数学人教版（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线课时作业

这是一份数学人教版（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线课时作业，共28页。
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC=7cm，则ED的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若BC=12，AC=10，则△ACE的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
3．如图，在△ABC中，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD．若AD=3cm,AC=10cm，则BD的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若BC=12，则△AEF的周长是（ ）

A．6B．8C．10D．12
5．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（ ）
A．14cmB．12cmC．10cmD．9cm
6．如图，在△ABC中，AC=6cm，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，连接AE．若△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长为 cm．
7．如图，AC垂直平分线段BD，若AB=2cm，CD=3cm，则四边形ABCD的周长为 ．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AD=12，CD=5，则AB的长为 ．
【题型2：线段垂直平分线的判定】
1．如图，AC=AD，BC=BD，下列结论一定正确的是（ ）
A．CD平分∠ACBB．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．AB与CD互相垂直平分
2．如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB=AD，CB=CD，则有（ ）
A．AC与BD互相垂直平分B．AC垂直平分BD
C．BD垂直平分ACD．BD平分∠ABC
3．到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
4．如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．
(1)求证：AD是EF的垂直平分线；
(2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积．
6．如图，已知：AB=AC，DB=DC，点E在AD的延长线上．
(1)求证：AE垂直平分BC；
(2)求证：△BDE ≌△CDE
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE，求证：AB+BD=DC．
8．已知，如图，AE⊥BE,AF⊥CF，点E､F分别为垂足，BE=CF，∠ABC=∠ACB．
(1)证明：AE=AF；
(2)试说明DA平分∠EDF
(3)延长EB､FC相交于点D，连结AD．证明：AD垂直平分线段BC．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．
(1)求证：AB=EC；
(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．
10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形ABCD满足AB=AD且CB=CD，则四边形ABCD为筝形．
【任务1】如图2是由小正方形组成的10×5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形EFGH；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明．
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和D，连接AD．
(1)若∠C=25°，求∠EDC的度数；
(2)若AE=3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长．
【题型3：线段垂直平分线的应用】
1．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
2.在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点
3．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点
【题型4：作已知线段的垂直平分线】
1．如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=6，△ABC的周长是17，F为直线DE上一动点，求△ACF周长的最小值．
2．如图，公园一角有一片三角形空地ABC，公园负责人计划在边AC上找一点D，使得点D到点B，C的距离相等，请利用尺规作出点D．（不写作法，保留作图痕迹）
3．如图，已知△ABC，请按下列要求解答问题：
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足是E，交AB于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若△ABC的周长是27cm，△BCD的周长是21cm，求AC的长．
4．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路OM，ON距离相等的一条小路逃窜（如图，在∠MON内），要使埋伏在A，B两处的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，并简述你的理由．
5．已知：直线AO、BO表示两条互相交叉的公路，Q是一个大型货物批发站，现在要在∠AOB内部建一个货物中转站P，要求它到AO、BO的距离相等，且PO=PQ．
6．如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接BD．若△ABC的周长为16，BE=3，求△ABD的周长．
7．如图，在△ABC中，∠C是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作AC的垂直平分线交AB于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，若∠A=44°，∠B=20°，求∠DCB的大小．
8．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹．
9．如图，在△ABC中，∠A=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边AB上作一点P，使点P到点B、点C的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，当点P到直线BC、AC的距离也相等时，则∠B的度数为______°．
【题型5：作垂线（尺规作图）】
1．如图，在△ABC中，∠B=90°．请用尺规作图法，在BC的上方求作一点D，使DC⊥BC，且BD=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
2．如图，△ABC中，点P为边BC上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法．
(1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点P．
(2)如图②，过点P作直线MN，使得MN⊥BC．
3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm；
(1)作出△ABC的边AB边上的高CD，并求CD的长；
(2)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．
参考答案
【题型1：线段垂直平分线的性质】
1．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，再选择即可．
【详解】解：∵AB是线段CD的垂直平分线线，
∴ED=EC=7cm，
故选B．
2．D
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到AE=BE，进而得到△ACE的周长为AC+BC，即可得出结果．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长为AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=10+12=22；
故选D．
3．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵AD=3cm,AC=10cm，
∴CD=AC−AD=7cm
∵直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=7cm
故选：B
4．D
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE,AF=CF，再由三角形的周长公式计算即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴ AE=BE,AF=CF，
∴△AEF的周长为AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=12，
故选：D．
5．B
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DC，进而即可求得AB的长
【详解】解：∵ EF垂直平分AC，D在EF上，
∴DA=DC
∵ BD＝3cm，CD＝9cm，
∴AB=AD+BD=DC+BD=3+9=12cm
故选B
6．20
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到AE=CE，再根据三角形的周长公式求得AB+BC=14，进而可求解．
【详解】解：∵AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∵△ABE的周长为14cm，
∴AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=14cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14+6=20cm，
故答案为：20．
7．10cm
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到AB=DA=2cm，DC=BC=3cm，然后根据周长的定义计算即可．
【详解】解：∵AC垂直平分线段BD，
∴AB=DA=2cm，DC=BC=3cm，
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD=2+2+3+3=10cm．
故答案为：10cm．
8．7
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=5，由线段垂直平分线的性质可得AD=AF=12，进一步求解即可．
【详解】解：∵ E为BC的中点，
∴ BE=EC，
∵ AB∥DC，
∴ ∠F=∠CDE，∠FBE=∠DCE，
在△BEF与△CED中，
∠F=∠CDE∠FBE=∠DCEBE=CE，
∴ △BEF≌△CEDAAS，
∴ EF=DE，BF=CD=5，
∵AE⊥DE，
∴AD=AF=12，
∴ AF=AB+BF=AB+5=12，
∴ AB=7，
故答案为：7．
【题型2：线段垂直平分线的判定】
1．C
【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论
【详解】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A、 B 在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
故选：C
2．B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由AB=AD，CB=CD，得A与C在BD的垂直平分线上，进而解决此题．
【详解】解：∵AB=AD，CB=CD，
∴A与C在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC垂直平分BD，
故B选项符合题意；
由已知条件无法证明BD平分AC，BD平分∠ABC，
故A、C、D选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可．
【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点，
∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B
4．（1）证明：如图所示：连接BP，AP，PC，
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA=PB，PA=PC，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC，
∴EA=EB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=∠BEP=∠CMN=90°，
∴∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90°，
设∠B=x，∠C=y，
∴∠B=∠BAE=x，∠C=∠CAN=y，∠BFE=90°−x，∠MNC=90°−y，
∴∠PFN=∠BFE=90°−x，∠PNF=∠MNC=90°−y，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=56°
∴2x+2y+56°=180°，
∴x+y=62°，
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°，
∴90°−x+90°−y+∠FPN=180°，
∴∠FPN=180°−180°+(x+y)=62°．
5．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又AD=AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）解：∵AB=4，AC=5，ED=2=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=12AB⋅DE+12AC⋅DF
=12AB⋅DE+12AC⋅DE
=12DEAB+AC
=12×2×9
=9．
6．（1）证明：∵AB=AC，DB=DC，
∴点A和D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BC；
（2）证明：由（1）知AE垂直平分BC，
∴BE=CE，
在△BDE和△CDE中，
BE=CEDE=DEBD=CD，
∴△BDE≌△CDESSS．
7．证明：连接AE，
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴直线AD是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∵AC的垂直平分线交DC于点E，
∴EC=AE，
∴EC=AB，
∵EC+DE=DC，
∴AB+BD=DC．
．
8．（1）证明：∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AE⊥EB,AF⊥CF，
∴∠E=∠F=90°，
又∵BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△ACFHL，
∴AE=AF；
（2）∵AE⊥EB,AF⊥CF,AE=AF，
∴DA平分∠EDF；
（3）证明：∵AE=AF,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴DE=DF，
∵BE=CF,
∴DE−BE=DF−CF，即DB=DC，
又∵AB=AC，
∴AD垂直平分线BC．
9．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC,BD=DE，
∴AB=AE，
∴AB=EC．
（2）解：由题意可得：AB+BC+AC=32cm，
∵AC=12cm，
∴AB+BC=20cm，
∵AB=EC,BD=DE，
∴DC=DE+EC
=12BE+AB
=12BC−CE+AB
=12BC−AB+AB
=12AB+BC
=10cm．
10．解：【任务1】如图，筝形EFGH即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分）
【任务2】
1、角的性质：筝形有一组对角相等．
2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线．
角的性质证明如下：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC
∴∠ABC=∠ADC．
故筝形有一组对角相等得证．
对角线的性质证明如下：连接AC、BD，交点为O
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC=∠DAC，即AC是∠BAD的角平分线．
又∵AB=AD，
∴AO是△ABD的垂直平分线，即AC⊥BD,BO=DO
11．（1）解：由作法可知MN垂直平分AC，
所以DE⊥AC，
所以∠DEC=90°，
因为∠C=25°，
所以∠EDC=180°−∠DEC−∠C=65°；
（2）由作法可知MN垂直平分AC，
所以DA=DC，
因为△ABC的周长为13cm，AE=3cm
即AB+BC+AC=13cm，AC=6cm
所以AB+BD+DC=7cm
即AB+BD+DA=7cm
所以△ABD的周长为7cm．
【题型3：线段垂直平分线的应用】
1．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理．
到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
2.B
【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意得，凳子到三点A，B，C的距离相等，即到三边的端点的距离相等，
∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意得，凳子到三点A，B，C的距离相等，即到三边的端点的距离相等，
∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上；
故选：B．
【题型4：作已知线段的垂直平分线】
1．（1）解：图形如图所示；
；
（2）解：∵DE垂直平分AB，F为直线DE上一动点，
∴AF=BF，
∴CF+AF=CF+BF≥BC，
∴当点F与E重合时，△ACF的周长最小，
最小值=AE+AC+EC=EB+EC+AC=AC+BC，
∵AB=6，△ABC的周长是17，
∴AC+BC=11，
∴△ACF的周长的最小值为11．
2．解：如图，作BC的垂直平分线交AC于点D，
∴点D在BC的垂直平分线，
∴点D到点B，C的距离相等，
又∵点D在AC上，
则点D即为所作．
3．（1）解：分别以点A和点C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点M和点N，过点M和点N作直线，直线MN即为线段AC的垂直平分线，垂足是E，交AB于点D，连接CD，如下图：
（2）解：∵△BCD的周长是21cm，
∴BC+BD+CD=21cm，
∵点D在线段AC的垂直平分线上，
∴DA=DC，
∴BC+BD+DA=21cm，
∴BC+AB=21cm，
∵△ABC的周长是27cm，
∴AB+AC+BC=27cm，
∴AC=27−21=6cm，
答：AC的长为6cm．
4．解：如图，作∠MON的平分线OC，连接AB，作线段的垂直平分线与OC交于点P，则点P为抓捕点．
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上，点P也在其上），
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）．
∴两线的交点，即点P符合要求．
5．解：（1）作∠AOB的角平分线OC，
（2）作线段OQ的垂直平分线MN，
（3）OC，MN相交于点P，
即点P即为所求．
6．（1）解：如图，DE为所作；
（2）解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE=3，DB=DC，
∴BC=BE+CE=6
∵△ABC的周长为16，
即AB+BC+AC=AB+6+AD+DC=16，
∴AB+AD+CD=10，
即AB+AD+BD=10，
∴△ABD的周长为10．
7．（1）解：垂直平分线ED即为所求：
（2）解：∵DE为AC的垂直平分线
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD=44°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°−44°−20°=116°，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=72°
8．解：小水塘的位置如下图所示：
9．（1）解：如图，线段BC的垂直平分线交AB于点P，
∴点P到点B、点C的距离相等，
∴点P即为所求；
（2）解：由作图可知PC=PB，
∴∠PCB=∠B，
∵点P到直线BC、AC的距离也相等，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP=∠B，
∵∠A=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
故答案为：30．
【题型5：作垂线（尺规作图）】
1．解：如图所示，点D即为所求点的位置．
2．（1）解：如图，直线l即为所求．
（2）解：如图，MN即为所求．
3．（1）解：作图如下：
由于S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
则CD=AC⋅BCAB=6013(cm)；
（2）解：作图如下：
∵点E是AC的中点，
∴S△ABE=12×12AC⋅BC=12×12×12×5=15(cm2)．