6.1 现实中的变量（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548806.1 现实中的变量一、学习目标结合现实生活中的具体情境，理解变量和常量的概念，能准确识别问题中的变量与常量。感受现实世界中变量的普遍性，体会变量之间相互依存的关系。能通过实例分析变量的变化情况，初步感知变量之间的对应关系。在探究现实中变量的过程中，培养观察能力和抽象概括能力，体会数学与生活的密切联系。二、情境引入在我们的日常生活中，许多事物都在不断变化着。比如：每天的气温会随着时间的推移而升降；汽车行驶的路程会随着行驶时间的增加而变长；购买商品的总价会随着购买数量的变化而改变。这些变化的量背后蕴含着怎样的数学规律呢？当我们去超市买水果时，买得越多，付的钱就越多；当我们骑自行车上学时，蹬得越快，相同时间内行驶的距离就越远。在这些变化的现象中，有些量是固定不变的，而有些量则在不断变化。本节课我们就来探索现实中的变量，揭开这些变化现象背后的数学本质。三、变量与常量的概念（一）变量定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。实例分析：汽车行驶问题：一辆汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，行驶的时间为\(t\)小时，行驶的路程为\(s\)千米。在这个过程中，时间\(t\)和路程\(s\)都是变量，因为随着行驶过程的进行，\(t\)的值在不断增加，\(s\)的值也随之不断增大。购物问题：苹果的单价为 8 元 / 千克，购买苹果的重量为\(m\)千克，需要支付的总价为\(w\)元。在这个过程中，重量\(m\)和总价\(w\)都是变量，因为购买的重量不同，支付的总价也会不同。气温变化问题：一天中，时间为\(h\)时，气温为\(T\)℃。在这个过程中，时间\(h\)和气温\(T\)都是变量，因为不同的时间点，气温往往是不同的。（二）常量定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量。实例分析：在上述汽车行驶问题中，汽车行驶的速度 60 千米 / 小时是常量，因为在整个行驶过程中，速度保持不变。在上述购物问题中，苹果的单价 8 元 / 千克是常量，因为苹果的单价不会随着购买重量的变化而改变。圆的面积计算公式为\(S=\pi r^2\)，其中\(\pi\)是常量，因为它的值是固定不变的（约等于 3.14）。（三）变量与常量的区别概念特点实例变量在变化过程中，数值发生变化行驶时间、行驶路程、购买重量、总价、时间、气温常量在变化过程中，数值始终不变速度、单价、\(\pi\)需要注意的是，变量和常量是相对的，同一个量在不同的变化过程中可能扮演不同的角色。例如，当研究不同速度的汽车行驶路程与时间的关系时，速度就成为了变量；而当研究同一辆汽车在不同时间内的行驶情况时，速度则是常量。四、现实中变量的具体情境分析（一）几何图形中的变量三角形的面积变化：一个三角形的底边长为\(a\)，这条底边上的高为\(h\)，三角形的面积为\(S\)，面积公式为\(S=\frac{1}{2}ah\)。若底边长\(a\)固定不变，高\(h\)发生变化，则高\(h\)和面积\(S\)是变量，底边长\(a\)和\(\frac{1}{2}\)是常量。若高\(h\)固定不变，底边长\(a\)发生变化，则底边长\(a\)和面积\(S\)是变量，高\(h\)和\(\frac{1}{2}\)是常量。正方形的周长变化：一个正方形的边长为\(x\)，周长为\(C\)，周长公式为\(C = 4x\)。当边长\(x\)发生变化时，周长\(C\)也随之变化，因此边长\(x\)和周长\(C\)是变量，4 是常量。（二）生活中的变量关系电费计算：某小区的电费收费标准为 0.5 元 / 度，设每月用电量为\(n\)度，每月电费为\(y\)元，电费计算公式为\(y=0.5n\)。用电量\(n\)和电费\(y\)是变量，收费标准 0.5 元 / 度是常量。用电量越多，电费越高，两者呈现同步变化的关系。手机话费：某手机套餐每月基本费为 58 元，包含 100 分钟通话时长，超过 100 分钟后，每分钟收费 0.2 元。设每月通话时长为\(t\)分钟（\(t>100\)），每月话费为\(p\)元，话费计算公式为\(p = 58+0.2(t - 100)\)。通话时长\(t\)和话费\(p\)是变量，基本费 58 元、包含的 100 分钟通话时长和超出后的每分钟收费 0.2 元是常量。（三）自然现象中的变量植物生长：一棵树苗的高度为\(h\)厘米，生长时间为\(t\)年。在树苗的生长过程中，高度\(h\)随着时间\(t\)的增加而逐渐增加。高度\(h\)和时间\(t\)是变量，树苗的生长速度（在一定时期内相对稳定）可看作常量。水滴下落：从高处落下的水滴，下落的距离为\(s\)米，下落的时间为\(t\)秒。水滴下落的距离会随着时间的变化而变化。下落距离\(s\)和下落时间\(t\)是变量，重力加速度（约 9.8 米 / 秒 ²）是常量。五、变量之间的关系（一）变量的依存关系在一个变化过程中，变量之间往往存在着依存关系，即一个变量的变化会引起另一个变量的变化。例如：在汽车行驶问题中，路程\(s\)随着时间\(t\)的变化而变化，时间\(t\)是主动变化的量，路程\(s\)是随着时间变化而变化的量。在购物问题中，总价\(w\)随着购买重量\(m\)的变化而变化，购买重量\(m\)是主动变化的量，总价\(w\)是随着重量变化而变化的量。（二）变量的对应关系对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量通常有唯一确定的值与之对应。例如：当汽车行驶时间\(t = 1\)小时时，行驶路程\(s=60\times1 = 60\)千米；当\(t = 2\)小时时，\(s=60\times2=120\)千米，每一个时间\(t\)的值都对应着唯一的路程\(s\)的值。当购买苹果的重量\(m = 2\)千克时，总价\(w=8\times2 = 16\)元；当\(m = 3\)千克时，\(w=8\times3 = 24\)元，每一个重量\(m\)的值都对应着唯一的总价\(w\)的值。这种变量之间的对应关系是后续学习函数概念的基础。六、典型例题解析例 1：指出下列变化过程中的变量和常量。（1）圆的周长\(C\)与半径\(r\)的关系为\(C = 2\pi r\)。（2）一个长方体的体积\(V\)与长\(a\)、宽\(b\)、高\(h\)的关系为\(V=abh\)，若长和宽固定不变，高发生变化。（3）小明带了 50 元钱去买笔记本，每本笔记本的单价为 8 元，购买笔记本的数量为\(x\)本，剩余的钱数为\(y\)元。解：（1）在\(C = 2\pi r\)中，变量是\(C\)和\(r\)，常量是\(2\)和\(\pi\)。因为圆的周长\(C\)会随着半径\(r\)的变化而变化，而\(2\)和\(\pi\)的值是固定不变的。（2）当长\(a\)和宽\(b\)固定不变，高\(h\)发生变化时，变量是\(V\)和\(h\)，常量是\(a\)和\(b\)。因为长方体的体积\(V\)会随着高\(h\)的变化而变化，而长\(a\)和宽\(b\)的值保持不变。（3）根据题意，剩余钱数\(y\)与购买数量\(x\)的关系为\(y=50 - 8x\)，变量是\(x\)和\(y\)，常量是 50 和 8。因为剩余的钱数\(y\)会随着购买笔记本的数量\(x\)的变化而变化，小明带的总钱数 50 元和笔记本的单价 8 元是固定不变的。例 2：分析下列情境中变量之间的关系。某商店出售一种文具，每个文具的售价为 15 元，设售出的数量为\(n\)个，销售额为\(w\)元。（1）写出销售额\(w\)与售出数量\(n\)之间的关系式。（2）指出关系式中的变量和常量。（3）当售出数量为 5 个时，销售额是多少？当售出数量为 10 个时，销售额是多少？解：（1）销售额等于售价乘以售出数量，因此销售额\(w\)与售出数量\(n\)之间的关系式为\(w = 15n\)。（2）在关系式\(w = 15n\)中，变量是\(w\)和\(n\)，常量是 15。因为销售额\(w\)会随着售出数量\(n\)的变化而变化，文具的售价 15 元是固定不变的。（3）当\(n = 5\)时，\(w=15\times5 = 75\)元；当\(n = 10\)时，\(w=15\times10=150\)元。即当售出数量为 5 个时，销售额是 75 元；当售出数量为 10 个时，销售额是 150 元。可以看出，随着售出数量的增加，销售额也在增加，两者呈现对应变化的关系。七、易错点警示变量与常量的判断错误：对变量和常量的概念理解不清，将在变化过程中数值发生变化的量误认为是常量，或者将数值不变的量误认为是变量。例如，在圆的面积公式\(S=\pi r^2\)中，错误地认为\(r\)是常量，而实际上\(r\)是可以变化的变量。忽略变量的相对性：没有意识到变量和常量是相对变化过程而言的，在不同的变化过程中，同一个量可能是变量也可能是常量。例如，在研究不同速度的汽车行驶情况时，错误地认为速度一定是常量，而实际上此时速度是变量。对变量之间关系的理解偏差：不能正确识别变量之间的依存关系和对应关系，例如，在分析购物问题时，不能明确总价是随着购买数量的变化而变化的。关系式书写错误：在根据实际情境写出变量之间的关系式时，因对题意理解不清而出现错误。例如，在计算剩余钱数时，误将关系式写成\(y = 8x-50\)，而正确的关系式应为\(y=50 - 8x\)。八、课堂练习填空题：（1）在路程公式\(s=vt\)中，若速度\(v\)保持不变，则变量是______，常量是______。（2）一个三角形的底为 10cm，高为\(h\)cm，面积为\(S\)cm²，则变量是______，常量是______。（3）某种报纸的单价为 1.5 元 / 份，购买的份数为\(x\)份，需支付的钱数为\(y\)元，则\(y\)与\(x\)之间的关系式为______，其中变量是______，常量是______。选择题：（1）下列关于变量和常量的说法中，正确的是（ ）A. 在一个变化过程中，只能有一个变量B. 常量是指永远不变的量C. 变量是指在变化过程中数值发生变化的量D. 以上说法都不正确（2）在圆的面积公式\(S=\pi r^2\)中，下列说法正确的是（ ）A. \(S\)、\(r\)是变量，\(\pi\)是常量B. \(S\)、\(r\)、\(\pi\)都是变量C. \(S\)是变量，\(r\)、\(\pi\)是常量D. 以上说法都不正确解答题：（1）指出下列变化过程中的变量和常量：① 长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)，面积为\(S\)，面积公式为\(S=ab\)，若长固定不变，宽发生变化。② 小明骑自行车去上学，自行车的速度为\(v\)，行驶的时间为\(t\)，行驶的路程为\(s\)，路程公式为\(s=vt\)。（2）某出租车的收费标准为：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米后，每千米收费 1.5 元。设行驶的路程为\(x\)千米（\(x>3\)），所需的费用为\(y\)元。① 写出\(y\)与\(x\)之间的关系式。② 指出关系式中的变量和常量。③ 当行驶路程为 5 千米时，所需的费用是多少？九、方法总结变量与常量的判断方法：首先明确所研究的变化过程，分析在这个过程中哪些量的数值会发生变化，哪些量的数值保持不变。数值发生变化的量是变量，数值保持不变的量是常量。注意变量和常量的相对性，同一个量在不同的变化过程中可能具有不同的角色。变量之间关系的分析方法：找出变化过程中的主动变化量和随之变化的量，明确它们之间的依存关系。根据实际情境写出变量之间的关系式，关系式能清晰地反映出变量之间的对应关系。通过代入具体数值，计算相应变量的值，进一步理解变量之间的变化规律。通过本节课的学习，我们认识了现实中的变量和常量，理解了它们的概念和区别，感受了变量之间的相互关系。变量是现实世界中变化现象的数学描述，掌握变量的相关知识，能帮助我们更好地理解和分析生活中的各种变化规律，为后续学习函数知识奠定坚实的基础。希望同学们在生活中多观察、多思考，发现更多变量的奥秘。 我们生活在一个变化的世界中，比如：在座的每一位同学，你的身高与小学时比较，有没有发生变化? 发生了怎样的变化? 一辆汽车以 40 千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程 s (千米)与行驶时间 t (时)之间的关系式为 s = 40t. 时间和路程都是变量，那么这两个变量有什么区别和联系呢？路程随时间的变化而变化时间主动变化的量自变量路程被动变化的量因变量变量变量的判断图表中获取信息分析问题学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间(如图)：支撑物高度 /cm小车下滑时间/s细心体会哦!200406080100单位:cm4.231.351.411.501.591.711.892.132.453.00支撑物高度 /cm小车下滑时间/s他们得到如下数据：(1) 表中反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量，哪个是因变量?根据上表回答下列问题：解： 反映了支撑物高度和小车下滑时间两个变量之间的关系，自变量是支撑物高度，因变量是小车下滑时间.（3）h 每增加 10 cm，t 的变化情况相同吗？（2）如果用 h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间，随着 h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？逐渐变小不同4.231.351.411.501.591.711.892.132.453.00支撑物高度 /cm小车下滑时间/s（4）随着支撑物高度 h 的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？时间发生了变化，木板的长度没变化.4.231.351.411.501.591.711.892.132.453.00支撑物高度 /cm小车下滑时间/s变量支撑物的高度 h 小车下滑的时间 t h 是自变量 t 随 h 的变化而变化t 是因变量木板的长度像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量. 常量数值发生变化的量自变量：主动变化的量；因变量：被动变化的量.归纳总结1. 某海域海水的压强 p (单位：Pa) 与水深 h (单位：m) 之间的关系满足：p = 9.8 ρh (其中 ρ 为海水的密度，通常为 1.03×103 kg/m3 ).(1) 这个情境中有哪些量?(2) 随着水深 h 的变化，其他量会发生变化吗?归纳总结解：(1) 自变量：水深；因变量：海水的压强； 常量：海水的密度.(2) 海水的压强随着水深 h 的变化而变化，海水的密度不变.2.如图反映了一个蔬菜大棚某日 18∶00 到次日18∶00 棚内温度和棚外温度的变化情况.(2) 你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗?棚外温度呢?(3) 你还有哪些发现?与同伴进行交流.(1) 这个情境中有哪些量?解:(1)大棚棚内温度，棚外温度、时间； (2)18:00到次日4:00：棚内、外温度逐渐降低； 4:00到14:00：棚内、外温度逐渐升高； 14:00到18:00：棚内、外温度逐渐降低.典例精析例 据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度(厘米/年)呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图象，回答下列问题：(1) 图中反映的是哪两个变量之间的关系? 自变量是什么?(2) 当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生?(2)由图象可得当年龄大于11 岁时，男生的平均身高增长速度大于女生.解：(1) 由图象可得图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系；自变量是年龄.1. 浩浩想要给妈妈调制一杯糖水，先往杯子中装了一定质量的糖，然后向杯子中加入水，随着水量的增加，糖水的浓度逐渐降低，这个变化过程中的常量和变量分别是( )AA. 糖的质量，糖水的浓度 B. 杯子的质量，糖的质量C. 水的体积，糖水的浓度 D. 糖水的浓度，糖的质量 返回2. 2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射任务取得圆满成功.在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，则在上述语段中，自变量是( )BA. 货运飞船的质量 B. 火箭飞行的高度C. 燃料的体积 D. 火箭的质量 返回   （2）已知小红家用电量与应缴电费之间的关系如下表：【解】小红家用电量与应缴电费为变量，其中用电量为自变量，应缴电费为因变量. 返回4. [2024青岛市南区期中] 用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法：①长方形的长和宽是两个变量；②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量；③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量；④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量；⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量.其中正确的说法有( )CA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【点拨】铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，长和宽均可改变，是两个变量，所以①正确；长方形的周长一定，是常量，所以②不正确；长方形的周长一定，它的宽会随长的改变而改变，所以③正确；长方形的周长一定，它的长会随宽的改变而改变，所以④正确；长方形的周长一定，当它的长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改变，所以⑤正确.综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤. 返回5. [2024唐山期中] 如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动.在转动的过程中，下面的量是常量的为( )B  返回 （1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，______是自变量，______是因变量；气温音速   返回1. 自变量是在一定范围内主动变化的量.2. 因变量是随自变量变化而变化的量.被动变化的量阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086