14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形幻灯片 1：封面标题：14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形副标题：探究 “ASA” 全等判定定理 —— 从角边关系到全等判定配图：包含标注 “两角及夹边” 的两个全等三角形示意图、尺规作图验证重合的过程图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从 SAS 到 ASA 的思考）回顾与延伸回顾 SAS 判定定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（需 “边夹在两角之间”）；思考：若已知 “两个角” 和 “这两个角的夹边” 分别相等，能否判定两个三角形全等？这种情况下三角形的形状和大小是否唯一？生活场景中的 ASA 应用考古学家复原三角形文物时，若测得文物残留部分的 “两个角” 和 “两角之间的边”，就能确定完整三角形的形状和大小，复制出与原文物全等的模型；摄影师调整三角架时，固定 “两个支架与地面的夹角” 和 “两支架底部的距离（夹边）”，就能确保三角架的稳定性（形状和大小固定）。问题聚焦给定 “两角及其夹边分别相等”，三角形的形状和大小是否唯一？能否作为全等判定依据？“ASA” 中的 “夹边” 能否替换为 “其中一个角的对边”？与 SAS 有何本质区别？引出主题：本节课将探究全等三角形的第二个判定方法 ——“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”（简记为 “角边角” 或 “ASA”），明确定理的条件、推导过程及应用规范。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解并掌握 “ASA” 全等判定定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；能通过尺规作图，根据 “两角及夹边” 画出唯一三角形（验证定理的唯一性）；会用 “ASA” 定理证明两个三角形全等，并结合全等性质解决线段相等、角相等的问题；辨析 “ASA” 与 “SAS” 的区别（角边顺序不同），明确 “夹边” 在 ASA 中的必要性。过程与方法通过 “动手作图→观察重合→推理证明→应用验证” 的过程，深化直观想象与逻辑推理能力；经历 “从特殊案例到一般定理” 的探究，体会 ASA 定理的推导思路，掌握多判定方法的灵活选择。情感态度与价值观感受数学判定定理的严谨性，体会 “最少条件确定图形” 的优化思想；在合作探究与证明中，增强几何语言的表达能力，提升数学证明的规范性。二、教学重难点重点：“ASA” 全等判定定理的理解与应用（规范书写证明过程）；难点：“ASA” 定理的推导（通过尺规作图验证 “两角及夹边确定唯一三角形”）；结合三角形内角和，灵活转化 “两角及一角对边” 为 “ASA”（为后续 AAS 铺垫）；根据已知条件，合理选择 SAS 或 ASA 判定全等（避免方法混淆）。幻灯片 4：知识点 1——“ASA” 定理的探究与推导一、动手作图：验证 “两角及夹边” 确定唯一三角形作图任务（小组合作）给定条件：画△ABC，使∠A=60°，AB=4cm，∠B=45°（即 “两角∠A、∠B 及夹边 AB” 确定）；作图步骤（尺规作图）：步骤 1：画线段 AB=4cm；步骤 2：以 A 为顶点，AB 为一边，用量角器画∠BAM=60°（射线 AM）；步骤 3：以 B 为顶点，AB 为一边，用量角器画∠ABN=45°（射线 BN）；步骤 4：射线 AM 与 BN 交于点 C，△ABC 即为所求。观察与重合：小组内将各自画出的△ABC 叠放在一起，观察是否完全重合；结论：所有按 “∠A=60°，AB=4cm，∠B=45°” 画出的三角形均能完全重合，说明 “两角及夹边确定时，三角形的形状和大小唯一”。二、“ASA” 定理的正式表述定理内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简记为 “角边角” 或 “ASA”）。符号表示：如图，在△ABC 和△DEF 中，\(\begin{cases} ∠A = ∠D \\ AB = DE \\ ∠B = ∠E \end{cases}\)则△ABC≌△DEF（ASA）。关键词解析：“两角及其夹边”：“夹边” 是指两个角的公共边（如∠A 与∠B 的夹边是 AB，∠D 与∠E 的夹边是 DE），而非其他边；“分别相等”：两个三角形的对应角相等、对应夹边相等（角与边的顺序需对应，即 “角 - 边 - 角” 顺序）。幻灯片 5：知识点 2——“ASA” 定理的规范应用（证明过程）一、证明的基本步骤审题：明确已知条件（找出 “两角及夹边”）和求证结论（证明三角形全等）；标注：在图形中标注已知的角、边相等关系（如用 “∠” 标注相等的角，用 “=” 标注相等的边）；书写：先写出 “在△XXX 和△XXX 中”；用大括号列出三个相等条件（对应角、对应夹边、对应角）；注明判定方法（ASA），得出全等结论；（若需进一步证明边 / 角相等）利用全等三角形的性质推导。二、基础应用示例例题 1：已知：如图，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。证明过程：证明：在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A = ∠D（已知）， \\ AB = DE（已知）， \\ ∠B = ∠E（已知）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。例题 2：已知：如图，AB∥CD，AF=ASA角 - 边 - 角（两角及夹边）夹边是两个角的公共边已知条件以 “角” 为主，且有明确的夹边SAS边 - 角 - 边（两边及夹角）夹角是两条边的公共角已知条件以 “边” 为主，且有明确的夹角二、方法选择的判断依据若已知 “两条边” 和 “一个角”：角是两边的公共角→用 SAS；角是其中一条边的对角→不可直接用 SAS 或 ASA（需进一步分析）。若已知 “两个角” 和 “一个边”：边是两个角的公共边→用 ASA；边是其中一个角的对边→先证第三个角相等，再用 ASA（或后续学习的 AAS）。三、示例：根据条件选择合适的判定方法场景 1已知：如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，求证：△ABD≌△ACD。分析：已知两边（AB=AC，AD=AD）及夹角（∠BAD=∠CAD）→用 SAS。场景 2已知：如图，∠A=∠A（公共角），AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABD≌△ACE。分析：已知两角（∠A=∠A，∠B=∠C）及夹边（AB=AC）→用 ASA。幻灯片 7：课堂互动（分组探究与证明）任务 1：基础证明 ——ASA 的直接应用题目：已知：如图，BD 平分∠ABC，∠A=∠C，AB=CB，求证：△ABD≌△CBD。要求：4 人一组，分析已知条件（∠A=∠C，AB=CB，∠ABD=∠CBD（角平分线））；确定 ASA 的三个条件（∠A=∠C，AB=CB，∠ABD=∠CBD）；规范书写证明过程，标注每一步依据；派代表展示，其他小组点评是否正确应用 ASA。参考解析：证明：∵ BD平分∠ABC（已知），∴ ∠ABD = ∠CBD（角平分线的定义）。在△ABD和△CBD中，$\begin{cases} ∠A = ∠C（已知）， \\ AB = CB（已知）， \\ ∠ABD = ∠CBD（已证）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △CBD（ASA）。任务 2：综合应用 ——ASA 与内角和的结合题目：已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD。要求：小组讨论：如何将 “∠3=∠4” 转化为 ASA 所需的夹边条件（先证∠ABC=∠ABD，再结合∠1=∠2，AB=AB）；分步骤证明△ABC≌△ABD（ASA），再推导 AC=AD；总结 “角的和差” 在 ASA 判定中的应用。幻灯片 8：中考真题演练（ASA 应用）题目 1（基础题）：（2024・广东中考）如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，∠A=∠D，AB∥DE，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。证明过程：证明：∵ AB∥DE（已知），∴ ∠B = ∠DEF（两直线平行，同位角相等）。∵ BE = CF（已知），∴ BE + EC = CF + EC（等式性质），即 BC = EF。在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A = ∠D（已知）， \\ ∠B = ∠DEF（已证）， \\ BC = EF（已证）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。题目 2（提升题）：（2024・江苏中考）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，DE 平分∠ADC，交 BC 于 E，求证：AD=AB+CD。解析：延长 DE 交 AB 的延长线于 F，由 AB∥CD 得∠CDE=∠F，∠C=∠EBF；DE 平分∠ADC→∠CDE=∠ADE，故∠ADE=∠F→AD=AF（等角对等边）；证△CDE≌△BFE（ASA）：∠CDE=∠F，DE=FE（AE 是等腰△ADF 的中线），∠CED=∠FEB→CD=BF；AD=AF=AB+BF=AB+CD。证明过程（关键步骤）：证明：延长DE交AB的延长线于点F。∵ AB∥CD（已知），∴ ∠CDE = ∠F（两直线平行，内错角相等）， ∠C = ∠EBF（两直线平行，同位角相等）。∵ DE平分∠ADC（已知），∴ ∠CDE = ∠ADE（角平分线的定义），∴ ∠ADE = ∠F（等量代换），∴ AD = AF（等角对等边）。∵ AE平分∠BAD（已知），∴ DE = FE（等腰三角形三线合一）。在△CDE和△BFE中，$\begin{cases} ∠CDE = ∠F（已证）， \\ DE = FE（已证）， \\ ∠CED = ∠FEB（对顶角相等）， \end{cases}$∴ △CDE ≌ △BFE（ASA）。∴ CD = BF（全等三角形的对应边相等）。∴ AD = AF = AB + BF = AB + CD（等量代换）。幻灯片 9：课堂小结知识梳理ASA 判定定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（条件结构：角 - 边 - 角，夹边是两角公共边）；定理推导：通过尺规作图验证 “两角及夹边确定唯一三角形”，证明定理的合理性；应用关键：直接应用：找出 “两角及夹边” 三个对应相等条件；间接应用：通过内角和、角平分线、平行线等转化条件，构造 ASA；方法辨析：ASA（角 - 边 - 角）与 SAS（边 - 角 - 边）的区别在于 “边” 与 “角” 的顺序，需根据已知条件灵活选择。记忆口诀ASA，角边角，夹边在中间；两角等，边也等，全等马上判；遇条件，善转化，内角和来帮忙；SAS、ASA 分清楚，边角顺序是关键。幻灯片 10：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-3 题（巩固 ASA 定理的基础应用）；已知：如图，∠A=∠A'，AB=A'B'，∠B=∠B'，求证：△ABC≌△A'B'C'。提升题已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=∠BCD，求证：AC=BC；已知：如图，AB=CD，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：△ABO≌△DCO（O 为 AD、BC 交点）。拓展题探究：已知 “两角及其中一角的对边分别相等”（AAS），能否判定三角形全等？尝试通过 ASA 和内角和推导；预习下节课 “14.2.3 三边分别相等的两个三角形”，思考：SSS 判定与 ASA、SAS 的区别，为何三边相等能确定三角形全等？【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 情境导入假设有一块较大的三角形玻璃摔成了两半，需要去玻璃店重新配置，若只能选一块碎片带去，你会怎么选择？为什么？推进新课思考：到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？已知：如图，△ABC.求作：△A'B'C'，使∠B'=∠B，B'C'=BC，∠C'=∠C.(2) 在B'C'的同侧，分别以B'，C′为顶点作∠MB'C'=∠B，∠NC'B'=∠C，B'M与 C'N交于点A'.作法：(1)如图，作线段B′C′=BC；则△A'B'C' 就是所求作的三角形．B′C′A′NM思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？由上可得如下的基本事实：B′C′A′NM几何语言:如图，在△ABC与△A'B'C'中：∴△ABC≌△A′B′C′ . (ASA)∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，想一想：如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边.易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定.例3 已知：如图，点 A，B，E在同一直线上， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4.求证：DB＝CB.BCD1234AE分析：求证DB=CB证明△ADB≌△ACB∠1=∠2 (已知)AB=AB (公共边)∠ABD=∠ABC 例3 已知：如图，点 A，B，E在同一直线上， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4.求证：DB＝CB.BCD1234AE证明：∵∠ABD 与∠3 互为邻补角，∠ABC 与∠4 互为邻补角，(已知)又∵ ∠3＝∠4，(已知)∴∠ABD＝∠ABC. (等角的补角相等)在△ADB 和△ACB 中，∠1＝ ∠2，(已知)AB＝AB，(公共边)∠ABD＝∠ABC，(已证) ∴ △ABD≌△ABC. (ASA) ∴ DB＝CB . (全等三角形的对应边相等)例4 如图，点 A，B 位于河岸两侧，且 AB 垂直于河岸MN. 要测量 A，B 两点之间的距离，可以在 MN 上取两点 C，D，使 BC = CD，再过点 D 作 MN 的垂线 DE，使点 A，C，E 在同一直线上，这时测得 ED 的长就可得到 A，B 两点之间的距离，请说明这种测量方法的依据.分析：题目要证明的是AB=DE证明△ABC≌△EDC∠ABC=∠EDC=90°(垂直定义)BC=CD (已知)∠ACB=∠ECD (对顶角相等)在△ABC 和△EDC 中，∠ABC＝∠EDC，(已证)BC＝DC，(已知)∠ACB＝∠ECD ，(对顶角相等)∴ △ABC≌△EDC. (ASA)∴ AB＝ED. (全等三角形的对应边相等)证明：AB⊥MN，ED⊥MN，(已知)∴ ∠ABC＝∠EDC＝90°. (垂直的定义)练一练已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线. 求证：CF = C′F′.∠A = ∠A′ ，AC = A′C′，∠ACF =∠A′C′F′ ，证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∠A =∠A′， ∠ACB =∠A′C′B′.∴ AC = A′C′，∴ CF = C′F′. 又∵CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线，∴ ∠ACF =∠A′C′F′.在 △ACF与△A′C′F′ 中∴ △ACF≌△A′C′F′ .(ASA)随堂演练【教材P99 练习 T1】1.已知：如图，∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB.求证：△ABC≌△DCB.证明：在△ABC 和△DCB 中，∠ABC=∠DCB ，(已知)BC=CB ，(公共边)∠ACB=∠DBC，(已知)∴△ABC≌△DCB . (ASA)2.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，∠BAD=∠CAD.求证：△ABD≌△ACD.【教材P100 练习 T2】证明：在△ABD 和△ACD 中，∠BAD=∠CAD，(已知)AD = AD，(公共边)∠ADB=∠ADC， (已证) ∴△ABD≌△ACD . (ASA)∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.(垂直定义)3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别对应相等，求证这两个三角形全等.【教材P100 练习 T3】解：如图所示，已知：在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C= ∠C'=90°，AB=A'B'，∠A= ∠A'.求证:△ABC≌△A'B'C'证明：在△ABC和△A'B'C'中，∠B=180°- ∠C- ∠A，∠B'=180°-∠C'-∠A'，∵∠C= ∠C'=90°，∠A= ∠A′，∴∠B=180°-∠C'-∠A'= ∠B'.∠A=∠A′，(已知)AB = A′B′，(已知)∠B=∠B′， (已证) ∴△ABC≌△A′B′C′ . (ASA)知识点1 判定三角形全等的条件：角边角（第1题）   返回（第2题）2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )CA. 带①去 B. 带②去C. 带③去 D. 带①和②去 返回    返回知识点2 “角边角”判定三角形全等的应用（第4题） AA. 5 B. 6 C. 7 D. 8 返回 160（第5题） 返回   返回      返回课堂小结三角形全等的判定方法“角边角”必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！