2026年春沪科版八年级数学下册 16.1 二次根式及其性质（课件）

16.1 二次根式及其性质第16章 二次根式学习目标1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点）2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.问题3 什么数有算术平方根?非负数.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1) 如图的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图图问题1 这些式子分别表示什么意义？分别表示 2，S，3 的算术平方根． ① 根指数都为 2；② 被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？二次根式的概念及有意义的条件注意：a 可以是数，也可以是式. 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：二次根式的被开方数或式非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：例2 实数 x 为何值时下列式子有意义? 解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3.所以当 x≥-3 时， 有意义.  (2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0，所以当 x 为一切实数时， 有意义.  解：由题意得 x - 1＞0，∴ x＞1.解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x +3 ≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1.(2) 多个二次根式相加 (如 ) 有意义的 条件：(3) 二次根式作为分式的分母 (如 ) 有意义的条件： A＞0；(4) 二次根式与分式的和差 (如 ) 有意义的条件： A≥0 且 B ≠ 0.(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；1. 下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B2. (1) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是______；(2) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是______________.x≥1 x ≥0 且 x ≠ 2 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4.所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.解：由题意得 ∴ x = 3．∴ y = 8．∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．    二次根式的性质5 0 类似地，计算：       0.50 0.5观察上式，你能得出什么结论呢？一般地，有性质1 性质2 例4 计算：  解：(1) (2) 方法一： 方法二：  4. 计算：解：从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方，后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数 a 的算术平方根的平方表示一个实数 a 的平方的算术平方根例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4.  当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |.∵ π＜4， ∴ 4－π＞0.∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π.5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长，∴ a + b + c ＞0，b + c ＞ a，b + a ＞ c，∴ 原式 = |a + b + c| - |b + c - a| + |c - b - a| = a + b + c - (b + c - a) + (b + a - c) = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a + b + c ＞ 0两边之和大于第三边，b + c - a＞0，c - b - a ＜ 0二次根式性质定义带有二次根号被开方数为非负数2.式子 有意义的条件是 （ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤23.当 x =____时，二次根式 取最小值，其最小 值为____．1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）CA-104. 化简：（1） = ； （2） = ； （3） ；（4） .3748116. (1) 若二次根式 有意义，求 m 的取值范围；解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0， 解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2， ∴ m＞2．(2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围．解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立， 即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.7. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简： .解：根据数轴可知 b＜a＜0，∴ a + 2b＜0，a - b＞0，则 = | a + 2b | + | a - b |= - a - 2b + a - b = - 3b．