专题02 有理数的运算 2025-2026学年七年级上初中数学人教版2024期末复习讲义

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▉考点一 有理数加法法则
▉考点二 有理数的加法运算律
例题：某个地区，一天早晨的温度是-7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是（ ）
A．-5℃
B．-19℃
C．5℃
D．19℃
解：由题意，得-7+12=5（℃）．
故选：C．
▉考点三 有理数减法法则
1.有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.可以表示为b=a+(-b).
2.减法是加法的逆运算，做有理数的减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“-”变成“+”,减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变.
例题：某地2025年2月2日的最低气温是-3℃，最高气温是4℃，则这一天的温差为（ ）
A．1℃
B．2℃
C．5℃
D．7℃
解：根据题意可知，这一天的温差为：4-（-3）=7（℃）．
故选：D．
▉考点四 有理数的加减混合运算
有理数加减混合运算的步骤：
(1)运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式；
(2)适当运用加法运算律简化运算.
例题：把-6-（+7）+（-2）-（-9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（ ）
A．-6-7+2-9
B．-6+7-2-9
C．-6-7-2+9
D．-6+7-2+9
解：-6-（+7）+（-2）-（-9）
=-6-7-2+9，
故选：C．
▉考点五 省略和式中的括号和加号
1.进行有理数的加减混合运算时，可以利用有理数减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算.为简化书写形式，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写.
2.省略加号和括号的和式通常有两种读法，如-9-12+3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、正3的和”,按运算的意义读，读作“负9减12加3”.
▉考点六 有理数乘法法则
例题：已知-1＜m＜0，n＞0，则下列判断一定正确的是（ ）
A．m+n＞0
B．m2＞n2
C．m-mn＞0
D．n-mn＞0
解：A、∵m＞-1，n＞0，
∴m+n＞-1，选项错误，不符合题意；
B、∵-1＜m＜0，n＞0，
∴0＜m2＜1，n2＞0，
∴m2＞n2不一定成立，选项错误，不符合题意；
C、若m-mn＞0，
∵-1＜m＜0，
∴1-n＜0，即n＞1，与已知不符合，选项错误，不符合题意；
D、若n-mn＞0，
∵n＞0，
∴1-m＞0，即m＜1，与已知符合，选项正确，符合题意；
故选：D．
▉考点七 倒数
倒数：乘积是1的两个数互为倒数.例如：-5的倒数是-1/5与-3/5与-5/3互为倒数.
2.求一个数的倒数的方法
例题：-3的倒数是（ ）
A．3
B．-1/3
C．1/3
D．-3
解：∵-3×（-1/3）=1，
∴-3的倒数是-1/3．
故选：B．
▉考点八 有理数的乘法运算律
▉考点九 有理数乘法法则的推广
1.几个不为0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定.当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
2.几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为0.
▉考点十 有理数除法法则
1.有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.字母表示：a/b=a*(1/b)(b≠0)
2.有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例题：计算（-9）÷（-3）的结果等于（ ）
A．-3
B．-2
C．2
D．3
解：（-9）÷（-3）=9÷3=3．
故选：D．
▉考点十一 有理数的乘除混合运算
1.有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的.
2.有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果.
▉考点十二 有理数的加减乘除混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算
先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的.同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算.
2.计算器的使用
计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算.各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明),但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的.
▉考点十三 有理数的乘方的意义
知识点
▉考点十四 有理数的乘方运算
乘方运算的符号法则：正数；负数；0
正数：正数的任何次幂都是正数
负数：负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数
0：0的任何正整数次幂都是0
2.有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
3.an,-an及(-a)n的区别与联系
4.用计算器计算乘方
不同类型的计算器操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按键，立方按键，其他次方按键和次数的数字键.
例题：下列计算结果比-3小的是（ ）
A．-2+（-4）
B．-2-（-4）
C．-2×（-4）
D．-2÷（-4）
解：A．∵-2+（-4）=-6，|-6|=6，|-3|=3，6＞3，∴-2+（-4）＜-3，故符合题意；
B．∵-2-（-4）=2，∴-2-（-4）＞-3，故不符合题意；
C．∵-2×（-4）=8，∴-2×（-4）＞-3，故不符合题意；
D．∵-2÷（-4）=1/2，∴-2÷（-4）＞-3，故不符合题意；
故选：A．
▉考点十五 有理数混合运算的顺序
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.识点三有理数的混合运算
例题：（3+3+3）2是3×3×3的（ ）
A．2倍
B．3倍
C．4倍
D．6倍
解：（3+3+3）2=81，3×3×3=27，
∴（3+3+3）2是3×3×3的3倍，
故选：B．
▉考点十六 科学记数法
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数),使用的是科学记数法.对于小于-10的数也可以类似表示.例如，-360000=-3.6×10⁵
2.科学记数法的表示步骤
确定a:将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面
确定n:
方法一：根据原数的整数位数来确定→n等于原数的整数位数减1
方法二：按小数点移动的位数来确定n→小数点向左移动了几位，n就等于几
例题：《安徽日报》是我省内部发行量最大的综合性对开日报，日发行量达71000份，这里“71000”用科学记数法表示为（ ）
A．71×103
B．7.1×104
C．7.1×105
D．7.1×106
解：71000=7.1×104．
故选：B．
▉考点十七 近似数
1.准确数：与实际完全符合的数，称为准确数.
2.近似数：接近准确数但不等于准确数的数.
3.近似数的精确度
近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度.
近似数的精确度的表述方法：
(1)用数位表示：如精确到个位或百分位等.
(2)用小数点表示：如精确到0.1或0.01等.
4.确定近似数的精确度的方法
看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位.
5.取近似数的方法
根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法.
(1)四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法.求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入.例如，2.55精确到十分位为2.6.
(2)去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法.例如，把一根20cm长的钢筋截成6cm长的小段作零件，由20÷6=3.33…,可知能截得的零件数为3.
(3)进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法.例如，有112名学生外出旅游，
计算租用45座的客车的辆数时，由于112÷45=2.488…,此时应取近似数3,即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需.
例题：下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到百分位
B．近似数4.3万精确到千位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数43.0精确到个位
解：近似数0.010精确到千分位，故A不符合题意；
近似数4.3万精确到千位，描述正确，故B符合题意；
近似数2.8与2.80表示的意义不相同，2.8精确到十分位，2.80精确到百分位，故C不符合题意；
近似数43.0精确到十分位，故D不符合题意；
故选：B．
一．倒数（共5小题）
1．的倒数是（ ）
A．B．2025C．D．﹣2025
【答案】D
【解答】解：的倒数是﹣2025．
故选：D．
2．的倒数是（ ）
A．B．﹣2C．﹣D．2
【答案】D
【解答】解：的倒数是2，
故选：D．
3．﹣3的倒数为（ ）
A．3B．C．﹣3D．
【答案】D．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
4．的倒数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解答】解：的倒数是﹣．
故选：B．
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．零是绝对值最小的数
B．倒数等于本身的数只有1
C．相反数等于本身的数只有0
D．原点左边的数离原点越远就越小
【答案】B
【解答】解：由于任何数的绝对值都是非负数，所以0是绝对值最小的数，故选项A正确；±1的倒数都等于它本身，故选项B错误；相反数等于它本身的数只有0，故选项C正确；在原点左边，离原点越远数就越小，故选项D正确．
故选：B．
二．有理数的加法（共6小题）
6．若﹣3+□＝1，则“□”表示的数为（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】D
【解答】解：依题意，“□”表示的数为1+3＝4．
故选：D．
7．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（ ）
A．﹣6或﹣3B．﹣8或1C．﹣1或﹣4D．1或﹣1
【答案】A
【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，
则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，
6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，
a+c+4+d＝2，a+d＝1，
∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，
当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，
故选：A．
8．下列问题情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（ ）
A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况
B．某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离
【答案】D
【解答】解：A、水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
B、某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
C、用10元纸币购买2元文具后找回的零钱，可以表示为：﹣2+10，不符合题意；
D、数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离为：2+10，不能用加法算式﹣2+10表示，符合题意．
故选：D．
9．计算5+（﹣12）的结果等于（ ）
A．17B．﹣17C．7D．﹣7
【答案】D
【解答】解：原式＝5﹣12＝﹣7，
故选：D．
10．若|m|＝9，|n|＝2，且m+n＜0，则m+n的值为（ ）
A．7或﹣7B．﹣7或﹣11C．11D．7
【答案】B
【解答】解：由条件可知m＝﹣9，n＝﹣2或m＝﹣9，n＝2，
∴当m＝﹣9，n＝﹣2时，m+n＝﹣9+（﹣2）＝﹣11；
当m＝﹣9，n＝2时，m+n＝﹣9+2＝﹣7．
故选：B．
11．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（ ）
A．（﹣6）+（+8）＝2B．（+6）+（﹣8）＝﹣2
C．（﹣6）﹣（+8）＝14D．（+6）﹣（﹣8）＝14
【答案】B
【解答】解：根据题意，得图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2，
故选：B．
三．有理数的减法（共6小题）
12．下列描述正确的是（ ）
A．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞0
B．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a﹣b＞0
C．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b﹣a＞0
D．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞b
【答案】C
【解答】解：A、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜0，故此选项不符合题意；
B、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0，故此选项不符合题意；
C、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b﹣a＞0，故此选项符合题意；
D、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜b，故此选项不符合题意；
故选：C．
13．我市某天的最高气温是5℃，最低气温是零下2℃，则当天的温差是（ ）
A．7℃B．5℃C．2℃D．3℃
【答案】A
【解答】解：5﹣（﹣2）＝7（℃）．
答：当天的温差是7℃．
故选：A．
14．若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（ ）
A．5或1B．5或﹣13C．﹣5或13D．﹣5或﹣13
【答案】D
【解答】∵|x|＝9，|y|＝4，
∴x＝±9，y＝±4，
∵x+y＜0，
∴x﹣y＝﹣9﹣4＝﹣13或x﹣y＝﹣9﹣（﹣4）＝﹣5，
故选D．
15．若|x|＝7，|y|＝5，且x＜y，那么x﹣y的值是（ ）
A．﹣2或12B．2或﹣12C．2或12D．﹣2或﹣12
【答案】D
【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5，且x＜y，
∴当x＝﹣7，y＝5时，x﹣y＝﹣7﹣5＝﹣12；当x＝﹣7，y＝﹣5时，x﹣y＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2，
综上，x﹣y的值是﹣2或﹣12．
故选：D．
16．如图所示的是某地12月28日的天气预报，图中关于温度的信息是（ ）
A．当日温差为19℃B．当日温差为10℃
C．最低气温为零下10℃D．最低气温为零下19℃
【答案】C
【解答】A、当日温差为19℃，错误，应为10﹣（﹣10）＝20℃，故A不符合题意；
B、当日温差为10℃，错误，应为10﹣（﹣10）＝20℃，故B不符合题意；
C、当日气温为零下10℃，正确，故C符合题意；
D、最低气温为零下19℃，错误，应为零下10℃，故D不符合题意．
故选：C．
17．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为20m，F点的海拔高度为﹣20m（以海平面为基准），则点E比点F高（ ）
A．40mB．30mC．20mD．10m
【答案】A
【解答】解：由题意得，20﹣（﹣20）＝20+20＝40（m），
即点E比点F高40m．
故选：A．
四．有理数的加减混合运算（共5小题）
18．如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（ ）
A．1B．﹣3C．7D．8
【答案】C
【解答】解：由题意得：4﹣1+a＝d+3+a，
解得d＝0．
∵4+b+0＝b+3+c，
∴c＝1．
∵4﹣1+a＝a+1+f，
∴f＝2．
∴a﹣1+4＝4+3+2，b+3+c＝4+3+2，﹣1+3+e＝4+3+2，
∴a＝6，b＝5，e＝7．
∴a﹣b+c﹣d+e﹣f
＝6﹣5+1﹣0+7﹣2
＝7．
故选：C．
19．生活情境•食品储藏某种速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此水饺的温度是（ ）
A．﹣17℃B．﹣22℃C．﹣18℃D．﹣19℃
【答案】B
【解答】解：∵速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，
∴﹣18+2＝﹣16℃，﹣18﹣2＝﹣20℃，
∴速冻水饺的储藏温度在﹣16℃和﹣20℃之间．
故选：B．
20．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A．7+2＝9B．﹣7﹣2＝﹣9C．﹣7+2＝﹣5D．7﹣2＝5
【答案】C
【解答】解：﹣7+2＝﹣5．
故选：C．
21．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7
＝18+700
＝718（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克．
（3）718×（8﹣3）
＝718×5
＝3590（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
22．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下（单位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6．
（1）收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？
（2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程；
（3）在A地东侧5km处有一个广告牌，小队在这次的检修中有 2 次经过这个广告牌．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将从A地出发到收工时行走记录相加：
﹣2+（+5）+（﹣1）+（+10）+（﹣3）+（﹣2）+（+1）+（﹣6）＝2，
故收工时，小队在A地正东方，距离A地2km；
（2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地总路程为：
|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+1+|﹣6|+2
＝32，
答：总路程为32km；
（3）第一次离A地正西2km，
﹣2+5＝3，第二次离A地正东3km，
3﹣1＝2，第三次离A地正东2km，
2+10＝12，第四次离A地正东12km，
12﹣3＝9，第五次离A地正东9km，
9﹣2＝7，第六次离A地正东7km，
7+1＝8，第七次离A地正东8km，
8﹣6＝2，第八次离A地正东2km，
∵广告牌在A地东侧5km处，且2＜5＜12，2＜5＜8，
故第四次、第七次共2次经过这个广告牌．
五．有理数的乘法（共6小题）
23．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．|b|＜1C．a+b＞0D．ab＞0
【答案】B
【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴|b|＜1，a+b＜0，ab＜0，
故选：B．
24．已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．6B．﹣10C．6或﹣10D．10或﹣10
【答案】D
【解答】解：由已知可得，a＝±2，b＝±8，
∵ab＜0，
∴a＜0，b＞0或a＞0，b＜0，
∴a＝﹣2，b＝8或a＝2，b＝﹣8，
当a＝﹣2，b＝8时，a﹣b＝﹣2﹣8＝﹣10，
当a＝2，b＝﹣8时，a﹣b＝2﹣（﹣8）＝10，
综上，a﹣b的值为10或﹣10．
故选：D．
25．如图，若数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a﹣b＞0C．a+b＞0D．|a|﹣|b|＞0
【答案】C
【解答】解：由图知：﹣1＜a＜0＜1＜b，
∴ab＜0，故选项A不合题意；
a﹣b＜0，故选项B不合题意；
∵|a|＜|b|，﹣1＜a＜0＜1＜b，
∴a+b＞0，故选项C符合题意；
∵|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，故选项D不合题意；
故选：C．
26．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+2＞0B．|a|＞bC．a﹣b＞0D．ab＞0
【答案】B
【解答】解：由题意得：﹣3＜a＜﹣2＜0＜b＜1，
∴a+2＜0，
∴A选项的结论不正确，不符合题意；
∵|a|＞b，
∴B选项的结论正确，符合题意；
∵a﹣b＜0，
∴C选项的结论不正确，不符合题意；
∵ab＜0，
∴D选项的结论不正确，不符合题意．
故选：B．
27．对于（﹣3）×2，第一个因数增加1后，积的变化是（ ）
A．增加1B．增加2C．减少2D．减少3
【答案】B
【解答】解：∵（﹣3）×2＝﹣6，（﹣3+1）×2＝﹣2×2＝﹣4，﹣4﹣（﹣6）＝﹣4+6＝2，
∴第一个因数增加1后，积增加2，
故选：B．
28．如果两个有理数x、y满足x+y＞0，且xy＜0，那么说法正确的是（ ）
A．x、y都是正数
B．x、y都是负数
C．x、y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大
D．x、y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大
【答案】C
【解答】解：如果两个有理数x、y满足x+y＞0，且xy＜0，
则x，y异号，且正数的绝对值较大，
故选：C．
六．有理数的除法（共5小题）
29．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：
①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b，
∴①b﹣a＞0，故正确；
②|a|＜|b|，故正确；
③a+b＞0，故正确；
④＜0，故错误．
∴正确的是①②③．
故选：B．
30．下列说法中错误的是（ ）
A．零除以任何非零数都是零
B．﹣的倒数的绝对值是
C．相反数等于它本身的数是零和一切正数
D．除以一个数，等于乘以它的倒数
【答案】C
【解答】解：根据被除数为0的有理数的除法法则可知A正确；
根据倒数和绝对值的定义可知B正确；
相反数等于它的本身的数只有0，C错误；
根据被除数为0的有理数的除法法则可知D正确．
故选：C．
31．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则＝（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解答】解：∵|m|＝2，|n|＝3，
∴m＝±2，n＝±3，
∵|m+n|＝m+n，
∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3，
当m＝2，n＝3时，；
当m＝﹣2，n＝3时，，
故选：C．
32．小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200g二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15g二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ）
A．1332盆B．1333盆C．1334盆D．1335盆
【答案】C
【解答】解：一个快递包装排放200g二氧化碳，每盆绿萝每天吸收0.15g．
需要绿萝的盆数为：（盆），
由于绿萝盆数必须为整数，且1333盆仅能吸收1333×0.15＝199.95（g），
剩余200﹣199.95＝0.05g未被吸收，
因此需增加1盆，即至少需要1334盆，
1334盆可吸收1334×0.15＝200.1g满足全部吸收要求．
故选：C．
33．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×
＝1，
故选：A．
七．有理数的乘方（共6小题）
34．下列各组中，数值相等的是（ ）
A．﹣22与（﹣2）2B．（﹣3）3与﹣33
C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）D．与
【答案】B
【解答】解：A．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣4≠4，故选项A不合题意；
B．（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，﹣27＝﹣27，故选项B符合题意；
C．﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，﹣2≠2，故选项C不符合题意；
D.，，，故选项D不合题意．
故选：B．
35．一根1m长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【答案】C
【解答】解：根据乘方的意义和题意可知：
第一次后剩下的绳子的长度为m，
第二次后剩下的绳子的长度为（）2m，
第三次后剩下的绳子的长度为：（）3m，
那么以此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为（）6m．
故选：C．
36．若|x|＝3，y2＝25，，那么x﹣y的值是（ ）
A．2或﹣2B．﹣8或8C．﹣2或8D．﹣8或2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，x＝±3，y＝±5，
∵，
∴x＝﹣3，y＝﹣5或x＝3，y＝5，
当x＝﹣3，y＝﹣5时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2，
当x＝3，y＝5时，x﹣y＝3﹣5＝﹣2，
综上所述，x﹣y的值是2或﹣2．
故选：A．
37．下列各数中，结果相等的是（ ）
A．23和32B．（﹣2）3和﹣23
C．（﹣3）2和﹣32D．|﹣2|3和（﹣2）3
【答案】B
【解答】解：A．∵23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣23，故此选项符合题意；
C．∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故此选项不符合题意；
D．∵|﹣2|3＝23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴|﹣2|3≠（﹣2）3，故此选项不符合题意；
故选：B．
38．﹣25表示的意义是（ ）
A．5个2相乘的相反数B．﹣2与5相乘
C．2个﹣5相乘D．2个5相乘的相反数
【答案】A
【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数．
故选：A．
39．计算：．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
八．非负数的性质：偶次方（共5小题）
40．若x，y为有理数，且|x+5|+（y﹣5）2＝0，则的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2023D．2023
【答案】B．
【解答】解：∵|x+5|+（y﹣5）2＝0，
∴x+5＝0，y﹣5＝0，
∴x＝﹣5，y＝5，
∴＝＝1．
故选：B．
41．已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（ ）
A．25B．﹣25C．10D．﹣10
【答案】A
【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴ab＝（﹣5）2＝25．
故选：A．
42．已知|x﹣5|+（x+y）2＝0，则xy的值为（ ）
A．0B．﹣20C．25D．﹣25
【答案】D．
【解答】解：∵|x﹣5|+（x+y）2＝0，
∴x﹣5＝0，x+y＝0，
∴x＝5，y＝﹣5，
∴xy＝5×（﹣5）＝﹣25．
故选：D．
43．若（x﹣1）2+|y+2|＝0，则x+y的值等于（ ）
A．﹣3B．3C．﹣1D．1
【答案】C
【解答】解：根据题意得，x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
所以x+y＝1﹣2＝﹣1．
故选：C．
44．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，|a﹣2|≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ba＝（﹣3）2＝9，
故答案为：9．
九．有理数的混合运算（共5小题）
45．我们平常用的数是十进制的数，如2024＝2×103+0×102+2×101+4×100，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，1111＝1×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数15；10101＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数21．请问二进制中的110101等于十进制中的数（ ）
A．50B．51C．52D．53
【答案】D
【解答】解：根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子考点：
二进制中的110101等于十进制中的数为1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20
＝32+16+0+4+0+1
＝53，
故选：D．
46．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且x＝﹣a+cd﹣b，求3xy﹣2y2的值．
【答案】﹣2或﹣14．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且x＝﹣a+cd﹣b，
∴a+b＝0，cd＝1，y＝±2，x＝﹣（a+b）+cd＝﹣0+1＝1，
当y＝2时，3xy﹣2y2
＝3×1×2﹣2×22
＝6﹣2×4
＝6﹣8
＝﹣2；
当y＝﹣2时，3xy﹣2y2
＝3×1×（﹣2）﹣2×（﹣2）2
＝﹣6﹣2×4
＝﹣6﹣8
＝﹣14；
综上所述：3xy﹣2y2的值为﹣2或﹣14．
47．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；
（2）29；
（3）1；
（4）．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝18﹣4+15
＝29；
（3）原式＝
＝2+3﹣4
＝1；
（4）原式＝
＝
＝
＝．
48．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求：
（1）直接写出a+b，cd，x的值．
（2）求（a+b）x2+（﹣cd）2015的值．
【答案】（1）a+b＝0，cd＝1，x＝±2；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）由条件可知a+b＝0，cd＝1，|x|＝2，
所以x＝±2；
（2）因为x＝±2，
所以x2＝4，
所以（a+b）x2+（﹣cd）2015＝0×4+（﹣1）2015＝﹣1．
49．（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；（2）﹣25．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣1；
（2）原式＝
＝36﹣40﹣21
＝﹣25．
十．近似数和有效数字（共5小题）
50．用四舍五入法，把5.86精确到十分位，取得的近似数是（ ）
A．6B．5.8C．5.9D．5.87
【答案】C
【解答】解：5.86精确到十分位，取得的近似数是5.9．
故选：C．
51．下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到百分位
B．近似数4.3万精确到千位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数43.0精确到个位
【答案】B
【解答】解：近似数0.010精确到千分位，故A不符合题意；
近似数4.3万精确到千位，描述正确，故B符合题意；
近似数2.8与2.80表示的意义不相同，2.8精确到十分位，2.80精确到百分位，故C不符合题意；
近似数43.0精确到十分位，故D不符合题意；
故选：B．
52．下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣5和互为相反数
B．近似数2.0万精确到万位
C．如果|x|＝5，那么x＝±5
D．盈利100元记作+100元，则﹣80元表示亏损20元
【答案】C
【解答】解：A．﹣5和5互为相反数，故该选项错误；
B．近似数2.0万精确到千位，故B错误；
C．如果|x|＝5，那么x＝±5，故C正确．
D．盈利100元记作+100元，则﹣80元表示亏损80元，故D错误．
故选：C．
53．北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树，其中2.2万精确到（ ）
A．万位B．千位C．十分位D．百分位
【答案】B
【解答】解：2.2万的最后一位2在千位上，因而精确到千位．
故选：B．
54．按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A．3.704≈3.70（精确到十分位）
B．0.123≈0.1（精确到0.1）
C．39.27≈40（精确到个位）
D．0.01462≈0.015（精确到0.0001）
【答案】B
【解答】解：3.704≈3.7（精确到十分位），故选项A不符合题意；
0.123≈0.1（精确到0.1），故选项B符合题意；
39.27≈39（精确到个位），故选项C不符合题意；
0.01462≈0.0146（精确到0.0001），故该选项D不符合题意；
故选：B．
十一．科学记数法—表示较大的数（共6小题）
55．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（ ）
A．1.222×108B．12.22×106
C．1.222×107D．0.1222×108
【答案】C．
【解答】解：12220000＝1.222×107．
故选：C．
56．天安门广场是世界上面积最大的广场，长约880m，宽约500m，它的面积用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×105m2B．0.44×106m2
C．44×104m2D．4.4×106m2
【答案】A
【解答】解：根据科学记数法的表现形式可得：880×500＝440000＝4.4×105m2，
故选：A．
57．2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为112000米/秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中112000用科学记数法可表示为（ ）
A．112×103B．11.2×104C．1.12×105D．1.12×106
【答案】C
【解答】解：112000＝1.12×105，
故选：C．
58．中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（ ）
A．2.76×106B．27.6×106C．2.76×107D．0.276×108
【答案】C．
【解答】解：27600000＝2.76×107．
故选：C．
59．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“1502”的电阻，第四位数字“2”为10的幂指数，对应的阻值（单位：Ω）为150×102＝15000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．150×102B．15×103C．1.5×104D．1.5×105
【答案】C．
【解答】解：15000＝1.5×104．
故选：C．
60．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．45×108B．4.5×109C．4.5×108D．4.5×1010
【答案】B
【解答】解：4500000000＝4.5×109．
故选：B有理数加法法则
字母表示
同号两数相加
同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
若a>0,b>0,则a+b=+(|a|+|b|);
若a|b|,则a+b=-(|a|-|b|).
互为相反数的两个数相加得0.
若a>0,b