6.3 用关系式表示变量之间的关系--【2024北师版】2024-2025学年七年级数学下册教学同步课件

1.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，发展模型观念.2.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系.幂的乘方教案一、教学目标知识与技能目标理解幂的乘方的运算法则。能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。过程与方法目标通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。二、教学重难点重点幂的乘方运算法则的理解与掌握。运用幂的乘方运算法则进行准确计算。难点幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）复习引入（5 分钟）提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。（二）探究新知（20 分钟）计算以下式子：\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。对法则进行推导：根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：计算\((10^3)^5\)解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。例 2：计算\((a^4)^3\)解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。例 3：计算\([(-2)^3]^4\)解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。（四）课堂练习（10 分钟）计算：\((5^2)^3\)\((a^3)^4\)\([( - 3)^2]^5\)\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。（五）课堂小结（5 分钟）与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。（六）布置作业（5 分钟）课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。如图，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．思考(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？自变量:三角形的底边长， 因变量:三角形的面积 当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的?当底边长减小时，三角形的面积也减小.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系(2)如果三角形的底边长为 x(单位：cm) ，那么三角形的面积 y(单位：cm2)可以表示为 ．(3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗?(3)取定一个底边x的值，面积y的值能确定.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系y=3x如图，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫作关系式法.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系“y=3x”表示了三角形面积和三角形底边长之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式(因变量写到等号的左边).求两个变量之间关系式的常见类型：(1)利用公式写出变量之间的关系式，如三角形的面积公式；(2)根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；(3)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？底面半径增大时，圆锥的体积也增大.如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.(2)如果圆锥的底面半径为r(单位：cm)，那么圆锥的体积V(单位：cm3)如何表示?知识点 用关系式表示两个变量之间的关系 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.(3)在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗?知识点 用关系式表示两个变量之间的关系取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定.通过探究，你认为关系式法有什么优缺点？用关系式表示两个变量之间关系的优缺点优点:能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数值关系，便于分析计算；缺点:需要计算，不直观，只能反映规律性较强的变量间的关系，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系例1 如图，在一块长方形钢板上，截下两个完全相同的半圆，设阴影部分的面积为S(cm2)，半圆的直径为a cm.(1)指出其中的自变量与因变量； (2)求S与a的关系式，并求a＝10cm时阴影部分的面积(结果保留π).知识点 用关系式表示两个变量之间的关系知识点 用关系式表示两个变量之间的关系 知识点 用关系式表示两个变量之间的关系跟踪训练 变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2时，因变量y的值是( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2C尝试 你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．知识点 用关系式表示两个变量之间的关系家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝用电量(kW · h)×0.785(1)请用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式，其中的字母表示什么？(2)随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?(2)用电量每增加1 kw·h，二氧化碳排放量就增加0.785 kg.(3)当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量为多少？(3)把x=100代入y=0.785x，解得y=78.5，即二氧化碳排放量为78.5 kg.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系 （1）y=0.785x，其中y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示用电量.(4)小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油 75L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和.(4)110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=297.2(kg)，故小明家这几项的二氧化碳排放量总和为297.2 kg.知识点 用关系式表示两个变量之间的关系 C  返回  C  返回  4.某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵.  39 000 返回   返回 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？【解】在这个变化过程中，自变量是长方形小花园的宽，因变量是长方形小花园的面积.  （3）当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花园的面积增加了多少平方米？  返回     （3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？  返回 A  返回 B  返回能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数值关系，便于分析计算需要计算，不直观，只能反映规律性较强的变量间的关系，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫作关系式法优点缺点用关系式表示变量之间的关系根据关系式求值关系式法