10.3.1和差倍分和销售问题 课件-2025-2026学年人教版2024数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：10.3.1 和差倍分和销售问题副标题：人教版数学七年级下册姓名：[你的姓名]日期：[授课日期]幻灯片 2：学习目标能准确分析和差倍分问题中的数量关系，通过设未知数、列方程（组）解决实际情境下的和差倍分问题，提升分析和解决问题的能力。理解销售问题中的基本概念，如进价、售价、利润、利润率等，掌握它们之间的数量关系，并能运用方程（组）求解各类销售问题，包括折扣、盈亏等常见情况。经历将实际问题转化为数学模型（方程或方程组）的过程，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强数学建模意识。培养认真审题、规范解题步骤以及检验答案合理性的良好学习习惯。幻灯片 3：和差倍分问题情境引入展示问题：小明和小红一共有 50 本书，小明的书比小红的 2 倍多 5 本，问小明和小红各有多少本书？引导学生思考：这是生活中常见的数量关系问题，属于和差倍分类。分析思路：设未知数：设小红有\(x\)本书，因为小明的书比小红的 2 倍多 5 本，所以小明有\((2x + 5)\)本书。找等量关系：题目中 “小明和小红一共有 50 本书” 是关键信息，可据此列出方程\(x+(2x + 5)=50\)。强调：和差倍分问题的关键在于准确找到表示数量关系的语句，合理设未知数并列出方程。幻灯片 4：和差倍分问题解题步骤与示例解题步骤梳理：步骤一：审题，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的和差倍分关系。步骤二：设未知数，通常设较小的量为\(x\)（但不绝对，要根据具体问题方便求解来选择）。步骤三：根据和差倍分关系列出方程或方程组。步骤四：解方程或方程组，求出未知数的值。步骤五：检验答案是否符合实际情况，作答。例题 1：学校组织植树活动，已知七年级和八年级共植树 120 棵，八年级植树的棵数比七年级的 2 倍少 6 棵，求七年级和八年级各植树多少棵？分析：设七年级植树\(x\)棵，因为八年级植树的棵数比七年级的 2 倍少 6 棵，所以八年级植树\((2x - 6)\)棵。等量关系为 “七年级植树棵数 + 八年级植树棵数 = 120 棵”。解题过程：列方程：\(x+(2x - 6)=120\)。解方程：去括号得\(x + 2x - 6 = 120\)。移项得\(x + 2x = 120 + 6\)。合并同类项得\(3x = 126\)。系数化为 1 得\(x = 42\)。求八年级植树棵数：八年级植树\(2x - 6 = 2×42 - 6 = 78\)棵。检验：\(42 + 78 = 120\)，符合题意。作答：七年级植树 42 棵，八年级植树 78 棵。幻灯片 5：和差倍分问题拓展示例例题 2：甲、乙两个仓库共有粮食 240 吨，从甲仓库运出 30 吨到乙仓库后，甲仓库的粮食是乙仓库的 2 倍，问甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？分析：设甲仓库原来有粮食\(x\)吨，则乙仓库原来有粮食\((240 - x)\)吨。运粮后，甲仓库有\((x - 30)\)吨，乙仓库有\((240 - x + 30)=(270 - x)\)吨。此时的等量关系为 “运粮后甲仓库的粮食 = 运粮后乙仓库粮食的 2 倍”。解题过程：列方程：\(x - 30 = 2×(270 - x)\)。解方程：去括号得\(x - 30 = 540 - 2x\)。移项得\(x + 2x = 540 + 30\)。合并同类项得\(3x = 570\)。系数化为 1 得\(x = 190\)。求乙仓库原来粮食吨数：乙仓库原来有\(240 - 190 = 50\)吨。检验：\(190 - 30 = 160\)，\(50 + 30 = 80\)，\(160 = 2×80\)，符合题意。作答：甲仓库原来有粮食 190 吨，乙仓库原来有粮食 50 吨。总结和差倍分问题关键要点：对变化前后的数量关系进行清晰梳理，找准等量关系。注意设未知数时要考虑全面，不能遗漏题目中的条件。幻灯片 6：销售问题概念引入展示销售场景：超市中商品标价、促销活动等图片，引出销售问题。介绍基本概念：进价：商家购进商品的价格，也叫成本价。例如，一件衣服商家以 50 元的价格从厂家进货，50 元就是这件衣服的进价。售价：商品出售时的价格。若这件衣服在超市标价 80 元出售，80 元就是售价。利润：售价与进价的差值，即利润 = 售价 - 进价。那么这件衣服的利润为\(80 - 50 = 30\)元。利润率：利润与进价的比值，通常用百分数表示，即利润率 =\(\frac{利润}{进价}×100\%\)。这件衣服的利润率为\(\frac{30}{50}×100\% = 60\%\)。强调这些概念之间的内在联系，为后续解题奠定基础。幻灯片 7：销售问题基本公式及应用示例基本公式梳理：利润 = 售价 - 进价。利润率 =\(\frac{利润}{进价}×100\%=\frac{售价 - 进价}{进价}×100\%\)，由此可变形为售价 = 进价 ×(1 + 利润率)。例如，已知某商品进价为 100 元，利润率为 20%，根据售价 = 进价 ×(1 + 利润率)，可求得售价为\(100×(1 + 20\%) = 120\)元。例题 3：某商店将一件商品按进价提高 40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，求这件商品的进价是多少元？分析：设这件商品的进价为\(x\)元。按进价提高 40% 后的标价为\((1 + 40\%)x = 1.4x\)元。以 8 折优惠卖出的售价为\(0.8×1.4x = 1.12x\)元。等量关系为 “售价 - 进价 = 利润”，即\(1.12x - x = 15\)。解题过程：列方程：\(1.12x - x = 15\)。解方程：合并同类项得\(0.12x = 15\)。系数化为 1 得\(x = 125\)。检验：标价为\(1.4×125 = 175\)元，售价为\(0.8×175 = 140\)元，利润为\(140 - 125 = 15\)元，符合题意。作答：这件商品的进价是 125 元。幻灯片 8：销售问题拓展示例（折扣与盈亏综合）例题 4：某商场开展春节促销活动出售 A、B 两种商品，活动方案有如下两种：方案一：A 商品每件进价 40 元，售价 60 元；B 商品每件进价 50 元，售价 80 元。方案二：所购商品一律按进价加价 20% 销售。若某顾客购买 A 商品\(x\)件，B 商品\(y\)件。（1）分别求出两种方案下该顾客应支付的费用（用含\(x\)、\(y\)的代数式表示）。（2）若\(x = 10\)，\(y = 5\)，哪种方案更划算？分析：（1）对于方案一：A 商品的费用为售价乘以数量，即\(60x\)元；B 商品的费用为\(80y\)元，所以方案一下顾客应支付\(60x + 80y\)元。对于方案二：A 商品进价 40 元，加价 20% 后的售价为\(40×(1 + 20\%) = 48\)元，A 商品费用为\(48x\)元；B 商品进价 50 元，加价 20% 后的售价为\(50×(1 + 20\%) = 60\)元，B 商品费用为\(60y\)元，所以方案二下顾客应支付\(48x + 60y\)元。（2）当\(x = 10\)，\(y = 5\)时：方案一费用：\(60×10 + 80×5 = 600 + 400 = 1000\)元。方案二费用：\(48×10 + 60×5 = 480 + 300 = 780\)元。因为\(780＜1000\)，所以方案二更划算。解题过程：（1）方案一：\(60x + 80y\)元；方案二：\(48x + 60y\)元。（2）当\(x = 10\)，\(y = 5\)时，方案一费用为 1000 元，方案二费用为 780 元，方案二更划算。总结销售问题解题关键：透彻理解各概念，准确运用公式。对于复杂的销售场景，要逐步分析，理清每一步的价格变化。幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固基础题（和差倍分）：（1）甲、乙两数的和是 30，甲数比乙数的 2 倍少 6，求甲、乙两数。（2）某班共有学生 45 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 9 人，问该班男生、女生各有多少人？基础题（销售问题）：（1）某商品进价为 200 元，售价为 250 元，求该商品的利润和利润率。（2）一件商品按进价提高 30% 后标价，又以 9 折出售，售价为 234 元，求这件商品的进价。提升题（综合）：某商场购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种商品每件进价 35 元，利润率是 20%，乙种商品每件进价 20 元，利润率是 15%，共获利 278 元，问甲、乙两种商品各购进了多少件？处理方式：学生独立完成，教师巡视指导，关注学生在设未知数、找等量关系以及计算过程中的问题。选取典型解题过程展示，进行讲解和点评。幻灯片 10：课堂小结 —— 知识与方法梳理和差倍分问题总结：关键在于准确分析题目中的数量关系，通过合理设未知数，依据和差倍分的表述列出方程或方程组求解。注意对题目中变化的数量关系进行细致梳理，确保方程的正确性。销售问题总结：牢记进价、售价、利润、利润率等基本概念及其相互关系的公式。面对不同的销售情境，如折扣、促销活动等，要能灵活运用公式，找准等量关系列方程。易错点提醒：和差倍分问题中设未知数不清晰，导致方程错误。销售问题中混淆概念，如利润率计算错误，或者在折扣问题中对售价的计算出现偏差。幻灯片 11：布置作业必做题：教材课后练习题 [具体题目]。用方程解决以下问题：（1）甲、乙两人共有 100 元钱，甲的钱数比乙的 3 倍多 20 元，求甲、乙各有多少钱？（2）某商品进价为 150 元，标价为 225 元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于 10%，那么商店最多降多少元出售此商品？选做题（拓展应用）：某服装店老板到厂家选购 A、B 两种型号的服装，若购进 A 种型号服装 9 件，B 种型号服装 10 件，需要 1810 元；若购进 A 种型号服装 12 件，B 种型号服装 8 件，需要 1880 元。（1）求 A、B 两种型号的服装每件分别为多少元？（2）若销售 1 件 A 型号服装可获利 18 元，销售 1 件 B 型号服装可获利 30 元，根据市场需求，服装店老板决定，购进 A 型号服装的数量要比购进 B 型号服装数量的 2 倍还多 4 件，且 A 型号服装最多可购进 28 件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于 699 元，问有几种进货方案？如何进货？新2024人教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？ 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18 ~ 20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7 ~ 8 kg. 你认为李大叔估计的准确吗？例1 和差倍分问题分析：需要求出大牛、小牛一天所需饲料.等量关系：30头大牛 1 天用的饲料 + 15头小牛1天用的饲料 = 675 kg 42头大牛 1 天用的饲料 + 20头小牛1天用的饲料 = 940 kg请同学们分小组列出一元一次方程或二元一次方程组解决这个问题吧！想一想解：设每头大牛和每头小牛平均 1 天各需饲料 x kg , y kg，列方程组更简单. 30x + 15y =675 ， 42x + 20y = 940. 答：李大叔对大牛食量的估计准确，对小牛食量的估计不准确. 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到?问题1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数?甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人，乙种饲养员 y 人.合作探究问题2： 题中有哪些等量关系?甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数.甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数；追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗?答：李大叔应聘请甲种饲养员 4 人，乙种饲养员 2 人.总结找等量关系列二元一次方程组解决实际问题的步骤：审题设元列方程组解方程组检验作答2个未知数根据等量关系代入法加减法归纳总结例2 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分.市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场? 平几场?分析：胜场＋平场= 总场次；胜分＋平分=总分数答：该队胜了 8 场，平了 3 场.解：设该队胜了 x 场，平了 y 场. 典例精析总结1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量；2.方法：找明显关系词，如：是、多、少、倍、共、几分之几等；方法归纳 炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的 A，B 两种空调销量迅速增长.已知 A 空调的进价为 0.2万元/台，售价为 0.5 万元/台； B 空调的进价为 0.4万元/台，售价为 0.7 万元/台.今年六月这两种空调的销售总额为 206 万元，总利润为 102 万元. 问这两种空调售出的台数分别是多少?销售问题问题1：售价、进价、利润三者之间有什么关系?利润 = 售价 - 进价问题2：设 A 空调售出 x 台，B 空调售出 y 台.分别用 x，y 表示两种空调的总售价和总利润.A 空调总售价 0.5x 万元，总利润是 0.3x 万元； B 空调总售价 0.7y 万元，总利润是 0.3y 万元.问题3：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗?答：所以 A 空调售出 160 台，B 空调售出 180 台.分别求出商品 A，B 的售价.例3 小林在某商店购买商品 A，B 共二次，每次购买商品 A，B 的数量和费用如下表：第一次购物第二次购物购买商品 A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元1110114073 65典例精析解：设商品 A 的售价为 x 元，商品 B 的售价为 y 元.答：商品A的售价为90元，商品B的售价为120元.标价 = 进价 + 进价×利润率 = (1十利润率)×进价. 利润 =售价 - 进价 要点归纳1.(扬州中考)《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？解：设鸡有 x 只，兔有 y 只. 由题意，得解此方程组得答：鸡有 23 只，兔有 12 只.练一练 D  返回 ①② D 返回3. 甲、乙两数的和为50，且甲数的2倍比乙数大10，则甲、乙两数分别是( )CA. 30，20B. 10，40C. 20，30D. 40，104. 父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，则儿子出生时，父亲的年龄是( )AA. 30岁B. 27岁C. 26岁D. 25岁 返回5. 我国交通基础设施建设取得了举世瞩目的成就，建成了全球最大的高速铁路网、高速公路网.这十年，中国铁路、公路一共增加里程约110万公里，其中公路增加里程比铁路增加里程的20倍多0.8万公里，求十年来铁路增加里程和公路增加里程.  返回   返回   返回8.[2024十堰期中] 某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？  返回9.某工厂接到订单生产如图①所示的巧克力包装盒，每个包装盒由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成.仓库有甲、乙两种规格的纸板共2 600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图②），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图③），裁剪后边角料不再利用.①②③（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则两种规格的纸板各有多少张？ （2）用（1）中的纸板一共能生产多少个这样的巧克力包装盒？  返回        返回 40或45或50和差倍分问题销售问题实际问题与二元一次方程组必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！