人教版（2024）七年级上册（2024）进位制的认识与探究优秀当堂达标检测题

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1．对有理数a、b，定义运算*如下：a*b=a+b−a−b，如：2*5=2+5−2−5=7−−3=7+3=10.试求−3∗4的值.（ ）
A．−8B．−6C．6D．8
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：−3∗4=−3+4−−3−4=1+7=8，
故选：D．
2．定义一种新运算： =A×B+B×C−C÷A．
如： =3×5+5×6−6÷3=43，则 的值为( )
A．18B．22C．28D．32
【答案】C
【分析】依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答．
【详解】解：依题意，
那么 =2×5+5×4−4÷2=10+20−2=28，
故选：C．
【点睛】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：+2※+4=−6；−3※−4=−7；−2※+3=+5；+5※−6=+11；0※+9=−9；−7※0=+7．请你按照王老师定义的运算法则计算−2023※+2024的结果为（ ）
A．−4047B．0C．1D．4047
【答案】D
【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，0和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与0进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可．
【详解】解：−2023※+2024
=+2023+2024
=4047
故选：D．
4．定义“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24．…，则100!99!的值为（ ）
A．10099B．99!C．100D．2!
【答案】C
【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得100!99!=1×2×3×…×98×99×1001×2×3×…×98×99=100，
故选：C．
5．定义一种运算，设x表示不超过x的最大整数，例如2.25=2，−1.5=−2 ，据此规定计算−3.73+1.4的值为( )
A．−3B．−2C．−1D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出−3.73=−4，1.4=1，再根据有理数的加法计算法则求解即可．
【详解】解：由题意得，−3.73=−4，1.4=1，
∴−3.73+1.4=−4+1=−3，
故选A．
6．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
1f1=2,f2=4,f3=6····
2f12=2,f13=3,f14=4····
利用以上规律计算：f2014−f12014等于（ ）
A．2013B．2014C．12013D．12014
【答案】B
【分析】根据题意，分析可得fn=2n，f1n=n，据此计算f2014−f12014即可．
【详解】解：∵1f1=2,f2=4,f3=6，
2f12=2,f13=3,f14=4，
分析可得：fn=2n，f1n=n，
∴f2014−f12014=2×2014−2014=2014，
故选B．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
7．我国宋代数学家杨辉发现了a+bnn=0,1,2,3,⋅⋅⋅展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，a+b10展开式的系数和是（ ）
A．1024B．512C．256D．612
【答案】A
【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）10所有项的系数和为210，即可得出答案．
【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知，
a+b0展开式中所有项的系数和为1，
a+b1展开式中所有项的系数和为2，
a+b2展开式中所有项的系数和为4，
a+b3展开式中所有项的系数和为8，
……
a+bn展开式中所有项的系数和为2n，
a+b10展开式中所有项的系数和为210=1024．
故选：A．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．
8．观察下列各式：−11×2=−1+12，−12×3=−12+13，−13×4=−13+14，−14×5=−14+15，按照上面的规律，计算式子−11×2−12×3−13×4⋯−12020×2021的值为（ ）
A．−20202021B．20202021C．2020D．2021
【答案】B
【分析】根据式子的规律得出−1n×n+1=−1n+1n+1，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解．
【详解】解：∵−11×2=−1+12，−12×3=−12+13，−13×4=−13+14，−14×5=−14+15，……，
∴−1n×n+1=−1n+1n+1，
∴−11×2−12×3−13×4⋯−12020×2021
=−1+12−12+13+……−12020+12021
=−1+12021
=20202021，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键．
9．观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，根据其中的规律，可得71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是（ ）
A．0B．1C．6D．8
【答案】C
【分析】观察可知7n的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，据此分别求出两个式子的个位数字即可得到答案．
【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
∴7n的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，
∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，505×7+9+3+1=10100，10100+7+9=10116，
∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字为0，71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字为6，
∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是0+6=6，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
10．探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2x2、4x3、−8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ）
A．−64x8B．64x8C．−128x8D．128x8
【答案】C
【分析】根据系数与字母的指数规律即可求解．
【详解】解：观察系数可以发现后一项是前一项的−2倍，观察字母的指数可以发现为依次加1，
因此第8个单项式的系数为1×−27=−128，字母部分为x8，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的规律题，解题关键是发现变化规律．
11．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f1=2，f2=4，f3=6…；
（2）f12=2，f13=3，f14=4…．
利用以上规律计算f2023−f12023等于（ ）
A．2022B．2023C．12023D．12022
【答案】B
【分析】由所给算式可知：fn=2n，f1n=n，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：f2023=2×2023=4046，f12023=2023，
∴f2023−f12023=4046−2023=2023，
故选：B．
12．如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（ ）

A．598B．302C．499D．401
【答案】D
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，能发现每个图形中小黑点的个数除去中间一个后，其余的小黑点个数是4的倍数进行解题即可．
【详解】解：由题知：
第1个图形中小黑点的个数为：1+1×4=5，
第2个图形中小黑点的个数为：1+2×4=9，
第3个图形中小黑点的个数为：1+3×4=13，
…
则第100个图形中小黑点的个数为：1+100×4=401，
故选：D．
13．如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式12+122+123+124+…+127+128再加上（ ）后，结果就是1．
A．125B．126C．127D．128
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知12+122+123+124…+12n+12n=1
【详解】解：由图可知，
12+122+123+124…+127+128在加上128后，结果就是1
故选：D
14．小红同学通过对《有理数的乘方》的学习发现：2的乘方结果的个位数有一定的规律“21=2,22=4,23=8,24=16,25=32，⋯⋯”，请你推算250的个位数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查有理数的乘方中的规律探究．根据已知数据，得到24n的个位上的数字为6，24n+1的个位上的数字为2，24n+2的个位上的数字为4，24n+3的个位上的数字为8，再根据250=24×12+2，即可得出结果．
【详解】解：∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，……，
以此类推，24n的个位上的数字为6，24n+1的个位上的数字为2，24n+2的个位上的数字为4，24n+3的个位上的数字为8，
又∵250=24×12+2，
∴250的个位上的数字为4．
故选：B．
15．a为有理数，定义运算符号∇：当a>−2时，∇a=−a；当a1这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳“敏园”值的最小值为1，求a的值．
【答案】(1)2
(2)12；−4，−5，3
(3)9
【分析】（1）根据定义分别计算再判断即可；
（2）根据不同的排列分别求出最佳“敏园”值，比较可得答案；
（3）分两种情况：当−8−a2=1时，当2−8+a3=1时，分别求出a的值．
【详解】（1）∵−5=5，−5−32=4，−5+3−43=2，
∴数列−5，3，−4的最佳“敏园”值为2，
故答案为：2
（2）当数列为−5，−4，3时，−5+42=12，−5−4+33=2，故最佳“敏园”值为12；
当数列为3，−5，−4时，3+52=4，3−5−42=2，故最佳“敏园”值为2；
当数列为3，−4，−5时，3+42=72，3−4−53=2，故最佳“敏园”值为2；
当数列为−4，3，−5时，−4−32=72，−4+3−53=2，故最佳“敏园”值为2；
当数列为−4，−5，3时，−4+52=12，−4−5+33=2，故最佳“敏园”值为12；
这些数列的最佳“敏园”值的最小值为12，取得最佳“敏园”值最小值的数列为−4，−5，3；
故答案为：12；−4，−5，3；
（3）∵8−22=3，
∴当−8−a2=1时，得a=−6（舍）或a=−10（舍），
当a−22=1时，a=4或a=0（舍）
当2−8+a3=1时，得a=9或a=3，
a=3时，3−22=12