6.1 现实中的变量--【2024北师版】2024-2025学年七年级数学下册教学同步课件

1. 在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子.幂的乘方教案一、教学目标知识与技能目标理解幂的乘方的运算法则。能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。过程与方法目标通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。二、教学重难点重点幂的乘方运算法则的理解与掌握。运用幂的乘方运算法则进行准确计算。难点幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）复习引入（5 分钟）提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。（二）探究新知（20 分钟）计算以下式子：\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。对法则进行推导：根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：计算\((10^3)^5\)解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。例 2：计算\((a^4)^3\)解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。例 3：计算\([(-2)^3]^4\)解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。（四）课堂练习（10 分钟）计算：\((5^2)^3\)\((a^3)^4\)\([( - 3)^2]^5\)\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。（五）课堂小结（5 分钟）与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。（六）布置作业（5 分钟）课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.开始制动完全停止汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.思考 (1)这个情境中有哪些量?(1)制动初速度，制动距离.知识点1 变量和常量知识点1 变量和常量汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.思考 (2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗?(2)会.(3)下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗?知识点1 变量和常量(3)制动距离随制动初速度的增大而增大.探究 1.某海域海水的压强p(单位:Pa)与水深h(单位:m)之间的关系满足:p=9.8ρh(其中ρ为海水的密度，通常为1.03×103kg/m3).(1)这个情境中有哪些量?(2)随着水深h的变化，其他量会发生变化吗?(1)海水的压强p，水深h，海水的密度ρ.(2)随着水深h的变化，海水的压强p会发生变化，海水的密度ρ不会发生变化.知识点1 变量和常量探究 2.下图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况.知识点1 变量和常量(1)这个情境中有哪些量?(1)时间，棚内温度，棚外温度.知识点1 变量和常量(2)你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗?棚外温度呢?知识点1 变量和常量(2)这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化先降低后升高，再降低再升高.棚外温度随时间的变化先降低再升高再降低.(3)你还有哪些发现?知识点1 变量和常量(3)答案不唯一，这个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度一直比棚外温度高.变量和常量:在变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.知识点1 变量和常量上面情境中有许多变化的量，如制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量.你能举个常量的例子吗？变量和常量:在变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.知识点1 变量和常量一定海域内，在海水的压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变.像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量.知识点1 变量和常量变量与常量是相对于某个变化过程而言的.当变化过程改变时，其中的变量与常量也可能随之改变.例如：对于s=vt，当v不变时，v为常量，s，t为变量；当t不变时，t为常量，s，v为变量.例1 如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB固定不动，木条AC自由转动至AC′的位置.在转动过程中，下面的量是常量的为( )A.∠BAC的度数 B.BC的长度C.△ABC的面积 D.AC的长度解析:木条AC绕点A自由转动至AC′的过程中， ∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量. AC的长度始终不变，故AC的长度是常量.D知识点1 变量和常量自变量和因变量:一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是自变量，y是因变量.知识点2 自变量和因变量回顾刚刚的问题，你能辨别其中的自变量和因变量吗？上面情境中制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等变量.制动距离随制动初速度的变化而变化，海水的压强随水深的变化而变化，棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化.知识点2 自变量和因变量自变量因变量自变量因变量自变量因变量自变量与因变量的区别与联系知识点2 自变量和因变量先发生变化或主动发生变化的量.随着自变量的变化而变化的量.①两者都是某一变化过程中的变量；②两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化.例2 下列情境中有哪些变量?其中，哪个是自变量，哪个是因变量?地表以下岩层的温度y(单位:℃)随所处深度x(单位:km)的变化而变化，在某地y与x之间的关系可以近似地表示为y=35x+20.知识点2 自变量和因变量解:变量:地表以下岩层的温度y，所处深度x.其中，x是自变量，y是因变量.知识点2 自变量和因变量跟踪训练 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化,在这个变化过程中,自变量是( )A.热水器里的水温B.太阳光的强弱C.热水器的容积D.太阳照射时间的长短D1. 浩浩想要给妈妈调制一杯糖水，先往杯子中装了一定质量的糖，然后向杯子中加入水，随着水量的增加，糖水的浓度逐渐降低，这个变化过程中的常量和变量分别是( )AA. 糖的质量，糖水的浓度B. 杯子的质量，糖的质量C. 水的体积，糖水的浓度D. 糖水的浓度，糖的质量 返回2. 2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射任务取得圆满成功.在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，则在上述语段中，自变量是( )BA. 货运飞船的质量B. 火箭飞行的高度C. 燃料的体积D. 火箭的质量 返回   （2）已知小红家用电量与应缴电费之间的关系如下表：【解】小红家用电量与应缴电费为变量，其中用电量为自变量，应缴电费为因变量. 返回4. [2024青岛市南区期中] 用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法：①长方形的长和宽是两个变量；②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量；③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量；④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量；⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量.其中正确的说法有( )CA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【点拨】铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，长和宽均可改变，是两个变量，所以①正确；长方形的周长一定，是常量，所以②不正确；长方形的周长一定，它的宽会随长的改变而改变，所以③正确；长方形的周长一定，它的长会随宽的改变而改变，所以④正确；长方形的周长一定，当它的长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改变，所以⑤正确.综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤. 返回5. [2024唐山期中] 如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动.在转动的过程中，下面的量是常量的为( )B  返回 （1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，______是自变量，______是因变量；气温音速   返回现实中的变量在变化过程中，数值始终不变的量自变量：主动变化的量因变量：随着自变量的变化而变化的量定义:在变化过程中，数值发生变化的量变量常量