的顶角，设一个底角为 x°，则根据三角形的内角和定理得 x + x + 40 = 180，解得 x = 70，即此时该等腰三角形的另外两角度数都是 70°；若 40° 角是该等腰三角形的底角，设其顶角为 y°，则根据三角形的内角和定理得 y + 40 + 40 = 180，解得 y = 100，即此时另外两角度数是 40° 和 100°.3. 若等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求它的周长.解：① 若腰长为 6，则底边长为 4， 周长为 6 + 6 + 4 = 16； ② 若腰长为 4，则底边长为 6， 周长为 4 + 4 + 6 = 14. 故这个三角形的周长为 14 或 16.考点1 轴对称图形1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，是轴对称图形的是( )BA. B. C. D. 返回2. [2024徐州期末] 如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有( )DA. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 返回考点2 轴对称的性质3. [2024晋中期中] 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅C 成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支. 按如图所示的方法折纸，则下列说法不正确的是 ( )【点拨】如图.    返回      返回考点3 等腰三角形的性质（第5题） D  返回（第6题） D （第6题）  返回考点4 线段垂直平分线的性质（第7题） CA. 6 B. 12 C. 15 D. 18（第7题）   返回（第8题） B  返回考点5 角平分线的性质（第9题） BA. 2 B. 3 C. 4 D. 5   返回（第10题） DA. 18 B. 7.2 C. 6 D. 4.5    返回       返回思想1 分类讨论思想 A  返回思想2 方程思想 C    返回思想3 转化思想    返回生活中的轴对称轴对称现象两个图形成轴对称，及其对称轴轴对称图形，及其对称轴简单的轴对称图形等腰三角形的性质轴对称的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等应用图案设计计算与推理必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！