6.3 用关系式表示变量之间的关系 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：6.3 用关系式表示变量之间的关系副标题：北师大版七年级下册 第六章 变量之间的关系授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾与情境引入复习回顾：用表格表示变量关系：通过对应数值呈现变量间的关系，直观但数据有限，难以快速预测任意值（如表格未列出自变量为 10 时的因变量值）；变量关系的核心：自变量与因变量之间通常存在固定的数量关系（如 “总价 = 单价 × 数量”“路程 = 速度 × 时间”）。情境引入：展示问题：某文具店中性笔单价为 2 元 / 支，若购买数量为 x 支，总价为 y 元。用表格表示时，需列出多组 x 与 y 的对应值（如 x=1 时 y=2，x=2 时 y=4…），但要表示任意数量 x 对应的总价 y，表格无法穷尽。提出疑问：能否用一个简洁的式子直接表示 x 与 y 的关系，从而快速计算任意 x 对应的 y 值？由此引出本节课主题 —— 用关系式表示变量之间的关系。幻灯片 3：关系式的定义与书写规范关系式的定义：用含自变量的数学式子表示因变量与自变量之间的关系，叫做变量间的关系式（也叫函数关系式）。实例：中性笔购买问题中，总价 y 与数量 x 的关系式为y = 2x，其中 x 是自变量，y 是因变量，y 的值由 x 的值确定。书写规范：变量符号：通常用 x、t 等字母表示自变量，用 y、s 等字母表示因变量（可根据实际意义选择，如用 t 表示时间，s 表示路程）；格式要求：一般将因变量单独放在等号左边，自变量的式子放在等号右边（如 y = 2x，s = 50t）；单位标注：关系式中不包含单位（单位在最终结果中注明），但需明确变量的实际意义（如 x 表示 “购买数量（支）”，y 表示 “总价（元）”）；取值范围：根据实际意义注明自变量的取值范围（如 x≥0 且为整数，因购买数量不能为负数或小数）。实例解析：问题：汽车以 50 千米 / 小时的速度匀速行驶，行驶时间为 t 小时，行驶路程为 s 千米。关系式：s = 50t；变量意义：t（自变量，行驶时间，单位：小时），s（因变量，行驶路程，单位：千米）；取值范围：t≥0（时间不能为负数）。幻灯片 4：从实际问题中推导关系式推导步骤：确定变量：明确问题中的自变量（主动变化的量）和因变量（被动变化的量）；分析数量关系：根据实际问题中的公式、规律（如 “总价 = 单价 × 数量”“面积 = 长 × 宽”），找出变量间的数学关系；列出关系式：将因变量写在等号左边，自变量的式子写在等号右边，化简式子（若有需要）；注明取值范围：结合实际意义确定自变量的取值范围（如人数为正整数，长度为正数）。实例 1：几何图形问题：问题：正方形的边长为 a，面积为 S，推导 S 与 a 的关系式。推导：变量：自变量 a（边长），因变量 S（面积）；数量关系：正方形面积 = 边长 × 边长（S = a×a）；关系式：S = a²；取值范围：a > 0（边长为正数）。实例 2：生活应用问题：问题：某手机套餐月租费 18 元，每超出套餐流量 1GB 收费 5 元，设每月超出流量 x GB，每月总费用为 y 元（x≥0）。推导：变量：自变量 x（超出流量），因变量 y（总费用）；数量关系：总费用 = 月租费 + 超出流量费用（超出流量费用 = 5x）；关系式：y = 18 + 5x；取值范围：x≥0（超出流量不能为负数，可为小数）。幻灯片 5：用关系式计算变量值计算步骤：确定已知量：明确题目中给出的自变量值（或因变量值）；代入关系式：将已知的变量值代入关系式中，替换对应的变量符号；计算求解：根据代数运算规则计算未知变量的值；注明单位与合理性：在结果后注明单位，并验证结果是否符合实际意义（如人数为整数，金额为正数）。实例 1：已知自变量求因变量：问题：在关系式 y = 2x + 3 中，当 x = 5 时，求 y 的值。计算：代入：x = 5 代入 y = 2x + 3；计算：y = 2×5 + 3 = 13；结果：y = 13（若 x 表示数量，y 表示总价，则 y = 13 元）。实例 2：已知因变量求自变量：问题：在关系式 s = 50t 中，当 s = 200 千米时，求 t 的值。计算：代入：s = 200 代入 s = 50t，得 200 = 50t；求解：t = 200÷50 = 4；结果：t = 4 小时（符合时间为正数的实际意义）。幻灯片 6：例题讲解 1（推导关系式并计算）例 1：某工厂生产一种零件，每件成本为 12 元，每天固定设备折旧费为 300 元，设每天生产 x 件零件，每天总成本为 y 元。（1）推导 y 与 x 的关系式；（2）求每天生产 50 件零件时的总成本；（3）若每天总成本控制在 1500 元以内，每天最多可生产多少件零件？解：（1）- 变量：自变量 x（生产数量，件），因变量 y（总成本，元）；数量关系：总成本 = 固定折旧费 + 单件成本 × 生产数量（y = 300 + 12x）；关系式：y = 12x + 300；取值范围：x≥0 且为整数（生产数量为非负整数）。（2）- 代入：x = 50 代入 y = 12x + 300；计算：y = 12×50 + 300 = 600 + 300 = 900；结果：每天生产 50 件时，总成本为 900 元。（3）- 代入：y ≤ 1500 代入 y = 12x + 300，得 12x + 300 ≤ 1500；求解：12x ≤ 1200 → x ≤ 100；结果：x 为整数，故每天最多可生产 100 件零件。幻灯片 7：例题讲解 2（几何图形中的关系式应用）例 2：如图，在长方形 ABCD 中，长 AB = 8cm，宽 AD = 5cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 运动，设 AP 的长度为 x cm（0 ≤ x ≤ 8），△ADP 的面积为 S cm²。（1）推导 S 与 x 的关系式；（2）当 x = 3cm 时，求△ADP 的面积；（3）当△ADP 的面积为 10cm² 时，求 AP 的长度。解：（1）- 变量：自变量 x（AP 长度，cm），因变量 S（△ADP 面积，cm²）；数量关系：△ADP 是直角三角形，面积 = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高（底 AP = x，高 AD = 5）；关系式：S = \(\frac{1}{2}\)×x×5 = 2.5x；取值范围：0 ≤ x ≤ 8（P 在 AB 上运动，AP 长度在 0 到 8 之间）。（2）- 代入：x = 3 代入 S = 2.5x；计算：S = 2.5×3 = 7.5；结果：△ADP 的面积为 7.5cm²。（3）- 代入：S = 10 代入 S = 2.5x，得 10 = 2.5x；求解：x = 10÷2.5 = 4；结果：AP 的长度为 4cm（在 0 ≤ x ≤ 8 范围内，合理）。幻灯片 8：关系式与表格表示的对比表示方式优点缺点适用场景关系式1. 简洁明了，能表示任意自变量对应的因变量值；2. 便于计算和预测；3. 能体现变量间的本质数量关系1. 不够直观，需通过计算才能得到具体数值；2. 不易直接观察变化趋势1. 需要计算任意变量值；2. 分析变量间的规律；3. 进行预测和控制（如成本控制）表格1. 直观呈现对应数值；2. 便于观察变化趋势；3. 无需计算即可读取数据1. 数据有限，无法穷尽所有变量值；2. 不便于表示变量间的本质关系1. 呈现有限组已知数据；2. 初步分析变化趋势；3. 验证关系式的正确性实例对比：中性笔购买问题（单价 2 元 / 支）：关系式：y = 2x（可计算任意 x 对应的 y，如 x=100 时 y=200）；表格：仅能列出 x=1 到 x=5 对应的 y 值，无法快速得到 x=100 时的 y 值。幻灯片 9：易错点分析易错点 1：关系式书写格式错误：错误示例：将 “总价 y = 单价 2 元 × 数量 x” 写成 “y = 2 元 ×x”（包含单位），或 “x = y÷2”（因变量未在左边）。避坑方法：牢记关系式中不含单位，因变量单独在等号左边，自变量式子在右边（如 y = 2x）。易错点 2：忽略自变量的取值范围：错误示例：在 “正方形面积 S = a²” 中，未注明 a > 0，或在 “人数 x” 的关系式中允许 x 为负数或小数。避坑方法：结合实际意义分析自变量的取值范围（如人数为正整数，长度为正数，时间非负），并在关系式后注明。易错点 3：代入计算时符号或运算错误：错误示例：在 y = -2x + 5 中，x = 3 时，误算为 y = -2×3 + 5 = -11（正确应为 y = -6 + 5 = -1）。避坑方法：代入时注意符号（尤其是负数、分数），计算后验算（如 x=3 时，y=-2×3+5=-1，再代入关系式验证 - 1 是否等于 - 2×3+5）。易错点 4：混淆自变量与因变量：错误示例：在 “路程 s = 50t” 中，已知 s=100，求 t 时，写成 “100 = 50t → t=2”（正确），但误将 t 当作因变量，s 当作自变量。避坑方法：始终明确 “自变量主动变，因变量被动变”（如时间 t 主动变，路程 s 被动变，故 t 是自变量，s 是因变量），代入计算时不混淆两者角色。幻灯片 10：课堂练习 1（推导关系式并计算）某书店售卖一本畅销书，每本售价为 35 元，设售出数量为 x 本，销售额为 y 元。（1）推导 y 与 x 的关系式，并注明自变量取值范围；（2）求售出 80 本时的销售额；（3）若销售额为 7000 元，求售出的数量。一个长方形的长为 10cm，宽为 x cm，周长为 C cm。（1）推导 C 与 x 的关系式；（2）当 x = 6cm 时，求长方形的周长；（3）当周长 C = 36cm 时，求长方形的宽。幻灯片 11：课堂练习 1 答案（1）- 关系式：y = 35x；取值范围：x≥0 且为整数（售出数量为非负整数）；（2）- 代入 x=80：y = 35×80 = 2800；结果：销售额为 2800 元；（3）- 代入 y=7000：7000 = 35x → x=200；结果：售出 200 本。（1）- 周长公式：C = 2×(长 + 宽) = 2×(10 + x) = 2x + 20；关系式：C = 2x + 20；取值范围：x > 0（宽为正数）；（2）- 代入 x=6：C = 2×6 + 20 = 32；结果：周长为 32cm；（3）- 代入 C=36：36 = 2x + 20 → 2x=16 → x=8；结果：宽为 8cm。幻灯片 12：课堂练习 2（综合应用）某出租车的收费标准为：起步价 8 元（3 千米以内，含 3 千米），超过 3 千米后，每千米收费 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算），设行驶路程为 x 千米（x≥0），车费为 y 元。（1）分情况推导 y 与 x 的关系式（x≤3 和 x>3）；（2）求行驶 5 千米时的车费；（3）若车费为 14 元，求行驶的最大路程。幻灯片 13：课堂练习 2 答案（1）- 情况 1：x≤3 且 x≥0（含 3 千米）：y = 8；情况 2：x>3 且 x 为整数（超过 3 千米）：y = 8 + 1.5×(x - 3) = 1.5x + 3.5；若 x 为非整数（如 3.2 千米按 4 千米算）：需先取整，再代入情况 2 关系式；（2）- x=5>3，代入情况 2：y = 1.5×5 + 3.5 = 7.5 + 3.5 = 11；结果：车费为 11 元；（3）- 车费 y=14>8，代入情况 2：14 = 1.5x + 3.5 → 1.5x=10.5 → x=7；结果：行驶的最大路程为 7 千米（若 x=7.1 千米，车费为 1.5×8 + 3.5=15.5 元 > 14 元，故最大为 7 千米）。幻灯片 14：课堂小结核心内容：新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 确定一个三角形面积的量有哪些？三角形的底边长和对应高如图，△ABC 底边 BC 上的高是 6 cm. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化.三角形的底边长是自变量，三角形的面积是因变量.用关系式表示变量间的关系点击几何画板播放当底边长减小时，三角形的面积减小.(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? (2) 如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 如何表示?(3) 在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗?与同伴进行交流. 当 x＝9 时，y＝27. 所以取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定.(4) 你能用表格完成三角形 ABC 面积变化的过程吗?3027242118y = 3x 表示了三角形底边长 x 和三角形面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式.注意：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法，利用关系式 (如 y = 3x)， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.要点归纳利用表格可以写出关系式，利用关系式可以列表格，两者各有优缺点直观反映两个变量的对应关系及变化趋势准确反映两个变量间的关系，已知一个变量的值，可以求出另一个变量的值变量的取值个数有限，估计时会有误差变量间的对应关系不太直观归纳总结你还记得圆锥的体积公式是什么吗？其中的字母表示什么？想一想V 表示圆锥体积；r 表示圆锥底面半径；h 表示圆锥的高.r变化中的圆锥 hrrh底面半径不变高变 高不变底面半径变 ←点击图标演示→ 如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的高不变，底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量.观察·思考(1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的?底面半径增大时，圆锥的体积随之增大.(2) 如果圆锥底面半径为 r (单位：cm)，那么圆锥的体积 V (单位：cm3) 如何表示？ (3) 在这个变化过程中，取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定吗?  你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.尝试·交流一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示：(1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗? 其中的字母表示什么?y = 0.785x其中 y(kg)表示家居用电的二氧化碳排放量、x ( kW·h)表示用电量随着用电量的增加，二氧化碳排放量增加.(3) 当用电量为 100 kW·h 时，二氧化碳排放量是多少?78.5 kg(2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的? 与同伴进行交流.(4) 小明家本月大约用电 110 kW·h、开车耗油 75 L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和.家居用电的二氧化碳排放量：110×0.785 = 86.35（kg）；开私家车的二氧化碳排放量：75×2.7 = 202.5（kg）.天然气的二氧化碳排放量：20×0.19 = 3.8（kg）；自来水的二氧化碳排放量：5×0.91 = 4.55（kg）；二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55 =297.2(kg) 根据表格中所列的数据，列出两个变量间的关系式，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值归纳总结例 如图所示，梯形 ABCD 的上底长 AD＝x cm，下底长 BC＝25 cm，高 DE＝10 cm，梯形面积是 y cm²，上底长为 x cm.(1) y 与 x 之间的关系式是什么?(2) 用表格表示当 x 从 1 变到 6 时(每次增加 1)，y 的相应值:————————————130135140145150155 (3) 当 x 每增加 1 时，y 如何变化? 说说你的理由.(4) 当 x＝0 时，y 等于什么? 此时 y 表示的是什么?(3) 当 x 每增加 1 时，y 随着增加 5.(4) 当 x = 0 时，y = 125，此时 y 表示的是△ABC 的面积. C  返回  C  返回  4.某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵.  39 000 返回   返回 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？【解】在这个变化过程中，自变量是长方形小花园的宽，因变量是长方形小花园的面积.  （3）当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花园的面积增加了多少平方米？  返回     （3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？  返回 A  返回 B  返回   返回11. 观察下图，回答问题：  35 返回求变量之间关系式的“三途径”3. 结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如 “销量×(售价－进价) = 利润”等.2. 利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类 几何图形的周长、面积、体积公式等；1. 根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关 系式；必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！