专题02 简单的轴对称图形【知识串讲+十五大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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专题02 简单的轴对称图形 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）等腰三角形（1）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（二）等边三角形（1）等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半（2）等边三角形判定①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（三）垂直平分线的性质（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（四）尺规作垂直平分线（1）过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线（2）作已知线段的垂直平分线作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 ②连接CD，即为所求（五）角平分线的性质（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB（六）尺规作角平分线作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 ②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线模块三考点一遍过考点1：等腰三角形的对称轴典例1：等腰三角形的对称轴是（　　）A．底边上的高所在的直线B．底边上的高C．底边上的中线D．顶角平分线【答案】A【知识点】画对称轴、三线合一【分析】根据轴对称的性质、等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，故选A．【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，能熟记轴对称的性质是解此题的关键，注意：对称轴是一条直线．【变式1】等腰三角形的对称轴，最多可以有(    )A．1条B．3条C．6条D．无数条【答案】B【知识点】求对称轴条数【详解】一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在直线；若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在直线．故选：B．【变式2】  下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线； ④一条线段只有一条对称轴．不正确的有 ．【答案】①②③④【知识点】画对称轴、判断命题真假【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【详解】①等腰直角三角形是轴对称图形，故不正确；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不正确；③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，故不正确； ④一条线段有两条对称轴，故不正确．故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．【变式3】下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ．（填序号）【答案】②③④【知识点】等腰三角形的定义、求对称轴条数、全等三角形的性质【分析】根据全等三角形、等腰三角形、轴对称的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】①全等的两个三角形，不一定构成轴对称的条件，故①不正确；②等腰三角形最少有1条对称轴，当等腰三角形的三边相等时，有3条对称轴，故②正确；③成轴对称的两个图形一定全等，故③正确；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形，故④正确故答案为：②③④．【点睛】本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．考点2：等边对等角的性质应用典例2：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，点E在线段AB上，且满足AE=EC．则∠BCE的度数是（　　）A．70°B．40°C．30°D．20°【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据等边对等角得到∠ACB=∠B=70°，然后利用三角形内角和定理得到∠A=180°−∠B−∠ACB=40°，然后根据等边对等角得到∠ECA=∠A=40°，进而求解即可．【详解】∵△ABC中，AB=AC，∠B=70°，∴∠ACB=∠B=70°∴∠A=180°−∠B−∠ACB=40°∵AE=EC∴∠ECA=∠A=40°∴∠BCE=∠ACB−∠ACE=30°．故选：C．【变式1】如图，△ABC中，D是BC边上一点，AC=AD=BD，∠BAC=105°，则∠C的度数为（   ）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】D【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C．设∠ADC=∠C=α，∴∠B=∠BAD=α2．∵∠BAC=105°，∴∠DAC=105°−α2，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+105°−α2=180°，∴α=50°，∴∠C=50°．故选D．【变式2】  如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=40°，CM平分∠ACB，点D是射线CM上一点，如果△CAD是以AC为腰的等腰三角形，那么∠ADC的度数是 ．【答案】35°或72.5°【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=70°，再分两种情况进行讨论：①AC=CD；②AC=AD，分别求出结果即可．【详解】解：在△ABC中，∠ABC=40°，BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=12180°−∠ABC=70°，∵CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=12∠ACB=35°；分两种情况：①当AC=CD时，∠ADC=∠DAC=12180°−35°=72.5°；②当AC=AD时，∠ADC=∠ACD=35°．综上所述，∠ADC的度数为72.5°或35°．【变式3】如图，在△ABC中，AC＝AE，BC＝BD，则∠ACB与∠DCE满足的关系式是 ．【答案】∠ACB+2∠DCE=180°【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．【详解】解：∵AC=AE，BC=BD，∴设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴∠ACB +（180-2x）+（180°-2y）=180°，即∠ACB +360°-2（x+y）=180°，∵∠DCE=180°-∠BDC-∠AEC=180°-（x+y），∴∠ACB+2∠DCE=180°．故答案为：∠ACB+2∠DCE=180°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，等腰三角形的性质可以解决三角形的边角相等问题，特别注意其中的转化意识对学生分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．考点3：“三线合一”应用典例3：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD，连接BD，延长AB、DC交于点E，∠ABD=∠CBD．(1)求证：AD=CD；(2)若BE=BD，∠BCD=90°，AD=2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)4【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；（1）根据AAS直接证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质，即可得证；（2）根据等腰三角形的性质得出EC=CD，进而根据（1）的结论，即可求解．【详解】（1）证明：在△ABD,△CBD中，∠A=∠BCD∠ABD=∠CBDBD=BD∴△ABD≌△CBDAAS，∴AD=CD；（2）解：∵BE=BD，∠BCD=90°，∴EC=CD，又∵AD=CD，AD=2，∴DE=2CD=2AD=4．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且点D在AC的垂直平分线上，连接AD．(1)若AB=10, BC=12，求△ABD的周长；(2)分别过点A, C作AH⊥BC于H、CM⊥AD于M，若DM=2，CD=8，求BD的长．【答案】(1)22(2)4【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三线合一【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质．（1）根据垂直平分线的性质得到CD=AD，由△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC即可解答；（2）先证明△DHA≌△DMC(AAS)，推出AH=CM,DH=DM=2，求出CH=CD−DH=6，再根据等腰三角形三线合一求出BH=CH=6，由BD=BH−DH即可解答．【详解】（1）解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD=CD，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC，∵AB=10, BC=12，∴△ABD的周长为12+10=22；（2）解：∵AH⊥BC、CM⊥AD，∴∠AHD=∠CMD=90°，∵∠MDC=∠ADH,AD=CD，∴△DHA≌△DMC(AAS)，∴AH=CM,DH=DM=2，∴CH=CD−DH=6，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=6，∴BD=BH−DH=6−2=4．【变式2】  如图1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=45°，E为AB的中点，连接CE，过点A作AD⊥BC于点D，交CE于点F．(1)求∠BAD的度数；(2)求证：CF=2BE；(3)如图2，等腰直角△ABC中，∠B=90°，BA=BC，CD平分∠ACB，交AB于点D，AE⊥CD于点E，若AE=2，求△ADC的面积．【答案】(1)22.5°(2)见解析(3)4【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．（1）根据等腰三角形的性质可得∠ACE=∠BCE=22.5°，CE⊥AB，再由∠AFE=∠CFD，即可求解；（2）根据题意可得△ADC为等腰直角三角形，从而得到AD=CD，可证明△ADB≌△CDF，从而得到AB=CF，即可求证；（3）分别延长AE，CB，相交于点F，由（2）得，CD=2AE，从而得到CD=4，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．【详解】（1）解：∵AC=BC，E为AB的中点，∴∠ACE=∠BCE，CE⊥AB，            ∵∠ACB=45°，∴∠ACE=∠BCE=22.5°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF=∠ADC=90°，        而∠AFE=∠CFD，∴∠BAD=∠BCE=22.5°；（2）证明：∵∠ACB=45°，∠ADC=90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD=CD，            又∠BAD=∠BCE，∠BDA=∠FDC=90°，∴△ADB≌△CDFASA，∴AB=CF．            ∵E为AB的中点，∴AB=2BE，∴CF=2BE．（3）解：如图，分别延长AE，CB，相交于点F，由（2）得，CD=2AE，    ∵AE=2，∴CD=4，∵AE⊥CD，∴△ADC的面积为S△ADC=12×DC×AE=12×4×2=4．【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．  (1)试说明：BO=AO；(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．【答案】(1)见解析(2)15°【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．【详解】（1）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分线，所以BO=CO，因为OE是AC的垂直平分线，所以AO=CO，所以BO=AO；（2）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD平分∠BAC，因为∠CAD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°，所以∠BAC=50°，因为OE⊥AC，所以∠AEF=90°，所以∠EFA=90°−50°=40°，所以∠BFO=180°−∠EFA=140°，因为AO=BO，所以∠OBA=∠BAD=25°，所以∠BOF=180°−∠BFO−∠OBA=15°．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．考点4：等边三角形性质典例4：下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（   ）A．等边三角形的三边都相等B．等边三角形的三个内角都是60°C．等边三角形有三条对称轴D．等腰三角形具有等边三角形的性质【答案】D【知识点】等边三角形的性质【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质及联系；根据等边三角形，等腰三角形的性质进行解答即可．【详解】解：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的性质，D选项错误；符合题意．其他选项均正确．故选：D．【变式1】如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC右侧一点，连接AD、BD、CD，BC=BD，∠BAD=20°，则∠BCD的度数为（   ）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】A【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意可得AB=BC=AC=BD,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由∠BAD=20°，推出∠BDA=20°，利用三角形内角和定理求出∠ABD=140°，进而求出∠CBD=80°，结合等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BC=BD，∴AB=BC=AC=BD,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠BAD=20°，∴∠BDA=∠BAD=20°，∴∠ABD=180°−∠BAD−∠BDA=140°，∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=80°，∴∠BCD=∠BDC=12180°−∠CBD=50°．故选：A．【变式2】  如图，在等边△ABC边上取D、E两点，沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F的位置，若DF⊥BC，则∠AED= ．【答案】45°【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边三角形的性质【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和定理和折叠的性质，熟练运用这些知识是解题关键．由等边三角形的性质可得∠A=∠B=60°，由直角三角形的性质可得∠BDF=30°，由折叠的性质可得∠ADE=∠FDE=75°，由三角形的内角和定理可求出∠AED=45°．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°．∴在Rt△DFB中，∠BDF=90°−60°=30°．∵△ADE沿着DE折叠至△FDE，∴∠ADE=∠FDE=（180°−30°）÷2=75°，∴∠AED=180°−∠A−∠ADE=180°−60°−75°=45°．故答案为：45°【变式3】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN其中，正确结论的是 ．【答案】①②/②①【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可．【详解】∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴CA=CD,CE=CB,∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∴∠DCB=∠ACE，∵DC=AC∠DCB=∠ACECB=CE，∴△ACE≌△DCBSAS，故①正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠CEM=∠CBN，∵∠CEM=∠CBNCE=CB∠MCE=∠NCB=60°，∴△CEM≌△CBNASA，∴CM=CN，故②正确；∵∠DNC>∠BCN=∠DCN=60°，∴DC>DN，∴AC>DN，故③错误；故答案为：①②．考点5：等腰三角形性质——多解性典例5：已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　）A．a≤45°B．0° ＜ α ＜ 90°C．α＝90°D．90° ＜ α ＜ 180°【答案】B【知识点】等边对等角【分析】由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和为180°，可得两个角之和小于180°，进而可求解．【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，∴∠B=∠C＝α，∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C＜180°，即：2α＜180°，∴α＜90°，又由题意可知，α＞0° ，∴0°＜α＜90°，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键．【变式1】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（   ）A．70°B．20°或70°C．40°或70°D．40°或20°【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于△ABC的形状不能确定， 故应分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ．【详解】解： 如图①， 当AB的中垂线与线段AC相交时， 则可得∠ADE=50°，∵∠AED=90°，∴∠A=90°−50°=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°−∠A2=70°；如图②， 当AB的中垂线与线段CA的延长线相交时， 则可得∠ADE=50°，∵∠AED=90°，∴∠DAE=90°−50°=40°，∴∠BAC=140°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°−∠A2=20°．∴底角∠B为70°或20°．故选：B．【变式2】  若等腰三角形的一个角为34°，则这个等腰三角形的顶角度数为 【答案】34°或112°【知识点】等边对等角【分析】等腰三角形的一个内角是34°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．【详解】解：分两种情况：当34°的角是底角时，则顶角度数为180°−34°×2=112°；当34°的角是顶角时，则顶角为34°．故答案为：34°或112°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解答问题的关键．【变式3】等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．【答案】40°或100°【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：180°−140°=40°，①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数=180°−2×40°=100° 故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．考点6：等腰三角形性质应用典例6：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ）A．12B．43C．43或2D．43或12【答案】D【知识点】等腰三角形的定义【分析】本题考查等腰三角形的定义．分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．【详解】解：当8为腰长时，∵等腰△ABC的周长为20，∴△ABC的底边长为：20−8−8=4，∴“优美比”为48=12；当8为底边长时，△ABC的腰长为：12×20−8=6，∴“优美比”为86=43；故选：D．【变式1】如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（   ）A．3.5B．5C．7.5D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的定义【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接AO，根据三角形的面积公式可得S△ABC=12AB⋅OE+12AC⋅OF=15，根据等腰三角形的性质即可求得OE+OF的值．【详解】解：连接AO，如图，∵S△ABC=S△ABO+S△AOC=12AB⋅OE+12AC⋅OF=15，∵AB=AC=6，∴12AB×(OE+OF)=15，∴OE+OF=5．故选：B．【变式2】  在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为7cm，且它的周长为18cm，则它的底边长为 cm．【答案】7cm或4【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为7cm的边分别为腰和底边，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当长为7cm的边为腰时，底边长为：18−7×2=4cm，此时：4+7>7，三边能构成三角形，符合题意；当长为7cm的边为底边时，腰长为：18−7÷2=5.5cm，此时：5.5+5.5>7，三边能构成三角形，符合题意；故答案为：7cm或4．【变式3】若等腰三角形的两边长分别是2cm和3cm ，则这个等腰三角形的周长是 cm ．【答案】7或8/8或7【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为2cm和3cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：（1）当边长为3cm的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，3cm，2cm，∵2+3>3，∴满足三角形的三边关系定理，此时这个等腰三角形的周长为3+3+2=8cm；（2）当边长为2cm的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，2cm，2cm，满足三角形的三边关系定理，此时这个等腰三角形的周长为3+2+2=7cm；综上，这个等腰三角形的周长为7cm或8cm，故答案为：7或8．考点7：等边三角形性质应用典例7：如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA=60°；③AC=DN；④EM=BN．其中正确的结论有（   ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质．根据SAS证明△ACE≌△DCB即可判断①正确；利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可判断②正确；证明△CME≌△CNB，得出ME=BN，即可判断④正确；根据ME=BN，AE=BD，得出AM=DN，根据AC>AM，得出AC>DN，即可判断③不正确．【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DAC=∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCBSAS，故①正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠PDM，∵∠ACD=60°，∠AMC=∠DMP，∴∠DPM=∠ACM=60°，即∠DPA=60°，故②正确；∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠DCE=180°−60°−60°=60°，∴∠MCE=∠NCB=60°，∵CE=CB，∴△CME≌△CNB，∴CM=CN，ME=BN，故④正确；∵ME=BN，AE=BD，∴AE−ME=DB−BN，∴AM=DN，∵AC>AM，∴AC>DN，故③不正确；综上分析可知，正确的有3个，故B正确．故选：B．【变式1】若△ABC和△EDC都是等边三角形，∠EBD=63°，则∠AEB的度数是（   ）A．117°B．119°C．121°D．123°【答案】D【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理．由已知条件推导出△ACE≌△BCD，从而∠DBC=∠CAE，再通过角之间的转化，利用三角形内角和定理能求出∠AEB的度数．【详解】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=63°，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，∴63°−∠EBC=60°−∠BAE，∴63°−(60°−∠ABE)=60°−∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=57°，∴∠AEB=180°−∠ABE+∠BAE=180°−57°=123°．故选：D．【变式2】  如图，等边△ABC，D为BC边的中点，点E在AC边上，连接DE，若AD=AE，则∠EDC= 度．【答案】15【知识点】等边对等角、三线合一、等边三角形的性质【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形，等边三角形的性质．利用等边三角形的性质求出∠DAE=30°，再利用等腰三角形的性质求出∠ADE=75°可得结论．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∠DAC=∠DAB=12∠BAC=30°,AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=12180°−30°=75°,∴∠EDC=90°−75°=15°.故答案为：15．【变式3】如图，D为等边△ABC内一点，连接AD、BD、CD，AD=BD，点P为AD右侧一点，连接BP、DP，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为 ．【答案】30°/30度【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得CD是AB的垂直平分线，根据三线合一可得∠DCB=12∠ACB=30°，进而证明△BDC≌△BDP(SAS)，根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴CA=CB=AB，∠ACB=60° 又∵AD=BD∴CD是AB的垂直平分线，∴∠DCB=12∠ACB=30°，∵DB=DB，∠DBP=∠DBC，BP=AB=BC，∴△BDC≌△BDP(SAS)，∴∠BPD=∠BCD=30°．故答案为：30°．考点8：新定义问题典例8：我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=BCAB，根据上述角的正对定义，则sad60°的值为（   ）  A．32B．22C．12D．1【答案】D【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，定义新运算，理解新定义运算的规则，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据顶角正对的概念，结合等边三角形三边关系即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，即AB=AC=BC，∴sad60°=BCAB=1， 故选：D ．【变式1】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC长为3，则腰AB的长为（    ）A．1.5B．3C．6D．1.5或6【答案】C【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3，∴AB=AC．当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；∴当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC=3，则腰AB的长为6．故选：C．【变式2】  定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰△ABC中，∠A=20°，则它的特征值k= ．【答案】7或14【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解．【详解】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180°−20°2=80° ∴特征值k=20°80°=14②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°−20°−20°=140° ∴特征值k=140°20°=7综上所述，特征值k为7或14．故答案为：7或14．【变式3】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为 ．【答案】8或12【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为x，底长为y，分两种情况讨论：当x=3时；当y=3时．【详解】设等腰三角形的腰长为x，底长为y．（1）当x=3时，分两种情况：①若x+y=3x，解得y=6．则三角形的三边长为3，3，6，不符合题意．②若2x=3y，解得y=2，则△ABC的三边长为3，3，2，符合题意．3+3+2=8△ABC的周长为8．（2）当y=3时，分两种情况：①若x+y=3x，解得x=1.5，则三角形的三边长为1.5，1.5，3，不符合题意．②若2x=3y，解得x=4.5，则△ABC的三边长为4.5，4.5，3，符合题意．4.5+4.5+3=12△ABC的周长为12．综上所述，△ABC的周长为8或12．考点9：垂直平分线的性质——求角典例9：如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　）A．15°B．25°C．30°D．35°【答案】A【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、线段垂直平分线的性质【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，AP是EC的垂直平分线，可得AE=AC,∠ADB=∠ADC=90°，根据三线合一可得∠EAD=∠CAD=12∠EAC，再根据∠B=45°，∠C=2∠CAD，即可求出∠CAD=30°的度数，进而即可求解．【详解】解：由作图过程可知：AP是EC的垂直平分线，∴AE=AC,∠ADB=∠ADC=90°，∴∠EAD=∠CAD=12∠EAC∵∠B=45°，∴∠BAD=90°−45°=45°，∵∠C=2∠CAD，∠C+∠CAD=90°∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠EAD=30°，∴∠BAE=45°−30°=15°．故选：A．【变式1】如图，△ABC中， ∠B=35°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠CAB的度数为（   ）A．80°B．75°C．70°D．60°【答案】C【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、等边对等角【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B=35°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=35°，∴∠CAB=2×35°=70°，故选：C．【变式2】  如图，直线BD⊥AC，垂足为点O，且AO=CO．若∠ADC+∠ABC=220°，则∠DAB的度数为 ．【答案】70°/70度【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明DA=AC，BA=BC，结合等腰三角形的性质可得∠BDA=∠BDC=12∠ADC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，再进一步求解即可.【详解】解：∵直线BD⊥AC，垂足为点O，且AO=CO．∴DA=DC，BA=BC，∴∠BDA=∠BDC=12∠ADC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵∠ADC+∠ABC=220°，∴∠BDA+∠ABD=12×220°=110°，∴∠DAB=180°−110°=70°，故答案为：70°【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，∠A−∠DBC=40°，则∠C的度数为 ．【答案】64°/64度【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得∠A=∠ABD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=2∠DBC+40°，进一步可得∠DBC=12°，即可求解．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A−∠DBC=40°，∴∠A=∠ABD=∠DBC+40°，∴∠ABC=∠C=2∠DBC+40°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠DBC+40°+2∠DBC+40°+2∠DBC+40°=180°，∴∠DBC=12°，∴∠C=2∠DBC+40°=64°．故答案为：64°考点10：垂直平分线的性质——求线段典例10：如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，若AB=6，BC=4．则△BDC的周长为（   ）A．6B．10C．12D．8【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出△BDC的周长=BC+AC，这也是此题的突破点．先根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再通过等量代换求出CD=AC−BD即可求解．【详解】解：∵ AB的垂直平分线交AC于点D，，∴BD=AD，∴CD=AC−AD=AC−BD，∴△BDC的周长=BC+BD+AC−BD=BC+AC，∵BC=4，AC=AB=6，∴△BDC的周长=CB+AC=4+6=10．故答案为：9．【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．则∠CAD=（   ）A．45°B．30°C．20°D．25°【答案】B【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和，角平分线的性质，因为∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．得∠B=∠1=∠2，结合∠B+∠1+∠2=180°−90°=90°计算，即可作答．【详解】解：如图：∵∠CAB的平分线交BC于点D，∴∠1=∠2，∵DE是AB的垂直平分线，垂足为E，∴AD=BD，∴∠B=∠1，∵∠C=90°，∴∠B+∠1+∠2=180°−90°=90°，解得∠B=∠1=∠2=30°,即∠CAD=30°，故选：B【变式2】  如图，在△ABC中，AC=4，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，若BN=3，则NC的长为 ．【答案】1【知识点】线段垂直平分线的性质【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到NA=NB，进而解答即可．【详解】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴NA=NB，∴CN=AC−AN=AC−BN=4−3=1，故答案为：1．【变式3】如图，在△ABC中，AD为边BC的垂直平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若AE=2BF=6，则AB的长为 ．【答案】9【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先求出BF=3，再根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，CD=BD，根据平行线的性质可得∠F=∠CED=90°，然后证出△CDE≌△BDF，根据全等三角形的性质可得CE=BF=3，根据线段和差可得AC的长，由此即可得．【详解】解：∵2BF=6，∴BF=3，∵AD为边BC的垂直平分线，∴AB=AC，CD=BD，∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∵BF∥AC，∴∠F=∠CED=90°，在△CDE和△BDF中，∠CED=∠F=90°∠CDE=∠BDFCD=BD，∴△CDE≌△BDFAAS，∴CE=BF=3，∵AE=6，∴AC=AE+CE=9，∴AB=9，故答案为：9．考点11：尺规垂直平分线典例11：（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路a、b相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两加油站的距离相等，而且P到两条公路a、b的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，此图形为轴对称图形，请用无刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、根据成轴对称图形的特征进行判断【分析】本题考查的是尺规作图的应用，包括作角的平分线、作线段的垂直平分线，以及轴对称图形的性质．（1）连接AB，作AB的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，垂直平分线与角平分线的交点P即为油库的所在地．（2）根据轴对称图形的性质，利用对应点连线一定交在对称轴上，进而得出两点，画出对称轴即可．【详解】解：（1）如图，点P即为油库应该修建的位置．（2）如图，直线l就是它的对称轴，【变式1】下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，AB，BC，CD是小路，现要在广场（四边形ABCD）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：①喷泉P到小路AB，BC的距离相等；②喷泉P到入口A和D的距离相等．请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．【答案】见解析【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键．作∠ABC的角平分线，作线段AD的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置．【详解】解：如图：点P的位置即为所求．【变式2】  如图，已知△ABC是锐角三角形AB>AC．(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若BM=5,BC=6，求ON的长．【答案】(1)见解析(2)32【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和角平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质和勾股定理等知识，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．（1）根据要求先作BC的垂直平分线，再作出∠ABC的角平分线，交直线MN于点O，交点即为O点；（2）过点O作OH⊥AB于点H．证明OH=ON，利用勾股定理求出MN，利用面积法求解即可．【详解】（1）解：如图，直线MN，点O即为所求；（2）解：过点O作OH⊥AB于点H．∵BO平分∠ABC，ON⊥BC，OH⊥AB，∴ON=OH，∵MN垂直平分线段BC，∴BN=CN=12BC=3，∵BM=5，∴MN=BM2−BN2=52−32=4，∵S△BMN=S△BMO+S△BON，∴12×3×4=12×5OH+12×3ON，∴ON=OH=32．【变式3】如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．  (1)在AC上作一点D，使AD=BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）．(2)求证：△BCD是等腰三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用DA=DB得到∠ABD=∠A=36°，所以∠BDC=72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．【详解】（1）解：如图，点D为所作，  （2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12 （180°﹣36°）=72°，∵DA=DB，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BCD是等腰三角形．【点睛】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．考点12：角平分线的性质——求线段典例12：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线与AB交于点E，连接DE，恰好DE⊥CE，则下列结论不正确的是（   ）A．AE=BEB．∠A=∠BC．DE平分∠ADCD．AD+BC=CD【答案】B【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长DE交CB的延长线于点F，根据CE是∠BCD的角平分线，DE⊥CE，可证△ECF≌△ECDASA，得到CF=CD，DE=FE，∠EDC=∠EFC，结合AD∥BC，从而证明DE平分∠ADC，△FEB≌△DEAASA，得到∠EAD=∠EBF，BF=AD，AE=BE，可证选项A，最后由CF=BC+BF，可证选项D，综上无法证明选项B，即可得到答案．【详解】解：延长DE交CB的延长线于点F，如图∵CE是∠BCD的角平分线，DE⊥CE∴∠ECF=∠ECD，∠FEC=∠DEC=90°∴△ECF≌△ECDASA∴CF=CD，DE=FE，∠EDC=∠EFC∵AD∥BC∴∠EFB=∠EDA，∠A+∠EBC=180°∴∠EDA=∠EDC∴DE平分∠ADC，故C选项不符合题意；又∵∠FEB=∠DEA∴△FEB≌△DEAASA∴∠EAD=∠EBF，BF=AD，AE=BE，故A选项不符合题意；∵CF=BC+BF，CF=CD∴CD=AD+BC，故D选项不符合题意；综上，无法得出B选项；故选：B．【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【知识点】角平分线的性质定理【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，再根据角平分线的性质定理得出DE=CD，然后根据S△ABD=12AB⋅DE=15求出DE，即可得出答案．【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，∴DE=CD．∵AB=10，∴S△ABD=12AB⋅DE=15，解得DE=3，∴CD=3．故选：A．【变式2】  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，CD=4，则DE的长为 ．【答案】4【知识点】角平分线的性质定理【分析】此题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质可得答案．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，∴DE=CD=4，故答案为：4．【变式3】如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=7，则点D到AB边的距离为 【答案】7【知识点】角平分线的性质定理【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=7，∴DE=CD=7，即点D到AB边的距离是7，故答案为：7．考点13：角平分线的性质——求面积典例13：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，BD=3，AD=4MD，则△ABC的面积是（   ）A．24B．18C．12D．6【答案】A【知识点】角平分线的性质定理、三线合一【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得BC=2BD=6，由作图可得BP平分∠ABC，由角平分线的性质定理可得MD=MN=2，从而得出AD=8，再由三角形面积公式计算即可得解．【详解】解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，∴BC=2BD=6，由作图可得：BP平分∠ABC，∵MN⊥AB，AD⊥BC，∴MD=MN=2，∵AD=4MD，∴AD=8，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×8=24，故选：A．【变式1】如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（　　）A．4B．6C．8D．12【答案】C【知识点】三线合一、角平分线的性质定理【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，∵AC=BC，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，又∵AC=BC=8，∴△BCE的面积=12⋅BC⋅EF=12×8×2=8，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式2】  如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=5，若点Q是射线OB上一点，OQ=4，则△ODQ的面积是 【答案】10【知识点】角平分线的性质定理【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DP=5，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案．【详解】解：作DH⊥OB于点H，∵射线OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH=DP=5，∴ △ODQ的面积=12×OQ×DH=12×4×5=10．故答案为：10．【变式3】如图，AB CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8cm，   BC=10cm，则四边形ABCD的面积是 cm2． 【答案】40【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．作PE⊥BC于点E，根据AB∥CD，AD⊥AB，得到∠BAP=∠CDP=90°，根据BP平分∠ABC，CP平分∠DCB得到AP=PE=PD=4，△ABP≌△EBP,△DCP≌△ECP，即可得到答案．【详解】解：过点P作PE⊥BC于点E，∴∠BEP=∠CEP=90°，∵AD⊥AB,AB∥CD，∴∠BAP=∠CDP=90°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCB，∴AP=PE，PE=DP，∴AP=PE=PD=12AD=12×8=4cm，∵BP=BP，∴△EBP≌△ABP(HL)，∴S△EBP=S△ABP，同理可得：△ECP≌△DCP，S△ECP=S△DCP，∴四边形ABCD的面积=2S△BCP=2×12BC·PE=10×4=40cm2，故答案为：40 ．考点14：角平分线的性质综合——最值典例14：如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC//OM，则CD的最小值为（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】A【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．【详解】解：由题意可得，当CD⊥OM时，CD取最小值，∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，∴AD=AE=3，∵BC∥OM，∴∠DOA=∠B，∵A为OB的中点，∴AB=AO，在△ABC与△ADO中∠B=∠DOAAB=AO∠BAC=∠DAO，∴△ABC≌△AOD（ASA），∴AC=AD=3，∴CD=AC+AD=3+3=6，故选：A．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3．【变式1】如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（    ）A．7B．10C．6D．5【答案】A【知识点】角平分线的性质定理【分析】当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD，由AD＝14，求出即可．【详解】解：当EP⊥BC时，EP最短，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，∴EP=EA，同理，EP=ED，此时，EP=12AD=12×14=7，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．【变式2】  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于点D，点E、F分别是AD、AC边上的动点，则CE+EF的最小值为 ．【答案】245【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．在AB上取一点F'，使得AF'=AF，连接EF'，根据全等三角形的判定和性质，则△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'，当点C，E，F'在同一条直线上且CE⊥AB时，CE+EF'有最小值，即CE+EF最小，最后用面积法，进行解答，即可．【详解】解：在AB上取一点F'，使得AF'=AF，连接EF'，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAB，∵AE是公共边，∴△AEF≌△AEF'SAS，∴EF=EF'，∴CE+EF=CE+EF'，当点C，E，F'在同一条直线上且CE⊥AB时，CE+EF'有最小值，即CE+EF最小，其值为CH，∵S△ABC=12×AC×BC=12×CH×AB，∴CH=AC×BCAB=6×810=245，∴CE+EF最小值为245．故答案为：245．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．【答案】3【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理【分析】此题主要考查角平分线的性质和垂线段最短，作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DC=3，然后根据垂线段最短求解．【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC∴DH=DC=3，∵P为AB上一动点，∴PD的最小值为DH的长.故答案为：3.考点15：尺规作角平分线典例15：如图，D、E是△ABC的边AB上的点，连接CD，∠ADC=∠ACB．(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交CD于点F，连接EF（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；(2)在（1）的条件下，若EF∥BC，求证：AE=AC．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；（2）根据题意证明出△AEF≌△ACFAAS，即可得到AE=AC．【详解】（1）如图，AF即为所求；（2）证明：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，在△ADC中，∠BAC+∠ACD+∠ADC=180°，且∠ADC=∠ACB，∴∠B=∠ACD，∵EF∥BC，∴∠B=∠AEF，∴∠AEF=∠ACD，∵AF平分∠BAC，∴∠EAF=∠CAF，在△AEF和△ACF中，∠AEF=∠ACF，∠EAF=∠CAF，AF=AF，∴△AEF≌△ACFAAS，∴AE=AC．【变式1】如图，在△ABC中，BD是边AC上的高．  (1)作∠ACB的平分线，交BD于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若△BCE的面积是20，BC=10，求DE的长度．【答案】(1)见解析(2)4【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)【分析】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．（1）根据尺规基本作图-作已知角的平分线的作图方法作图即可；（2）过点E作EF⊥BC于点F，由三角形的面积公式可得EF=4，结合角平分线的性质可得EF=DE．进而可得答案．【详解】（1）解：如图，CE即为所求．  （2）解：过点E作EF⊥BC于点F，  ∵△BCE的面积是20，BC=10，EF⊥BC，∴12BC⋅EF=12×10EF=20，∴EF=4，∵BD是边AC上的高，∴BD⊥AC，∵CE为∠ACB的平分线，EF⊥BC，∴DE=EF=4．【变式2】  如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线．(1)实践与操作：作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)应用与证明：求证：AD=AE．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)【分析】本题考查尺规基本作图-作角的平分线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作角的平分线以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）按照尺规基本作图-作角的平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ABD≌△ACE，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，CE为所求．（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACE．在△ABD和△ACE中，∠A=∠AAB=AC∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACEASA．∴AD=AE．【变式3】如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=6．（1）根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）根据要求用尺规作图：作出点D到边AB的距离DE；（不写作法，只保留作图痕迹．）（3）在（1）（2）的条件下，CD=2，求ΔADB的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=2，可得结论．【详解】解：（1）作图，射线AD即为所求作．（2）如图，线段DE即为所求.（3）过点D作DE⊥AB于E． ∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE=DC=2， ∴S△ABD=12•AB•DE=12×6×2=6．【点睛】本题考查基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．