第四章　整式的加减 同步学案 (含答案）人教版数学七年级上册

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第四章　整式的加减 4.1　整式 4.1.1　单项式 1.单项式 (1)单项式概念:由数或字母的积组成的代数式叫作单项式,特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式. (2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. (3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 2.注意事项 (1)单项式中数字与字母之间是乘积的关系. (2)π是单项式,表示一个具体的数. (3)当一个单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写. (4)当一个单项式的系数是带分数时,通常写成假分数. (5)找单项式系数时,主要分清楚数字因数与字母因数,其中数字因数就是系数,包括符号. (6)次数是指单项式中所有字母的指数的和,不包括数字的指数. 1.用单项式表示下列各量,并说出它的系数和次数: (1)原产量n t,增产25%之后的产量为　　　　t;  (2)x的平方与y的乘积的312为 　; (3)底面积为S cm2,高为h cm的圆锥的体积为　　　　cm3.  【知识点】　单项式 【答案】　(1)(1+25%)n,系数为1.25,次数为1; (2)72x2y,系数为72,次数为3; (3)13Sh,系数为13,次数为2. 【解析】　考查单项式相关概念.单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 2.单项式18a2bm与37x3y4是次数相同的单项式,求m的值. 【知识点】　单项式 【答案】　解:因为单项式18a2bm与37x3y4是次数相同的单项式,所以2+m=3+4,解得m=5. 【解析】　次数相同的单项式系数可以不同,但字母的指数和相同. 一、选择题 1.下列说法中正确的是 (　　) A.a的系数是0　　　B.1y是一次单项式 C.-5x的系数是5 D.0是单项式 2.下列单项式中,书写不正确的有 (　　) ①312a2b;②2x2y2;③-32x2;④-1a2b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.“比a的32大1的数”用式子表示是 (　　) A.32a+1 B.23a+1 C.52a D.32a-1 4.下列说法中,不正确的是 (　　) A.m与5的积的平方记为5m2 B.a,b的平方差是a2-b2 C.比m除以n的商小5的数是mn-5 D.加上a等于b的数是b-a 5.下列代数式中单项式有 (　　) (1)a;(2)-12;(3)1+x2;(4)x3;(5)xy; (6)2x A.1个 B.2个 C.5个 D.4个 6.下列说法中正确的有 (　　) (1)单项式m既没有系数,也没有次数; (2)单项式5×105t的系数是5; (3)-2 001是单项式; (4)单项式-23x的系数是-23. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7.(1)13r2h的系数是　　　　,次数是　　　　;  (2)2πr的系数是　　　　,次数是　　　　;  (3)abc的系数是　　　　,次数是　　　　;  (4)-m的系数是　　 　,次数是 　.  8.填写下表. 一、填空题 1.请你写出几个与-abc2同字母同次数的单项式:　　　　、　　　　、　　　　.(至少写出3个)  2.若-2axny2是关于x,y的5次单项式,且系数为8,则a=　　　　,n=　　　　.  3.如果-52xym-1为4次单项式,则m=　　　　.  二、解答题 4.已知单项式-2x2y的系数和次数分别是a,b. (1)求ab-ab的值; (2)若|m|+m=0,求|b-m|-|a+m|的值. 4.1.2　多项式 1.多项式:几个单项式的和叫作多项式.其中,每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项. 2.多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数就是这个多项式的次数. 3.多项式的项:一个多项式含有几项,就叫作几项式. 4.整式:单项式和多项式统称整式. 5.注意事项: (1)多项式的次数不是所有次数的和,要注意与单项式次数的区别. (2)多项式的项与项数是不同的概念,“项”是指组成多项式的单项式,包括它前面的符号;“项数”是指项的个数. (3)整式中如果有分母,则分母中不含字母,分母中含字母的代数式不是整式. 1.已知多项式-5xa+1y2-14x3y3+13x4y. (1)求多项式中各项的系数和次数; (2)若多项式的次数是7,求a的值. 【知识点】　多项式 【答案】　解:(1)-5xa+1y2的系数是-5,次数是a+3; -14x3y3的系数是-14,次数是6; 13x4y的系数是13,次数是5. (2)由多项式的次数是7可知,-5xa+1y2的次数是7,即a+3=7,解得a=4. 【解析】　根据多项式中次数与系数的概念,多项式中,次数最高项的次数就是这个多项式的次数.一个多项式含有几项,就叫作几项式. 2.在代数式①ba+b,②a+b3,③-2x3y4,④-2x3+y4,⑤-5a2b2,⑥x4-1中,整式的个数有 (　　) A.4个　　　　　　 B.3个 C.5个 D.1个 【知识点】　整式 【答案】　C 【解析】　单项式和多项式统称整式.本题考查整式的定义.注意代数式中含有分母,分母中含有字母的情况. 一、选择题 1.下列说法中正确的是 (　　) A.整式就是多项式 B.π是单项式 C.x4+2x3是七次二项式 D.3x−15是单项式 2.下列说法中错误的是 (　　) A.3a+7b表示3a与7b的和 B.7x2-5表示x2的7倍与5的差 C.1a-1b表示a与b差的倒数 D.x2-y2表示x,y两数的平方差 3.m,n都是正整数,多项式xm+yn+3m+n的次数是 (　　) A.3m+2n B.m或n C.m+n D.m,n中的较大数 4.在式子12m,0,1-3a,2x,a−bx,a−ba+b中,整式有 (　　) A.3个　　 B.4个 C.5个 D.6个 5.下列代数式中,不是整式的是 (　　) A.ab B.x2+2y-y3 C.-m3 D.nm 6.下列说法中正确的是 (　　) A.-34x2的系数是34 B.25xy2的系数是25 C.3ab2的系数是3a D.32πa2的系数是32 二、填空题 7.多项式x3-xy3+2xy-5的最高次项是　　　　,常数项是　　　　.  8.在代数式中2b+2c,3x,m2n,4x2-2x-7,xy2+3,-2,ab+x5,3xy中单项式有　　　　个,多项式有　　　　个,整式有　　　　个.  一、填空题 1.请用字母x写一个多项式,使其为二次三项式: 　. 2.如果关于x,y的多项式-3y2+(n-5)x+1中不含一次项,那么n=　　　　.  3.写出一个整式,具备以下两个条件: (1)它是一个关于字母的二次三项式; (2)各项系数的和等于10.   4.把下列各式填在相应的大括号里: x-7,12x,4ab,23a,5-3x,y,st,x+32,x2+x2+1,m−1m+1,8a3x,-1. 单项式:{　　　　　　　　　　　　…}.  多项式:{　　　　　　　　　　　　…}.  整式:{　　　　　　　　　　　　…}.  二、解答题 5.已知多项式x-3x2yn+1+x3y-3x4-1是五次五项式,单项式3x2ny4-mz与多项式的次数相同.求m,n的值. 4.2　整式的加法与减法 4.2.1　(第一课时)同类项 1.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 2.注意事项: (1)同类项与系数无关. (2)同类项与字母的排列顺序无关. (3)单独的一项不能说是同类项. 1.判断下列各组是否是同类项: (1)13m2n与-0.3mn2; (2)3xyz与4xy;　(3)2.3与-0.7; (4)12a3b4与-34b4a3 (5)(x+y)5与-5(x+y)5; (6)9an+1bn与11an+1bn. 【知识点】　同类项 【答案】　解:由同类项的概念得,(1)(2)不是同类项,(3)(4)(5)(6)是同类项. 【解析】　(1)中虽然都含有字母m和n,但各自对应的指数不同,所以不是同类项;(2)虽然有两个字母及对应指数相同,但第二个单项式中不含有字母z,所以不是同类项;(3)中的2.3和-0.7,都是单独一个数,所以是同类项;(4)虽然12a3b4与-34b4a3字母的排列顺序不同,但相同字母a的指数相同,b的指数相同,字母也相同,所以是同类项;(5)若将(x+y)看成一个整体,那么(x+y)5与-5(x+y)5是同类项;(6)9an+1bn与11an+1bn中,字母相同都是a和b,并且字母a的指数都是n+1,b的指数都是n,所以是同类项. 2.在下列各组式子中,不是同类项的一组是 (　　) A.2,-5　　　　　 B.-0.5xy2,3x2y C.-3t,200πt D.ab2,-b2a 【知识点】　同类项 【答案】　B 【解析】　由同类项的概念得,A,C,D是同类项.A中两个都是数字,数字是常数项,是同类项;C中π是具体的数字,两项具有相同字母t且t的指数也相同,所以是同类项;D中利用乘法交换律可知,是同类项;B中虽然都含有字母x和y,但各自对应的指数不同,所以不是同类项. 选择题 1.下列选项中,与xy2是同类项的是 (　　) A.-2xy2 B.2x2y C.xy D.x2y2 2.下列各对单项式中,不是同类项的是 (　　) A.-ab与3ab B.-8与0 C.-4xy37与xy3 D.3ab2c与-3ab2 3.与-ab3c是同类项的是 (　　) A.4cab2 B.13acb3 C.-13a2b2c D.-2ab3 4.下列各组中的两项不是同类项的是 (　　) A.23,32 B.ab2,-b2a C.23ab,23ab D.x4,24 5.要使-a2-x与a4是同类项,则x应等于 (　　) A.2 B.-2 C.-12 D.2或-12 6.①-100与1 000是同类项;②3xy与-3xyz是同类项;③2x3与3x2是同类项;④-(a-b)2与2(a-b)2是同类项.以上说法中,正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若-5x2ym与xny是同类项,则m+n的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解答题 1.若5x3ym和-9xn+1y2是同类项,则m和n的值是多少? 2.指出下列多项式中的同类项. (1)3x-2y+1+3y-2x-5; (2)3x2y-2xy2+13xy2-32yx2. 3.若把(s+t),(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)13(s+t)-15(s-t)-34(s+t)+16(s-t); (2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+(s-t). 4.观察下列一串单项式的特点: xy,-2x2y,4x3y,-8x4y,16x5y,… (1)按此规律写出第6个单项式. (2)第n个单项式为多少?它的系数和次数分别是多少? 4.2.1　(第二课时)合并同类项 1.合并同类项的意义 把多项式中的同类项合并成一项可以使运算简便. 2.合并同类项的法则 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变. 3.合并同类项的步骤 (1)准确找出同类项; (2)利用合并同类项的法则把同类项的系数相加,字母和字母的指数均不变; (3)写出合并后的结果. 4.注意事项 (1)合并同类项可以利用交换律、结合律、分配律. (2)如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0. 1.已知2a2mb6与a4b3n的和是关于a,b的单项式,求m,n的值. 【知识点】　合并同类项 【答案】　解:由题意知,两单项式为同类项,则有2m=4,6=3n,解得m=2,n=2. 【解析】　本题考查的实质是合并同类项.2a2mb6与a4b3n的和是关于a,b的单项式,由此可知2a2mb6与a4b3n是同类项. 2.将下列各式合并同类项. (1)6a2b+5ab2-4b2a-7a2b; (2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2; (3)3m2n-mn2-65mn-0.8mn-3n2m; (4)(a+b)2-2(a+b)2-13(b+a)2-0.5(a+b)2. 【知识点】　合并同类项 【答案】　解:(1)原式=(6a2b-7a2b)+(5ab2-4b2a)=-a2b+ab2; (2)原式=(-3x2y+2x2y)+(3xy2-2xy2)=-x2y+xy2; (3)原式=3m2n+(-mn2-3n2m)+(-65mn-0.8mn)=3m2n-4mn2-2mn; (4)原式=(1-2-13-0.5)(a+b)2=-116(a+b)2. 【解析】　根据合并同类项的步骤,利用合并同类项的法则进行同类项合并. 3.先化简,再求值:2x+7+3x-2,其中x=2. 【知识点】　合并同类项 【答案】　解:原式=5x+5,当x=2时,原式=5×2+5=15. 【解析】　根据合并同类项的步骤,利用合并同类项的法则进行同类项合并,将多项式化简,再将值代入. 选择题 1.下列各式中运算正确的是 (　　) A.a2+a2=a4　　　　B.4a-3a=1 C.3a2b-ba2=2a2b D.3a2+a3=a5 2.计算3a2-a2的结果是 (　　) A.4a2 B.3a2 C.2a2 D.3 3.如果单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式,则m,n的值是 (　　) A.m=2,n=2 B.m=-1,n=2 C.m=-2,n=2 D.m=2,n=-1 4.已知a-b=3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)的值为 (　　) A.5 B.1 C.-5 D.-1 5.下列运算中,正确的是 (　　) A.4x+4y=7xy B.4x2+3x=7x2 C.4x3-3x2=x D.-4xy+3yx=-xy 6.如果3a7xby+7与2a2-4yb2x的和是单项式,则x,y的值分别为 (　　) A.-3,2 B.2,-3 C.-2,3 D.3,-2 7.计算-2x2+3x2的结果为 (　　) A.-5x2 B.5x2 C.-x2 D.x2 8.若-2xym和13xny3是同类项,则 (　　) A.m=1,n=1 B.m=1,n=3 C.m=3,n=1 D.m=3,n=3 9.给出下列结论:①单项式-3x2y2的系数为-32;②x与y的差的平方可表示为x2-y2;③化简x+14-2(x-1)的结果是-x+34;④若单项式57ax2ym+1与-75axny4是同类项,则m+n=5.其中正确的结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知式子ax+bx合并后的结果为0,则下列说法中正确的是 (　　) A.a=b=0 B.a=b≠0 C.a-b=0 D.a+b=0 一、填空题 1.把(2a+3b)看作一个整体,合并(2a+3b)2-2(2a+3b)2-5(2a+3b)2的结果是　　　　.  2.若单项式-2xay4z2与23x3ybzc的差仍是一个单项式,则a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.  二、解答题 3.将下列多项式合并同类项. (1)4x2+2x+7+3x-8x2-2; (2)6x2y+2xy-8x2y-4x-5xy+2y2x2-6x2y; (3)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2; (4)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2. 4.先化简,再求值. (1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x=12; (2)求多项式3a+abc-13c2-3a+13c2的值,其中a=-16,b=2,c=-3. 4.2.1　(第三课时)去括号法则 1.去括号法则 一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加. 2.注意事项 去括号是改变式子的形式,不改变式子的值,属于多项式的恒等变形. 1.当a=2时,求代数式(2a4-5+7a-4a3)+(1-a2-2a4+3a3)-(-a2+2a-5-a3)-1的值. 【知识点】　去括号、合并同类项 【答案】　解:(2a4-5+7a-4a3)+(1-a2-2a4+3a3)-(-a2+2a-5-a3)-1 =2a4-5+7a-4a3+1-a2-2a4+3a3+a2-2a+5+a3-1 =5a. 当a=2时,原式=5×2=10. 【解析】　如果一开始就对原式进行计算,需代入9次,并且进行诸如2×24等烦琐运算,所以应将原式化简后再代入求值. 2.代数式(x2+ax-3y+7)-(bx2-2x+9y-1)的值与字母x取值无关.求a,b的值. 【知识点】　去括号、合并同类项 【答案】　解:(x2+ax-3y+7)-(bx2-2x+9y-1) =x2+ax-3y+7-bx2+2x-9y+1 =(1-b)x2+(a+2)x-12y+8. 因为原代数式的值与字母x的取值无关,所以1-b=0,a+2=0,解得a=-2,b=1. 【解析】　因为题目中括号内的两个多项式中都含有x项,而代数式的值与x的取值无关,说明化简以后不含x的项,即含x的项的系数要为0. 选择题 1.下列运算中,去括号错误的是 (　　) A.3x2-(x-2y+5z)=3x2-x+2y-5z B.5a2+(-3a-b)-(2c-d)=5a2-3a-b-2c+d C.3x2-3(x+6)=3x2-3x-6 D.-(x-2y)-(-x2+y2)=x2-y2-x+2y 2.下列等式成立的个数是 (　　) ①-a+b=-(a+b)　②-a+b=-(b+a)　③2-3x=-(3x-2)　④30-x=5(6-x) A.1个　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 3.化简-(a-1)-(-a-2)+3的值是 (　　) A.4 B.6 C.0 D.无法计算 4.若多项式2(x2-3xy-y2)-(x2+2mxy+2y2)中不含xy项,则m等于 (　　) A.3 B.-3 C.4 D.-2 5.当a=5时,(a2-a)-(a2-2a+1)等于 (　　) A.4 B.-4 C.-14 D.1 6.三角形的第一条边长是(a+b),第二条边比第一条边长(a+2),第三条边比第二条边短3,这个三角形的周长为 (　　) A.5a+3b B.5a+3b+1 C.5a-3b+1 D.5a+3b-1 7.下列各式中,去括号正确的是 (　　) A.x2-(2y-x+z)=x2-2y-x-z B.3a-[6a-(4a-1)]=3a-6a-4a+1 C.2a+(-6x+4y-2)=2a-6x+4y-2 D.-(2x2-y)+(z-1)=-2x2-y-z-1 8.今天数学课上,老师讲了多项式的加减,放学后,德吉回到家拿出课堂笔记复习老师课上讲的内容,她突然发现,(x2+3xy)-(2x2+4xy)=-x2【　　】,这道题空格的地方被钢笔墨水弄污了.空格中的内容应是 (　　) A.-7xy B.7xy C.-xy D.xy 一、填空题 1.化简(3x2+4x-1)+(-3x2+9x)的结果为　　　　.  2.若一个多项式加上(-2x-x2)得到(x2-1),则这个多项式是　　　　.  3.若m+n=0,则2m+2n+1=　　　　.  二、解答题 4.先化简,再求值. (1)(x2-y2)-4(2x2-3y2),其中x=-3,y=2; (2)a-2[3a+b-2(a+b)],其中a=-20,b=1000. 5.在化简(2x2-1+3x)-4(x-x2+1)时,甲、乙两同学的解答如下: 甲:(2x2-1+3x)-4(x-x2+1) =2x2-1+3x-4x-4x2-4 =(2-4)x2+(3-4)x+(-1-4) =-2x2-x-5 乙:(2x2-1+3x)-4(x-x2+1) =2x2-1+3x-4x+x2-1 =3x2-x-2 他们的解答正确吗?如不正确,找出错误原因,并写出正确的结果. 4.2.2　整式的加减 1.整式加减的运算法则:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 如有多重括号,既可以由里向外逐层去括号,又可以由外向里逐层去括号,但要注意将内层括号看成整体处理. 2.整式加减的实质:合并同类项. 3.整式加减的步骤:先去括号,再合并同类项. 1.已知A=-x2+5-4x,B=5x-4+2x2,C=2x2+8x-3. (1)化简A+B-C; (2)在(1)的结果中,若x取最大负整数,结果是多少? 【知识点】　整式的加减 【答案】　解:(1)A+B-C =(-x2+5-4x)+(5x-4+2x2)-(2x2+8x-3) =-x2+5-4x+5x-4+2x2-2x2-8x+3 =-x2-7x+4. (2)由题意知x=-1,将x=-1代入-x2-7x+4=-(-1)2-7×(-1)+4=10. 【解析】　先去括号,再合并同类项,其中将A,B和C代入时,要将它们分别看作一个整体,要加括号. 2.计算:-3(x-2y)+4(x-2y). 【知识点】　整式的加减 【答案】　解:原式=-3x+6y+4x-8y =x-2y. 【解析】　利用乘法分配律将系数分配进去,再去括号合并同类项即可得到结果.此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 选择题 1.设M=x2-8x+22,N=-x2-8x-3,那么M与N的大小关系是 (　　) A.M>N　　　　　　B.M=N C.M0, m-2=m+(-2)0,即M>N. 2.C　解析:(ax2-2xy+y2)-(-ax2+bxy+2y2)=ax2-2xy+y2+ax2-bxy-2y2=2ax2+(-2-b)xy-y2与6x2-9xy+cy2相比较,2a=6,-2-b=-9,-1=c,所以a=3,b=7,c=-1. 3.B　解析:当x=-1时,3x+1=3×(-1)+1=-2. 4.A　解析:邻边长(3m+2n)+(m-n)=4m+n,长方形的周长2[(3m+2n)+(4m+n)]=14m+6n. 5.A　解析:(-a2-1)+(3a2-2a+1)=-a2-1+3a2-2a+1=2a2-2a. 6.C　解析:(-2x+y)+3(x-2y)=-2x+y+3x-6y=x-5y. 提高训练 一、选择题 1.C　解析:4x-4-(4x-5)+2y-1+3(y-2)=4x-4-4x+5+2y-1+3y-6=5y-6与x无关,只与y有关. 2.C　解析:3−13x−2y-2−12y+x =-x-6y+y-2x=-3x-5y. 3.A　解析:若a0,所以|a|=-a, |2b|=2b,|a-b|=-(a-b), 则|a|+|2b|-|a-b|=-a+2b+(a-b)=b. 4.B　解析:由题图知,b