2.2.2.2有理数的加减乘除混合运算（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

2.2.2.2 有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算是对有理数四则运算的综合应用，它融合了加法、减法、乘法和除法的运算规则，需要在遵循运算顺序的基础上，灵活运用运算律简化计算。掌握混合运算的方法，是解决复杂数学问题和实际应用场景的关键能力。混合运算的运算顺序有理数加减乘除混合运算的核心规则是 “先乘除，后加减；有括号的先算括号内的运算”，具体可细化为以下步骤：括号优先：若算式中含有括号（小括号\(()\)、中括号\([]\)、大括号\(\{\}\)），需按照从内到外的顺序依次计算，即先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算大括号内的运算。例如计算\(2×[3 + (-4)÷2]\)，先算小括号内的除法\((-4)÷2=-2\)，再算小括号内的加法\(3 + (-2)=1\)，最后算括号外的乘法\(2×1=2\)。乘除同级运算：在没有括号的情况下，乘法和除法属于同级运算，按照从左到右的顺序依次进行。例如计算\(12÷(-3)×(-2)\)，先算左边的除法\(12÷(-3)=-4\)，再算乘法\(-4×(-2)=8\)；若颠倒顺序先算乘法\((-3)×(-2)=6\)，再算除法\(12÷6=2\)，则会得到错误结果。加减同级运算：在完成所有乘除运算后，剩余的加法和减法属于同级运算，同样按照从左到右的顺序依次计算。例如计算\(8 - 15÷3 + 2×(-4)\)，先完成乘除运算\(15÷3=5\)、\(2×(-4)=-8\)，得到\(8 - 5 + (-8)\)，再按从左到右顺序计算\(8 - 5=3\)，\(3 + (-8)=-5\)。混合运算的简化技巧分步转化减法：根据减法法则，先将所有减法运算转化为加法运算，即将算式中的 “\(-b\)” 转化为 “\(+(-b)\)”，使算式统一为代数和的形式，便于后续分组计算。例如计算\(5 - 3×(-2)÷(-1)\)，先转化为\(5 + (-3)×(-2)÷(-1)\)，再进行乘除运算。乘除统一为乘法：利用除法法则，将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘它的倒数），使算式成为只含乘法和加法的形式，再运用乘法运算律简化。例如计算\(2÷(-\frac{1}{3})×(-\frac{3}{4})\)，转化为\(2×(-3)×(-\frac{3}{4})\)，运用乘法结合律先算\((-3)×(-\frac{3}{4})=\frac{9}{4}\)，再算\(2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}\)。合理分组结合：在转化后的算式中，利用加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，将便于计算的数优先结合。加法中优先结合互为相反数、同号数或能凑整的数，例如\(7 + (-3) + 3 + (-7) + 5=(7 - 7)+(-3 + 3)+5=0 + 0 + 5=5\)。乘法中优先结合互为倒数、能约分或凑整的数，例如\((-8)×\frac{1}{2}×(-\frac{1}{4})×2=[(-8)×(-\frac{1}{4})]×(\frac{1}{2}×2)=2×1=2\)。逆向运用分配律：当算式中存在公共因数时，提取公共因数简化计算。例如计算\(6×(-\frac{1}{2}) + 6×(-\frac{1}{3})=6×[(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})]=6×(-\frac{5}{6})=-5\)。含括号的混合运算处理单层括号运算：直接按括号优先原则计算括号内的运算，再处理括号外的部分。例如计算\((-5 + 3)×(-2) - 12÷(-4)\)，先算括号内\(-5 + 3=-2\)，再算乘除\(-2×(-2)=4\)、\(12÷(-4)=-3\)，最后算减法\(4 - (-3)=7\)。多层括号运算：从最内层括号开始逐层计算，每去一层括号后及时整理符号和运算顺序。例如计算\(10 - \{8 - [2 + (-5)×1]÷3\}\)：最内层括号：\(2 + (-5)×1=2 - 5=-3\)中层括号：\(8 - (-3)÷3=8 - (-1)=9\)外层括号：\(10 - 9=1\)去括号技巧：括号前是 “\(+\)” 号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前是 “\(-\)” 号时，去括号后括号内各项符号全变；括号前是乘数时，需用分配律将乘数与括号内每一项相乘。例如：\(5 + (3 - 2×4)=5 + 3 - 8=0\)（括号前是 “\(+\)”，符号不变）\(5 - (3 - 2×4)=5 - 3 + 8=10\)（括号前是 “\(-\)”，符号全变）\(-2×(3 - 4)=-2×3 + (-2)×(-4)=-6 + 8=2\)（分配律去括号）实际应用问题解析行程问题：一辆汽车沿直线行驶，先以每小时\(60\)千米的速度向东行驶\(2\)小时，接着以每小时\(50\)千米的速度向西行驶\(3\)小时，最后以每小时\(70\)千米的速度向东行驶\(1\)小时。求汽车最终相对起点的位置。解：规定向东为正，各段行程的位移为：第一段：\(60×2=120\)千米第二段：\(-50×3=-150\)千米第三段：\(70×1=70\)千米总位移：\(120 + (-150) + 70=(120 + 70)-150=190 - 150=40\)千米，即汽车最终在起点东边\(40\)千米处。财务收支问题：某商店一周的收支情况如下（收入为正）：周一收入\(500\)元，周二支出\(200\)元，周三收入\(300\)元，周四支出\(150\)元，周五收入\(400\)元，周六支出\(350\)元，周日休息无收支。求该商店这一周的净利润。解：净利润为各天收支总和：\(500 + (-200) + 300 + (-150) + 400 + (-350)\)\(=(500 + 300 + 400)+(-200 - 150 - 350)\)\(=1200 - 700=500\)元易错点警示与规避运算顺序错误：常见错误：未遵循 “先乘除后加减”，例如\(10 - 6÷2=4÷2=2\)（正确应为\(10 - 3=7\)）；同级运算未从左到右，例如\(8÷(-2)×(-4)=8÷8=1\)（正确应为\(-4×(-4)=16\)）。规避方法：在算式中用横线或箭头标注运算顺序，优先标记乘除运算，完成后再标记加减运算，严格按顺序分步计算。符号处理失误：常见错误：去括号时符号未全变，例如\(5 - (3 - 2)=5 - 3 - 2=0\)（正确应为\(5 - 3 + 2=4\)）；乘除运算符号判断错误，例如\((-3)×(-4)÷(-2)=12÷(-2)=-6\)却误算为\(12÷2=6\)。规避方法：去括号前明确括号前符号，负号去括号时逐项变号；乘除运算中先单独统计负因数个数，奇负偶正确定符号后再算绝对值。漏项或多算：常见错误：运用分配律时漏乘某项，例如\(2×(3 + 4 - 5)=6 + 8=14\)（漏乘\(-5\)，正确应为\(6 + 8 - 10=4\)）。规避方法：分配律运算时，将括号内每一项与乘数的乘积依次列出，并用加号连接，确保不遗漏任何一项。分数与小数混淆：常见错误：分数与小数混合运算时未统一形式，例如\(0.5 + \frac{1}{3}÷2\)直接计算导致错误。规避方法：根据数字特点统一为分数或小数，例如\(0.5=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2} + \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\)。典型例题解析例 1：计算\(18 - 3×(-2)÷(-\frac{1}{3})\)解：按顺序先算乘除：原式\(=18 - [3×(-2)÷(-\frac{1}{3})]\)\(=18 - [(-6)×(-3)]\)\(=18 - 18=0\)例 2：计算\((-2)^2×5 - (-2)^3÷4\)解：先算乘方，再算乘除，最后算加减：原式\(=4×5 - (-8)÷4\)\(=20 - (-2)=20 + 2=22\)例 3：计算\(24×(\frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}) - 15÷(-3)\)解：运用分配律简化括号内运算：原式\(=24×\frac{1}{6} - 24×\frac{1}{4} + 24×\frac{1}{3} - (-5)\)\(=4 - 6 + 8 + 5=11\)例 4：计算\(10 - [(-5)×(-3) - (1 - 4×2)]\)解：逐层计算括号内运算：原式\(=10 - [15 - (1 - 8)]\)\(=10 - [15 - (-7)]\)\(=10 - (15 + 7)=10 - 22=-12\)有理数加减乘除混合运算的核心是 “明确顺序、灵活转化、准确符号”。在运算过程中，需时刻牢记运算顺序规则，将复杂运算分步拆解，通过转化统一运算形式，利用运算律简化计算，并严格把控符号细节。通过大量练习培养对运算的直觉判断，能有效提高运算速度和准确性，为后续学习更复杂的数学知识奠定坚实基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 熟练地进行有理数的乘除混合运算.熟练地进行有理数的加减乘除混合运算.会使用计算器进行计算.下列算式中含有哪几种运算？先算什么？后算什么？( 3.5 × 3－1 ) + 9 因为有理数的除法可以转化为_____，所以可以利用与乘法有关的运算律简化运算. 乘除混合运算往往先将除法转化为_____，然后确定积的______，最后求出结果.乘法乘法符号例 题【教材P45】例 6 计算： （2） . = 1.有理数乘除混合运算的顺序： 按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号内的.及时巩固计算：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .= (-7)×(-3) = 21.知识点睛进行有理数的乘除混合运算要把握两个关键点：（1）运算顺序：在没有统一成乘法运算之前，必须遵循从左到右的顺序，统一成乘法运算后才可以运用乘法运算律改变运算顺序.（2）约分：通常把小数化为分数，带分数化为假分数，计算时便于约分.例 题【教材P46】例 7 计算： （1）-8+4÷(-2) ； （2）(-7)×(-5)-90÷(-15).解：（1） -8+4÷(-2) = -8+(-2) = -10；（2）(-7)×(-5)-90÷(-15) = 35-(-6) = 35 + 6 = 41.归 纳有理数的加、减、乘、除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先算括号内的. 同级运算按从左到右的顺序依次计算，并能合理运用运算律，简化运算.及时巩固计算： （1）-66×4-(-2.5)÷(-0.1)；（2） ；解：（1）原式 = -264-25 = -289； = 1；（3） ；= -10-80= -90；（4） . 例 8 某公司去年 1 月~3 月平均每月亏损 1.5 万元，4 月~6 月平均每月盈利 32 万元，7 月~10 月平均每月盈利 21.7 万元，11 月~12 月平均每月亏损 2.3 万元. 这个公司去年总的盈亏情况如何？解：记盈利额为正数，亏损额为负数.(-1.5)×3 + 32×3 + 21.7×4 + (-2.3)×2= -4.5 + 96 + 86.8 – 4.6= 173.7答：这个公司去年全年盈利 173.7 万元.计算器的使用：不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的.（2）按照算式的书写顺序准确输入数据；及时巩固用计算器计算（结果保留小数点后三位）： （1）-12.3×(-0.13)；解：（1）按键顺序如下：显示结果为 1.599.（2）1.3÷(-3.26)+(-8.12)×(-3.26).（2）按键顺序如下：显示结果为 26.072 426 99，结果保留小数点后三位为 26.072.练 习【教材P47】1. 计算：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .2. 计算：（1）6-(-12)÷(-3)； （2）3×(-4)+(-28)÷7 ；（3）(-48)÷8-(-25)×(-6)；（4） .2-16-1561. 计算： （1）(-8)×(-7)； （2）12×(-5)；（3）2.9×(-0.4)； （4）(-30.5)×0.2；（5）100×(-0.001)； （6）(-4.8)×(-1.25).56-60-1.16-6.1-0.16【教材P47，习题2.2】（1） ； （2） ； 2. 计算：（3） ； （4） . （1） ； （2）(-10)×(-8.24)×(-0.1)； 4. 计算：（3） ； （4） . 【教材P48】-4.97（1）(-2)×3×(-4)； （2）(-6)×(-5)×(-7)； 5. 计算：（3）(-6)×(-0.25)× ； （4）(-17)×(-49)×0×13. 24-2100（1）16÷(-3)； （2）(-91)÷ 13； 6. 计算：（3）(-56)÷(-14)； （4） ÷(-1)； （5）(-16)÷(-48)； （6）(-0.25)÷ . -741×(-5)=_______； 1÷(-5)=______；7. 填空题.1+(-5)=_______； 1-(-5)=______；(-1)×(-5)=_______； (-1)÷(-5)=______；(-1)+(-5)=_______； (-1)-(-5)=______.-5-465-64（1） ；（2） ；（3） ；（4） .8. 化简：（1）0.1÷(-0.001)÷(-1)；9. 计算：（2） ；（3）(-7)×(-56)×0÷(-13)；（4）(-9)×(-11)÷3÷(-3).1000-11综合运用（1）23×(-5)-(-3)÷ ；10. 计算：（2）(-7)×(-3)×(-0.5)+ (-12)×(-2.6)；（3） ；（4） .1320.711. 用计算器计算（结果保留小数点后两位）：（1）(-36)×128÷(-74)；（2）(-6.23)÷(-0.25)×94；（3）(-4.325)×(-0.012)-2.31÷(-5.315)；（4）180.65-(-32)×47.8÷(-15.5).≈ 62.27= 2342.48≈ 0.49≈ 81.97【教材P49】12. 记盈利额为正数，用正数或负数填空：（1）小商店平均每天盈利 250 元，一个月（按 30 天计算）的利润是________元；（2）小商店一星期的利润是 1400 元，平均每天的利润是_______元；（3）小商店一星期共亏损 840 元，平均每天的利润是_______元.7500200-12013. 一架直升机从高度为 450 m 的位置开始，先以 4 m/s 的速度竖直上升 60 s，后以 5 m/s 的速度竖直下降 120 s，这时直升机所在高度是多少？解：450 + 4×60 - 5×120= 450 + 240 - 600= 90答：这时直升机所在的高度是 90 m.联系这类具体的数的乘法，你认为一个非零有理数一定小于它的 2 倍吗？为什么？一个非零有理数不一定小于它的 2 倍. 理由：当这个非零有理数是负数时，它就大于它的 2 倍.15. 利用分配律可以得到-2×6 + 3×6 = (-2 + 3)×6，-2×(-5)+ 3×(-5)= (-2+3)×(-5)，如果用 a 表示任意一个数，那么利用分配律可以得到 -2a + 3a 等于什么？解：-2a + 3a =(-2 + 3)·a = a.16. 计算(-4)÷2，4÷(-2)，(-4)÷(-2).联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，且b≠0）？从中可以总结出什么规律？（1） ；（2） .解：(-4)÷2 = -2，4÷(-2) = -2 ，(-4)÷(-2) = 2.规律：分数的分子与分母中只有一个含有负号时，分数的结果中有负号；分子与分母中都有负号时，可以将负号约去.有理数乘除混合运算的顺序： 按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号内的.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先算括号内的. 同级运算按从左到右的顺序依次计算，并能合理运用运算律，简化运算.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！