14.2.3 三边分别相等的两个三角形-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

14.2.3 三边分别相等的两个三角形幻灯片 1：封面标题：14.2.3 三边分别相等的两个三角形副标题：探究 “SSS” 全等判定定理 —— 三边定形，全等可判配图：包含标注 “三边” 的两个全等三角形示意图、尺规作图拼接全等三角形的过程图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从 “边” 的角度定全等）回顾与疑问回顾已学全等判定方法：SAS（边 - 角 - 边）、ASA（角 - 边 - 角），均需 “边” 与 “角” 结合；疑问：若仅已知 “三条边分别相等”，能否判定两个三角形全等？三边确定时，三角形的形状和大小是否唯一？生活场景中的 SSS 应用木工制作三角形相框时，只需确定三根木条的长度，就能做出形状、大小完全相同的相框（无需测量角度）；建筑工人搭建三角形支架时，固定三根钢管的长度，支架的结构就会固定不变（利用三角形的稳定性，本质是三边确定三角形形状）；拼图游戏中，若两个三角形拼图块的三边长度完全一致，就能完全重合拼接。问题聚焦给定 “三边分别相等”，两个三角形是否一定全等？如何通过实验验证？SSS 判定与 SAS、ASA 相比，在条件要求上有何独特之处？适用场景有何不同？引出主题：本节课将探究全等三角形的第三个判定方法 ——“三边分别相等的两个三角形全等”（简记为 “边边边” 或 “SSS”），明确定理的条件、推导过程及应用规范，理解 “三边定形” 的数学原理。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解并掌握 “SSS” 全等判定定理：三边分别相等的两个三角形全等；能通过尺规作图，根据 “三边” 画出唯一三角形（验证定理的唯一性，理解三角形稳定性）；会用 “SSS” 定理证明两个三角形全等，并结合全等性质解决线段相等、角相等的问题；辨析 SSS 与 SAS、ASA 的区别，能根据已知条件灵活选择合适的判定方法。过程与方法通过 “动手作图→拼接验证→推理证明→应用拓展” 的过程，深化直观想象与逻辑推理能力；经历 “从具体案例到一般定理” 的探究，体会 “三边定形” 的数学思想，掌握多判定方法的综合应用。情感态度与价值观感受数学定理的严谨性，理解三角形稳定性的数学本质（三边确定形状）；在合作探究与证明中，增强几何语言表达能力，提升数学证明的规范性与信心。二、教学重难点重点：“SSS” 全等判定定理的理解与应用（规范书写证明过程）；难点：“SSS” 定理的推导（通过尺规作图验证 “三边确定唯一三角形”）；利用 “SSS” 证明三角形全等时，辅助线的添加（如证明线段相等时，构造全等三角形）；根据已知条件，合理选择 SSS、SAS、ASA 判定全等（避免方法误用）。幻灯片 4：知识点 1——“SSS” 定理的探究与推导一、动手作图：验证 “三边” 确定唯一三角形作图任务（小组合作）给定条件：画△ABC，使 AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm（即 “三边” 确定）；作图步骤（尺规作图）：步骤 1：画线段 AB=4cm；步骤 2：以 A 为圆心，6cm（AC 的长度）为半径画弧；步骤 3：以 B 为圆心，5cm（BC 的长度）为半径画弧；步骤 4：两弧交于两点（C 和 C'），取其中一点（如 C），连接 AC、BC，△ABC 即为所求。观察与重合：小组内将各自画出的△ABC 叠放在一起，观察是否完全重合；结论：所有按 “AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm” 画出的三角形均能完全重合，说明 “三边确定时，三角形的形状和大小唯一”（三角形稳定性的本质）。二、“SSS” 定理的正式表述定理内容：三边分别相等的两个三角形全等（简记为 “边边边” 或 “SSS”）。符号表示：如图，在△ABC 和△DEF 中，\(\begin{cases} AB = DE \\ BC = EF \\ AC = DF \end{cases}\)则△ABC≌△DEF（SSS）。关键词解析：“三边分别相等”：两个三角形的三条对应边均相等（无需考虑角的位置，只需边的长度对应相等）；“唯一性”：三边确定后，三角形的形状和大小唯一，这是 SSS 判定的核心依据（区别于四边形，四边形三边确定后形状仍可变化）。幻灯片 5：知识点 2——“SSS” 定理的规范应用（证明过程）一、证明的基本步骤审题：明确已知条件（找出 “三条对应边相等”）和求证结论（证明三角形全等）；标注：在图形中标注已知的边相等关系（如用 “=” 标注相等的边，用相同符号标记对应边）；书写：先写出 “在△XXX 和△XXX 中”；用大括号列出三条相等的对应边；注明判定方法（SSS），得出全等结论；（若需进一步证明边 / 角相等）利用全等三角形的性质推导。二、基础应用示例例题 1：已知：如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。证明过程：证明：在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} AB = DE（已知）， \\ BC = EF（已知）， \\ AC = DF（已知）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）。例题 2：已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，求证：△ABC≌△CDA。证明过程：证明：在△ABC和公共边、公共角、对顶角等隐含条件，可补充为判定所需条件（如公共边可用于 SSS、SAS、ASA）。第三步：验证条件对应性确保边、角的对应关系正确（如 SSS 中最长边对应最长边，SAS 中角是对应边的夹角）。三、示例：方法选择实战场景 1已知：如图，AB=AC，BD=CD，AD=AD，求证：△ABD≌△ACD。分析：已知三条对应边（AB=AC，BD=CD，AD=AD）→用 SSS。场景 2已知：如图，∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。分析：已知 “两边”+“一角”，角是两边的夹角（∠A 是 AB 与 AC 的夹角，∠D 是 DE 与 DF 的夹角）→用 SAS。场景 3已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF。分析：已知 “两角”+“一边”，边是其中一角的对边（BC 是∠A 的对边，EF 是∠D 的对边）→先证∠C=∠F（内角和），再用 ASA。幻灯片 7：课堂互动（分组探究与综合应用）任务 1：基础证明 ——SSS 的直接应用题目：已知：如图，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB。要求：4 人一组，分析已知条件（AB=DC，AC=DB，公共边 BC=CB）；确定 SSS 的三个条件（AB=DC，AC=DB，BC=CB）；规范书写证明过程，标注每一步依据；派代表展示，其他小组点评是否正确应用 SSS。参考解析：证明：在△ABC和△DCB中，$\begin{cases} AB = DC（已知）， \\ AC = DB（已知）， \\ BC = CB（公共边）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DCB（SSS）。∴ ∠ABC = ∠DCB（全等三角形的对应角相等）。任务 2：综合应用 ——SSS 与辅助线添加题目：已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D。要求：小组讨论：如何添加辅助线构造全等三角形（连接 AC，将四边形分为△ABC 和△ADC）；用 SSS 证明△ABC≌△ADC，再推导∠B=∠D；总结 “连接公共顶点” 添加辅助线的思路（适用于四边形中证明角相等）。幻灯片 8：中考真题演练（SSS 应用）题目 1（基础题）：（2024・广东中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，BD=CE，AD=AE，求证：△ABD≌△ACE。证明过程：证明：在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ BD = CE（已知）， \\ AD = AE（已知）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACE（SSS）。题目 2（提升题）：（2024・江苏中考）如图，已知点 A、B、C、D 在同一直线上，AB=CD，AE=DF，BE=CF，求证：AE∥DF。解析：先证△ABE≌△DCF（SSS）：AB=CD，AE=DF，BE=CF→△ABE≌△DCF；由全等得∠BAE=∠CDF（对应角相等）；∠BAE 与∠CDF 是同位角，同位角相等→AE∥DF。证明过程：证明：在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} AB = CD（已知）， \\ AE = DF（已知）， \\ BE = CF（已知）， \end{cases}$∴ △ABE ≌ △DCF（SSS）。∴ ∠BAE = ∠CDF（全等三角形的对应角相等）。∴ AE∥DF（同位角相等，两直线平行）。题目 3（拓展题）：（2024・浙江中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上，且 CE=BF，求证：△CDE≌△BDF。解析：D 是 BC 中点→CD=BD（中线定义）；AD 是等腰△ABC 的中线→AD⊥BC（三线合一）→∠CDE=∠BDF=90°；证△CDE≌△BDF（SSS）：CD=BD，CE=BF，DE=DF（可通过 HL 或 SSS，此处用 SSS 需先证 DE=DF，或直接用 HL，因是直角三角形）；（若用 SSS，需补充：在 Rt△CDE 和 Rt△BDF 中，CD=BD，CE=BF→DE=DF（勾股定理），再用 SSS）。证明过程（SSS 方法）：证明：∵ D是BC的中点（已知），∴ CD = BD（中线的定义）。∵ AB = AC，D是BC中点（已知），∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴ ∠CDE = ∠BDF = 90°。在Rt△CDE和Rt△BDF中，由勾股定理得：DE = √(CE² - CD²)，DF = √(BF² - BD²)。∵ CE = BF（已知），CD = BD（已证），∴ DE = DF（等量代换）。在△CDE和△BDF中，$\begin{cases} CD = BD（已证）， \\ CE = BF（已知）， \\ DE = DF（已证）， \end{cases}$∴ △CDE ≌ △BDF（SSS）。幻灯片 9：课堂小结知识梳理SSS 判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（条件结构：边 - 边 - 边，无需角的条件）；定理本质：基于三角形的稳定性 —— 三边确定后，三角形的形状和大小唯一，故全等；应用关键：直接应用：找出三条对应边相等（含公共边等隐含条件）；间接应用：通过辅助线构造全等三角形（如连接公共顶点，将四边形转化为两个三角形）；方法辨析：SSS（仅边）、SAS（边 + 夹边角）、ASA（角 + 夹边），需根据已知条件灵活选择。记忆口诀SSS，边边边，三边对应全等判；无需角，仅靠边，三角形稳形状定；公共边，常隐含，找对对应是关键；三方法，分清楚，看已知来选方案。幻灯片 10：作业布置基础题教材 PXX 练习 1-3 题（巩固 SSS 定理的基础应用）；已知：如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求证：∠A=∠D。提升题已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C（提示：连接 BD，用 SSS 证全等）；已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习回顾思考：到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？推进新课7 cm6 cm5 cm做一做：用右边三根小棒拼成一个三角形：拼出的三角形的大小和形状都是一样的！已知：如图，△ABC.求作：△A′B′C′，使 A′B′=AB ，B′C′=BC， C′A′=CA.(2)分别以点B′，C′为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接A′B′，A′C′.作法：(1)如图，作线段B′C′=BC；则△A'B'C' 就是所求作的三角形．B′C′A′思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？由上可得如下的基本事实：B′C′A′几何语言:如图，在△ABC与△A'B'C'中：∴△ABC≌△A′B′C′ . (SSS)AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，例5 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE，AC∥DF.通过证明角相等来证明线平行证明△ABC≌△DEFAB=DE (已知)AC=DF (已知)BC=EFBE=CFBE+EC=CF+EC例5 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：AB∥DE，AC∥DF.证明：∵BE = CF，(已知)∴BE + EC= CF + EC，(等式的性质)即 BC = EF.在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC≌△DEF (SSS).AB = DE，(已知)AC = DF，(已知)BC = EF，(已证)∴∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F.(全等三角形的对应角相等) ∴AB∥DE，AC∥DF.(同位角相等，两直线平行)练一练1.如图，C 是 BF 的中点，AB = DC，AC = DF.求证：△ABC≌△DCF.在△ABC 和△DCF 中，AB = DC∴△ABC≌△DCF .(SSS)，(已知)，(已证)AC = DFBC = CF证明：∵ C 是 BF 中点，∴ BC = CF.，(已知)2.已知：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF.求证：(1)△ABC≌△DEF； (2)∠A =∠D.∴△ABC≌△DEF (SSS).在△ABC 和△DEF 中，AB = DE，AC = DF，BC = EF，证明：(1)∵ BE = CF，即 BC = EF.∴ BE + EC = CF + CE，(2) ∵△ABC≌△DEF (已证)， ∴∠A =∠D (全等三角形对应角相等).(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？做一做(2)将四根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？(3)在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，看看有什么变化？四边形木架会变形，但三角形的木架能固定住.只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.你能说出它的原理吗？三角形的稳定性SSS你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗?随堂演练【教材P102 练习 T1】1.在下列图中找出全等三角形.解:(1)和(10)，(2)和(6)，(3)和(5)，(4)和(8)，(7)和(9).2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC．点D，E在BC上，且AD=AE，BE= CD.求证：△ABD≌△ACE.【教材P102 练习 T2】证明：∵BE=CD，(已知)∴ BE–DE=CD–DE，(等式的性质)即BD=CE.在△ABD和△ACE中，∴ △ABD≌△ACE.(SSS)AB=AC，(已知)AD=AE，(已知)BD=CE， (已证) 3.七年级时我们学习了如何用尺规作一个角等于已知角，请说出这种作法的依据.【教材P100 练习 T3】已知：∠AOB(如图①).求作:∠DEF，使∠DEF=∠AOB.作法如下：(1)在∠AOB上以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；(2)作射线EG；(3)以点E为圆心，OP长为半径画弧，交EG于点D；(4)以点D为圆心，PQ长为半径画弧，交第(3)步中所画弧于点F；(5)作射线EF，如图②. ∠DEF即为所求作的角.证明如下：连接PQ、DF，如图，由作法可知OP=OQ=EF=ED，PQ=DF.在△OPQ和△EDF中，因为OP=ED，OQ=EF，PQ=DF，所以△OPQ≌△EDF (SSS)，所以∠POQ=∠DEF，即∠AOB=∠DEF.4.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？△ABD≌△ACD (SSS)△ABH≌△ACH (SSS)△BDH≌△CDH (SSS)知识点1 判定三角形全等的条件：边边边  （第1题） 返回（第2题） AA. ①或②B. ②或③C. ①或③D. ①或④ 返回   返回知识点2 “边边边”判定三角形全等的应用 D  返回（第5题） DA. ①②B. ②③C. ③④D. ④ 返回   根据以上作图，一定可以推得的结论是 ( ) A（第6题） 知识点3 三角形的稳定性（第7题）7.［2025泸州期中］2024年9月27日凌晨，合江榕山长江大桥正式开放交通，长江上再增一条过江通道，大桥惠及沿线30余万群众.大桥总长1 513米，其中主桥长1 055米.主桥为三角形具有稳定性高低塔双索面叠合梁斜拉桥，桥面上的斜拉钢缆与桥面呈三角形结构，这样做的数学原理是__________________. 返回课堂小结1.三角形全等的判定方法“边边边”2.三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！