初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法第2课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法第2课时教案，共6页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1. 内容
本节课是在学生学习了分式的加、减、乘、除、乘方运算的基础上，类比数的混合运算来研究分式的混合运算。
2. 内容分析
分式混合运算既是对前面所有分式知识的复习和巩固，也是后续学习分式方程、函数以及更复杂代数运算的关键基础。本节课的核心是让学生体会"类比"的数学思想，通过类比有理数的混合运算顺序，学生能自主探索并掌握分式的混合运算顺序。这不仅是知识的迁移，更是思维方式的提升，培养了学生的代数运算能力和逻辑推理能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：分式的混合运算。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解分式混合运算的顺序；会正确进行分式的混合运算。
（2）体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值。
2. 目标解析
（1）学生需要明确分式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序完全一致。即“先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的”。学生能够独立、准确地完成包含多种运算的分式计算题。
（2）学生需要在学习过程中主动思考：“我们是如何知道分式混合运算顺序的？”从而认识到是将“数”的运算规律“类比”到了“式”的运算中。学生要体会到这种类比不是偶然的，而是数学学习中的一种重要且有效的方法。
三、教学问题诊断分析
问题1：学生对混合运算顺序的规定理解不深，运算顺序混乱。
应对策略：强调“先乘方，再乘除，最后加减，有括号，先算括号内”的运算顺序，并要求学生在做题前先标出运算顺序；设计对比练习，让学生体会括号和分数线对运算顺序的影响。
问题2：计算过程中步骤跳跃，导致出错。
应对策略：要求学生规范书写，养成“步步有据”的习惯；教师板书时，要展示完整的解题过程，给学生做好示范；对于较复杂的题目，可以引导学生分步完成，每完成一步检查一步。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练地进行分式的混合运算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 你能说一说分式的加减运算法则吗？
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
问题2 如何进行分式的混合运算？
类比分数的混合运算学习分式的混合运算．
设计意图：回顾旧知，巩固上一课时的核心知识，为学习分式混合运算做好知识铺垫。类比分数的研究路径，展示分式混合运算在分式知识体系中的位置，让学生体会类比思想的延续性。
（二）合作探究
探究 数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减.如果有括号，先算括号内的.
计算 (2ab)2∙1a−b−ab÷b4.
解 (2ab)2∙1a−b−ab÷b4=4a2b2∙1a−b−ab∙4b=4a2b2(a−b)−4ab2=4a2b2(a−b)−4a(a−b)b2(a−b)=4a2−4a2+4abb2(a−b)=4abb2(a−b)=4aab−b2.
最终结果为最简分式(或整式)．
设计意图：通过引导学生回顾数的混合运算顺序，并将其推广到分式的混合运算，让学生经历“类比—归纳”的思维过程，自主得出分式混合运算的顺序。通过完整呈现一道分式混合运算题的解题过程，让学生直观掌握每一步的操作方法和注意事项，从而提升学生的分式混合运算能力。
（三）典例分析
例1 计算：(x+2x2−2x − x−1x2−4x+4)÷x−4x .
解 (x+2x2−2x − x−1x2−4x+4)÷x−4x=[x+2x(x−2) − x−1(x−2)2]∙xx−4
=[(x+2)(x−2)x(x−2)2 − x2−xx(x−2)2]∙xx−4
= x2−4−x2+xx(x−2)2∙xx−4
= x−4x(x−2)2∙xx−4= 1(x−2)2.
例2 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是a km/h，在后半段路程的平均行走速度是b km/h；李明全程的平均行走速度是a+b2 km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？
解 设从甲地到乙地的路程为s km，张华从甲地到乙地的时间(单位:h)为s2a+s2b=(a+b)s2ab.李明从甲地到乙地的时间(单位:h)为sa+b2=2sa+b.
两人的时间差为(a+b)s2ab−2sa+b=(a+b)2s−4abs2ab(a+b)=(a2−2ab+b2)s2ab(a+b)=(a−b)2s2ab(a+b)，
因为s，a，b均大于0，且a≠b，所以(a−b)2s2ab(a+b) >0，即(a+b)s2ab>2sa+b.
因此，李明先到达乙地．
=(a−b)2s2ab(a+b)，
设计意图：通过例题，巩固分式的混合运算法则的应用。
（四）巩固练习
1．计算：（1）(x2y)2∙y2x−xy2÷2y2x； （2）(m+2+52−m)∙2m−43−m；
（3）x+1x∙(2xx+1)2−(1x−1−1x+1)； （4）1−a+ba−2b÷a2−b2a2−4ab+4b2.
解 （1）(x2y)2∙y2x−xy2÷2y2x
=x24y2∙y2x−xy2∙x2y2
=x8y−x22y4
=xy38y4−4x28y4
=xy3−4x28y4.；
（2）(m+2+52−m)∙2m−43−m
=[(m+2)(m−2)m−2−5m−2]∙2(m−2)3−m
=m2−4−5m−2∙2(m−2)3−m
=(m+3)(m−3)m−2∙2(m−2)3−m
=−2(m+3)
=−2m−6.；
（3）x+1x∙(2xx+1)2−(1x−1−1x+1)
=x+1x∙4x2(x+1)2−(1x−1−1x+1)
=4xx+1−1x−1+1x+1
=4x(x−1)(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)+x−1(x+1)(x−1)
=4x2−4x−x−1+x−1(x+1)(x−1)
=4x2−4x−2x2−1；
（4）1−a+ba−2b÷a2−b2a2−4ab+4b2
=1−a+ba−2b∙a2−4ab+4b2a2−b2
=1−a+ba−2b∙(a−2b)2(a+b)(a−b)
=1−a−2ba−b
=a−ba−b−a−2ba−b
=a−b−a+2ba−b
=ba−b.
2.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解 甲工程队的工作效率是1n，乙工程队的工作效率是1n+3.
1n+1n+3=n+3n(n+3)+nn(n+3)=2n+3n(n+3).
答：两队共同工作一天完成这项工程的2n+3n(n+3).
3.前年、去年、今年某地的森林面积(单位:km2)分别是S1，S2，S3， 今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
解 今年的森林面积增长率是s3−s2s2，去年的森林面积增长率是s2−s1s1.
s3−s2s2−s2−s1s1=s1s3−s1s2s1s2−s22−s1s2s1s2=s1s3−s22s1s2.
答：今年与去年相比，森林面积增长率提高了s1s3−s22s1s2.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·江苏扬州）计算：1−2x÷1x= x−2 ．
2．（2025·黑龙江绥化）计算：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2= −yx+y ．
3．（2025·陕西）化简：1−1x+2÷x+1x2+4x+4．
解 1−1x+2÷x+1x2+4x+4
=x+2x+2−1x+2×x+22x+1
=x+1x+2×x+22x+1
=x+2．
4．（2025·江苏苏州）先化简，再求值：2x−1+1⋅x2−xx2+2x+1，其中x=−2．
解 原式=2+x−1x−1⋅x(x−1)(x+1)2
=x+1x−1·xx−1x+12
=xx+1，
当x=−2时，原式=−2−2+1 =2．
5．（2025·青海）先化简1−aa+2÷2a2−4，再从−2，0，1中选一个合适的数代入求值．
解 1−aa+2÷2a2−4 =a+2a+2−aa+2÷2a2−4 =2a+2÷2a2−4 =2a+2×a2−42 =2a+2×a+2a−22 =a−2
由于a+2≠0,a−2≠0，
∴a≠±2
把a=0代入
原式=0−2=−2；
把a=1代入
原式=1−2=−1．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理知识点之间的联系，让学生直观感知分式单元的学习脉络，构建清晰、完整的知识网络，强化对分式学习的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题18.3 第3，4，7题.
2.探究性作业：习题18.3 第8题.
五、教学反思