专题01 有理数 2025-2026学年七年级上初中数学人教版2024期末复习讲义

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▉考点一 具有相反意义的量
具有相反意义的量包括三层含义：
(1)具有相反意义;(2)具有数量；(3)具有同类性.
▉考点二 正数和负数
例题：如果上升5m记作+5m,那么下降7m记作（ ）
A．+7m
B．-7m
C．+12m
D．-2m
解：“正”和“负”相对，所以，如果上升5m记作+5m,那么下降7m记作-7m.
故选：B
▉考点三 用正数、负数表示具有相反意义的量
如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别 表示它们.通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则 与它具有相反意义的量就可以用负数表示 .例如，若规定收入 1000元记作+1000元，则支出300元记作-300元；若规定前进 10米记作+10米，则后退5米记作-5米.
例题：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作+60元，则-20元表示（ ）
A．收入20元
B．收入40元
C．支出40元
D．支出20元
解：∵与收入意义相反的量是支出，
∴若收入60元记作+60元，则-20元表示支出20元，
故选：D．
▉考点四 有理数的有关概念
1.整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3,-2,0,1,2,3等.
2.分数：正分数、负分数统称为分数，如2（1/3）,0.2,-1.25,-5等.
3.有理数：可以写成分数形式的数称为有理数.其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.
4.部分常用的数
例题：下列各数中是负整数的是（ ）
A．0
B．3
-2.5
D．-100
解：A．∵0既不是正数也不是负数，0是整数，∴0不是负整数，故此选项不符合题意；
B．∵3是正整数，∴此选项不符合题意；
C．∵-2.5是负小数，∴此选项不符合题意；
D．∵-100是负整数，∴此选项符合题意；
故选：D．
▉考点五 有理数的分类
有理数:正有理数,0,负有理数
正有理数：正整数，正分数
负有理数：负整数，负分数
例题：下列四个数中，是负整数的是（ ）
A．-4
B．-7/3
C．0
D．1
解：A．-4为负整数，故A项符合题意．
B．-7/3为负分数，故B项不符合题意．
C.0既不是正数也不是负数，故C项不符合题意．
D．1为正整数，故D项不符合题意．
故选：A．
▉考点六 数轴
1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
2.画数轴的步骤
例题：数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（ ）
A．-3
B．3
C．-1/3
D．1/3
解：在数轴上，距原点3个单位长度的点表示的数是±3，
∵在原点左侧的为负数，
∴在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是-3；
故选：A
▉考点七 数轴上的点与有理数的关系
有理数可以用数轴上的点表示.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；
表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度.
▉考点八 相反数
1.相反数的定义：像3和-3,1/2和-1/2这样只有符号不同的两个数，互为相反数.这就是说，3的相反数是-3,-3的相反数是3,3与-3互为相反数，同样地，1/2和-1/2互为相反数.
0的相反数是0.
一般地，a和-a互为相反数.这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
2.相反数的几何意义：一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示a和-a,这两个数只有符号不同，它们互为相反数.
3.相反数的求法：在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数.
例题：与8和为0的数是（ ）
A．8
B．-8
C．1/8
D．-1/8
解：与8和为0的数是-8，
故选：B．
▉考点九 多重符号的化简
1.多重符号化简的依据：相反数的定义.例如：-(-5)表示-5的相反数，所以-(-5)=5.
2.多重符号的化简的方法
若一个数前面有几个正负号，化简时，先省略所有的“+”号，然后由“-”号的个数确定结果的符号.当“-”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“-”号的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称“奇负偶正”.
▉考点十 绝对值
1.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|,读作“a的绝对值”.
2.绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即
(1)如果a>0,那么|a|=a;
(2)如果a=0,那么|a|=0;
(3)如果a