2026年中考数学压轴题专项练习-隐形圆之定弦定角作圆（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-隐形圆之定弦定角作圆（学生版+名师详解版），共62页。试卷主要包含了，连结AB、AC，问题提出等内容，欢迎下载使用。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分，求H点的坐标；​​
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标．​​
2．（2025秋•自贡期末）在中，，过点C作CD⊥BC，垂足为C，，AC与BD交于点E．
（1）如图1，，，求DC的长；
（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，，求的长．
3．（2024•雁塔区校级一模）（1）如图1，半径为2的圆O内有一点P，且，弦AB过点P，则弦AB长度的最大值为 ；最小值为 ．
（2）如图2，等腰，，，，将放在平面直角坐标系中，使点A与坐标原点O重合，点B在x轴的正半轴上，在x轴上方是否存在点M，使得，且？若存在，请确定M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，是葛叔叔家的菜地示意图，其中，米，米，现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔想建的鱼塘是四边形ABCD，且满足，你认为葛叔叔的想法能实现？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．
4．（2024秋•海淀区期末）在同一平面直角坐标系中，⊙P上的点如表1，直线l上的点如表2，
表1
表2
解答下列问题：
（1）直线l和的交点A和B的坐标分别为 ；
（2）的半径的长为 ；
（3）若在坐标轴上存在点M，使得为直角三角形，，求点M的坐标．
5．（2025•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形，，，D是AB上一点，且CD平分的面积，则线段CD的长度为 ．
问题探究：（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：（3）如图③，2025年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD，满足米，米，，，主办方打算过BC的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点，通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，请说明理由．
6．（2025秋•沙坪坝区校级期末）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D是线段BC上一点，延长BC至点E，使得CE＝CD，过点E作EG⊥AD于点G，交AB于点F．
（1）如图1，连接CG，若AD平分∠BAC，CG＝2，求BC的长；
（2）如图2，H是平面内一点，连接AH、DH，DA平分∠EDH，∠BAH＝2∠CAD，用等式表示线段BD、BF、DH之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，CD＝2，AC＝3，点M为平面内一点，连接BM、DM，满足∠AMD＝2∠H，当BM最小时，将△BDM沿着BD翻折到同一平面内得△BDM’，过点E作EK⊥BE，交直线DM’于点K，直接写出线段EK的长度．
7．（2025秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 ．
8．（2025•沈阳模拟）菱形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A，B重合），连接PD，点M是射线DP上一点，且∠BMD＝∠BAD，连接AM，作∠MAN＝∠BAD，交PD于点N．
（1）如图1，若∠BAD＝90°，直接写出△AMN的形状；
（2）如图2，若∠BAD＝60°，点P是AB的中点，求AN的长；
（3）若∠BAD＝60°，直接写出△CBN面积的最小值．
9．（2025•雁塔区校级三模）问题提出
（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为 ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；
问题解决
（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
10．（2025秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．
（1）若α＝60°，则CD＝ cm．
（2）若AO⊥BC
①点H与⊙O的位置关系是 ；
A．点H在⊙O外
B．点H在⊙O上
C．点H在⊙O内
②求线段AO的长度．
（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．
11．（2025秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．
（1）求⊙M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．
12．（2025秋•碑林区校级月考）问题发现（1）如图1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，试猜想△ABC面积的最大值为 ；
问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，连接BD，求cs∠ADB的值；
问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C为AB为直径的半圆上一点，O为圆心，请问四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求这个最大值；若不存在，试说明理由．
13．（2025秋•扬州月考）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA'C＜30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°，则线段PB长的最小值为 ．
14．（2025秋•常州期中）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作圆O，交l于点P1，P2；
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1）在图②中，连接P1A，P1B，求证：∠AP1B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°；（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有1个，求AB的值．
（4）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有两个，直接写出m的取值范围： ．
15．（2025秋•丹阳市期末）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ °，∠BPA＝ °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
16．（2024•新城区校级一模）问题提出：
如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 ．
问题探究：
如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
17．（2024•雁塔区模拟）问题深究．
有一块矩形铁皮ABCD，AB＝3，BC＝2．
（1）如图①，在矩形铁皮ABCD上找一个点E使得△AEB为等边三角形，并求出△AEB的面积．
（2）如图②，在矩形铁皮ABCD上找出所有点F使得∠AFB＝45°，并求出△AFB的最大面积．
（3）如图③，工人师傅想用这块矩形铁皮ABCD裁剪出两块全等且面积最大的△AMB和△CND，且∠AMB＝∠CND＝30°，请在图中画出符合条件的M、N，并求出此时△AMB的面积．
18．（2024春•泰兴市校级月考）如图1，点A、D是抛物线y＝﹣x2+1上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a（0＜a＜1）．
（1）若矩形ABCD的周长为3.5，求a的值；
（2）求证：不论点A如何运动，∠EAD＝∠ABE；
（3）若△ABE是等腰三角形，
①求点A的坐标；
②如图2，若将直线BA绕点B按逆时针方向旋转至直线l，设点A、C到直线l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值．
19．（2024秋•泰兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinB＝，点E在边AC上，过点E作EF⊥AB交AB于点F，EH∥AB交BC于点H，边点H作HG⊥AB于点G，设EF＝x．
（1）当x为何值时，△AEF与△CEH全等，并说明理由；
（2）点P为EH上一点，且∠FPG＝90°，求x的取值范围．
20．（2024秋•秦淮区校级月考）如图，函数的图象与坐标轴交于A、B两点，在x轴上有点M（a，0），点N（a﹣，0），P为直线AB上一动点．
（1）∠ABO＝ °；当△MPN为等边三角形时，a的值是 ；
（2）当△MPN为直角三角形时，在图②中用尺规画出所有符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（3）当∠MPN＝30°时，则a的取值范围为 ．
1．（2025•济阳区二模）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．
​（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；​​
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．​​
【分析】（1）将A、B两点从标代入易求解析式；
（2）OE是∠COH的平分线，用角平分线定理，可求得H．
（3）满足∠DMB＝45°，可构造圆，利用圆周角定理求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：
；解得：．
∴解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）当x＝0时，y＝4得C（0，4）．
设D（m，n），由BD＝3DC可得：
；解得：，即D（1，3）．
∴直线OD解析式为：y＝3x．
记OH与BC交点G（t，﹣t+4），作GH∥OD交y轴与H．
∴∠COD＝∠OHG，∠DOG＝∠OGH；
∵OE平分∠COH，即∠COD＝∠DOG；
∴∠OHG＝∠OGH；
∴OH＝OG．
∵GH∥OD，
∴．
∴．
∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝．
∴G（，）．
∴OH的解析式为：．
H为抛物线与OH的交点：
；解得： （舍），；
即：H（3，4）．
（3）E是抛物线与射线OD的交点：
；解得：（舍）；；即：E（2，6）．
设M（2，m），以BD为对角线做正方形BPDQ，则P（4，3），Q（1，0）如图2．
当M在⊙P上时，∠DMB＝∠DPB＝45°；
即：MP＝＝3；解得：m1＝3﹣（舍）；m2＝3+；
当M在⊙Q上时，∠DMB＝∠DQB＝45°；
即：MQ＝＝3；解得：m3＝（舍）；m4＝﹣；
∴M1（2，3+）；M2（2，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，借助几何知识灵活应用角平分线，才能顺利解题．
2．（2025秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．
（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；
（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．
【分析】（1）先根据有一个角是60度的等腰三角形式等边三角形，由此可推出∠BAC的度数，再根据直角三角形推出30度角，即可得到线段的关系求解；
（2）根据Rt△BDC和∠BDC＝∠BAC，可得到A、B、C、D四点共圆，利用圆周角性质得到角度相等，结合题目条件证明三角形全等得出相等的线段，最后利用等量代换即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°且AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵CD⊥BC，
∴Rt△BDC中，∠DBC＝30°，
∴DC＝BD＝3．
（2）作△BCD的外接圆⊙O，如图所示：
∵CD⊥BC，
∴BD为⊙O直径，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴A点在⊙O上，
∴∠BAD＝90°，
∵AM⊥BD，AN⊥CD，
∠AMB＝∠ACN＝90°，
∴在△ABM和△ACN中，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM＝AN，BM＝CN，
∵在Rt△AMD和Rt△AND中，
∴Rt△AMD≌Rt△AND，
∴DN＝DM，
∴DB+DC＝DM+MB+DC＝DN+DC+MB＝CN+MB＝2CN＝8．
【点评】本题第一问主要考查等边三角形的判定再结合30角的直角三角形的性质，第二问主要考查隐形圆的问题，利用题目条件得到隐形圆，推出相等的角度用作全等的判定，最后利用线段相等进行等量代换．
3．（2024•雁塔区校级一模）（1）如图1，半径为2的圆O内有一点P，且OP＝1，弦AB过点P，则弦AB长度的最大值为 4 ；最小值为 ．
（2）如图2，等腰△ABC，AB＝12，AC＝BC，∠ACB＝120°，将△ABC放在平面直角坐标系中，使点A与坐标原点O重合，点B在x轴的正半轴上，在x轴上方是否存在点M，使得∠AMB＝60°，且S△AMB＝S△ABC？若存在，请确定M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中∠ABC＝90°，AB＝80米，BC＝60米，现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔想建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°，你认为葛叔叔的想法能实现？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）当AB为直径时，弦最长；当OP⊥AB时，AB最短，用垂径定理求解即可；
（2）以C为圆心，OC长为半径作⊙C，过C作x轴的平行线交⊙C于M1，M2，点M1，M2即为所求的点；
（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．
【解答】解：（1）如图①，当OP⊥AB时，AB最短，连接OB，
∵OP＝1，OB＝2，
∴BP＝，
∴AB＝2BP＝，
当AB为直径时，弦最长，为4，
故答案为：4，
（2）如图②，作CH⊥AB于H，
∵AB＝12，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠COB＝30°，OH＝BH＝，
∴OH＝6，OC＝12，
以C为圆心，OC长为半径作⊙C，
过C作x轴的平行线交⊙C于M1，M2，
则∠OMB＝∠OCB＝60°，且S△AMB＝S△ABC，
∴点M1，M2符合题意，
∵点C的坐标为（，6），
∴存在点M，坐标为M1（，6），M2（，6）
（3）如图③，
∵∠ABC＝90°，AB＝80米，BC＝60米，
∴AC＝米，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积和周长取得最大值，
连接DO并延长交AC于H，则DH⊥AC，AH＝CH，
∴DA＝DC，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝CD＝100，
∵AH＝CH＝50，
∴DH＝，
∴这个四边形鱼塘面积最大值为（平方米）；
这个四边形鱼塘周长的最大值为100+100+60+80＝340（米）．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，构造辅助圆是解决本题的关键．
4．（2006秋•海淀区期末）在同一平面直角坐标系中，⊙P上的点（x，y）如表1，直线l上的点（x，y）如表2，
表1
表2
解答下列问题：
（1）直线l和⊙P的交点A和B的坐标分别为 （0，2），（﹣3，﹣1） ；
（2）⊙P的半径的长为 ；
（3）若在坐标轴上存在点M，使得△ABM为直角三角形，∠AMB＝90°，求点M的坐标．
【分析】解答本题可以根据表中所给的坐标求出圆的方程．
（1）中，由表直接可得出交点的坐标．
（2）中根据圆的参数方程由坐标求出圆的方程可得圆的半径．
（3）中在坐标轴上存在点M，使∠AMB＝90，所以可设M点坐标为（X，0）和（0，Y），再根据勾股定理可求出M的坐标，但求出的点中要排除直线与圆的交点（0，2）．
【解答】解：（1）由表1和表2的坐标（x，y）可看出圆P和直线都经过点（﹣3，﹣1）和（0，2），
∴直线和圆的交点A和B的坐标分别为（0，2）和（﹣3，﹣1）．
（2）根据圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝R2，
以及圆P经过的坐标（0，2），（﹣2，2），（﹣3，﹣1），
可求的圆的方程为（x+1）2+y2＝5，
∴圆的半径长为．
（3）∵在坐标轴上存在点M，使△ABM为直角三角形，
∴设M的坐标为（X，0）或（0，Y）；
①当M点坐标为（X，0）时，
线段AB＝＝，
线段BM＝，
线段AM＝；
由勾股定理可得
X＝，
∴M点坐标为（，0），（，0）
②当M点坐标为（0，Y）时，
线段BM＝，
线段AM＝；
由勾股定理可得AM2+BM2＝AB2，
Y＝2或﹣1，
但由于直线与圆交于（0，2），所以应排除坐标（0，2），
所以M点坐标为（0，﹣1），
所以M点的坐标为（，0），（，0），（0，﹣1）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是要正确写出圆的方程．在最后一问中要抓住M在坐标轴上这个条件，排除不符合题意的点．
5．（2025•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，AC＝BC＝8，D是AB上一点，且CD平分△ABC的面积，则线段CD的长度为 4 ．
问题探究：（2）如图②，△ABC中，∠C＝120°，AB＝10，试分析和判断△ABC的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：（3）如图③，2025年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD，满足BC＝600米，CD＝300米，∠C＝60°，∠A＝60°，主办方打算过BC的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点，通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知，CD是△ABC的中线，利用等腰三角形的性质推出CD⊥AB，利用三角函数求解即可解决问题；
（2）当△ABC的AB边上的高CD最大时，三角形ABC的面积最大，即CD过圆心O，连接AO．求出CD的最大值即可得出答案；
（3）连接DM，BD．首先证明∠BDC＝90°，求出BD，推出△BDC的面积是定值，要使得四边形ABCD的面积最大，只要△ABD的面积最大即可，因为BD为定值，∠A为定角＝60°，推出当△ABD是等边三角形时，求出四边形ABCD的面积最大值，然后再求出∠MDE＝90°，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）如图①，
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD＝DB，
∵AC＝BC＝8，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴CD＝ACcs∠ACD＝8cs60°＝4，
∴CD的长度为4，
故答案为：4；
（2）存在．如图②，
∵AB＝10，∠ACB＝120°都是定值，
∴点C在上，并且当点C在的中点时，△ABC的面积最大；
连接OC交AB于点D，则CD⊥AB，AD＝BD＝AB＝5，
∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴，＝，
∴＝，
答：△ABC的面积最大值是；
（3）存在．如图③，连接DM，BD，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BC＝300，
∴CM＝CD，
又∵∠C＝60°，
∴△CMD是等边三角形，
∴∠MDC＝∠CMD＝60°，CM＝DM＝BM，
∴∠CBD＝∠MDB＝30°，
∴∠BDC＝90°，
∴BD＝CD•tan60°＝米，
在△ABD中，米，∠A＝60°为定值，
由（2）可知当AB＝AD时，即△ABD为等边三角形时△ABD的面积最大，
此时也为四边形ABCD的最大值（△BDC的面积不变），
Smax＝S△BDC+S△BDA＝＝；
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADM＝∠ADB+∠BDM＝90°，
由，得：
＝，
解得：DE＝225，
∴AE＝AD﹣DE＝＝（米），
答：点A距出口的距离AE的长为米．
【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．
6．（2025秋•沙坪坝区校级期末）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D是线段BC上一点，延长BC至点E，使得CE＝CD，过点E作EG⊥AD于点G，交AB于点F．
（1）如图1，连接CG，若AD平分∠BAC，CG＝2，求BC的长；
（2）如图2，H是平面内一点，连接AH、DH，DA平分∠EDH，∠BAH＝2∠CAD，用等式表示线段BD、BF、DH之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，CD＝2，AC＝3，点M为平面内一点，连接BM、DM，满足∠AMD＝2∠H，当BM最小时，将△BDM沿着BD翻折到同一平面内得△BDM’，过点E作EK⊥BE，交直线DM’于点K，直接写出线段EK的长度．
【分析】（1）如图1，过点D作DQ⊥AB于Q，利用角平分线性质和等腰直角三角形性质即可求得答案；
（2）如图2，在线段HD上取点N，连接AN，使∠HAN＝∠BAD，过点F作FT⊥BC于T，连接AE，利用SAS可证得△ACE≌△ACD，再证明△CAD≌△TEF（AAS），△AHN≌△ABD（AAS），△ADN≌△ADE（SAS），即可得出BD+BF＝DH；
（3）如图3，以AD为直径作⊙O，当BM最小时，点M为线段OB与⊙O的交点，如图4，连接OB交⊙O于M，作点M关于BD的对称点M′，连接MM′交BD于L，过点O作OP⊥BC于P，运用勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DQ⊥AB于Q，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DQ⊥AB，
∴DQ＝DC＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∵∠BQD＝90，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴BD＝DQ＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+2；
（2）BD+BF＝DH；理由如下：
如图2，过点F作FT⊥BC于T，连接AE，
∵CE＝CD，∠ACE＝∠ACB＝90°，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACD（SAS），
∴∠AEC＝∠ADC，∠CAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴∠DAE＝2∠CAD，
∵∠BAH＝2∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAH，
∴∠DAE+∠DAB＝∠DAB+∠BAH，
即∠EAB＝∠DAH，
∵DA平分∠EDH，
∴∠ADH＝∠ADE＝∠AEB，
∴△AEB≌△ADH（ASA），
∴EB＝DH，
即BD+DE＝DH，
∵EG⊥AD，
∴∠FET+∠ADC＝90°，
∵∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠FET＝∠CAD，
∵∠AFE＝∠FET+∠B＝∠CAD+45°，∠EAF＝∠CAE+∠BAC＝∠CAD+45°，
∴∠AFE＝∠EAF，
∴AE＝EF＝AD，
在△CAD和△TEF中，
，
∴△CAD≌△TEF（AAS），
∴FT＝CD＝DE，∠ADE＝∠AED，
∵△BET是等腰直角三角形，
∴BF＝FT＝DE，
∴DE＝BF，
∴BD+BF＝DH；
（3）由（2）知∠H＝45°，
如图3，以AD为直径作⊙O，
∵∠AMD＝2∠H，
∴∠AMD＝90°，
∴点M在⊙O上，
∴当BM最小时，点M为线段OB与⊙O的交点，
如图4，连接OB交⊙O于M，作点M关于BD的对称点M′，连接MM′交BD于L，过点O作OP⊥BC于P，
则OP＝AC＝，PD＝CD＝1，BD＝BC﹣CD＝1，
∴BP＝2，
在Rt△ACD中，AD＝＝，
∴OM＝，
在Rt△BOP中，OB＝＝＝，
∴BM＝OB﹣OM＝﹣＝，
∵M与M′关于BD对称，
∴MM′⊥BD，ML＝M′L，
∵∠BLM＝∠BPO＝90°，∠MBL＝∠OBP，
∴△BML∽△BOP，
∴＝＝，即＝＝，
∴ML＝，BL＝，
∴M′L＝，DL＝BD﹣BL＝1﹣＝，
∵EK⊥BE，
∴∠DEK＝∠DLM′＝90°，
∵∠EDK＝∠M′DL，
∴△DEK∽△DLM′，
∴＝，
∵DE＝2CD＝4，
∴＝，
∴EK＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，与圆有关的最值问题，添加辅助线构造辅助圆是解题关键．
7．（2025秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 ．
【分析】（1）根据圆周角定理可知∠A＝45°；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，由△BOC是等腰直角三角形，求出OC的长，可知直径AC的长；
【问题拓展】画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，首先利用三角函数求出OB＝，可知AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，再根据三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值为；
【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，
则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，
∴MN最大值为，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，明确直径是圆中最大的弦是解题的关键．
8．（2025•沈阳模拟）菱形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A，B重合），连接PD，点M是射线DP上一点，且∠BMD＝∠BAD，连接AM，作∠MAN＝∠BAD，交PD于点N．
（1）如图1，若∠BAD＝90°，直接写出△AMN的形状；
（2）如图2，若∠BAD＝60°，点P是AB的中点，求AN的长；
（3）若∠BAD＝60°，直接写出△CBN面积的最小值．
【分析】（1）利用ASA证明△ADN≌△ABM，得AM＝AN，可得出结论；
（2）连接BN，由（1）知，△AMN是等边三角形，可证AN∥BM，再利用平行加中点可证明△ANP≌△BMP（AAS），得AN＝BM，则四边形AMBN是菱形，则AP⊥MN，从而得出答案；
（3）由（2）同理知∠AND＝∠AMB＝120°，则点N在以O为圆心，OA为半径的圆上，连接OB，交AD于G．交⊙O于N，此时△BCN的面积最小，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BN的长．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠MAN，
∴∠MAB＝∠NAD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠BMD＝∠BAD，∠MPB＝∠APD，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴△ADN≌△ABM（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰直角三角形；
（2）连接BN，
由（1）△ADN≌△ABM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMB＝120°，
∴∠AMB+∠MAN＝180°，
∴AN∥BM，
∴∠NAB＝∠ABM，∠ANM＝∠BMN，
∵点P为AB的中点，
∴AP＝BP，
∴△ANP≌△BMP（AAS），
∴AN＝BM，
∴四边形AMBN是平行四边形，
∵AM＝AN，
∴四边形AMBN是菱形，
∴AP⊥MN，
∵AP＝AB＝2，
∴AN＝；
（3）以AD为底边作等腰三角形AOD，使∠AOD＝120°，
由（2）同理知∠AND＝∠AMB＝120°，
∴点N在以O为圆心，OA为半径的圆上，
连接OB，交AD于G．交⊙O于N，此时△BCN的面积最小，
则OG⊥AD，
∴BN⊥BC，
∵AG＝DG＝2，
∴OG＝，BG＝2，
∴NB＝2+﹣＝，
∴△BCN面积的最小值为×4×＝．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用定弦定角构造辅助圆是解题的关键．
9．（2025•雁塔区校级三模）问题提出
（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为 ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；
问题解决
（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD＝1，
∴AD＝＝，
∴△ABC的面积为×2×＝，
故答案为：；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC＝120°，BC＝6，
∴点A在上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，
∴OH＝3，OB＝6，
∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，
∴△ABC的最大面积为×6×3＝9；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB＝20米，
∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，
∵BC＝24米，
∴OG＝14米，
∵10＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，
∴EM1＝14米，
∴OE＝＝2米，
∴CM1＝BF＝8米，
同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．
10．（2025秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．
（1）若α＝60°，则CD＝ 5 cm．
（2）若AO⊥BC
①点H与⊙O的位置关系是 B ；
A．点H在⊙O外
B．点H在⊙O上
C．点H在⊙O内
②求线段AO的长度．
（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．
【分析】（1）由旋转的性质知BC＝BA＝10cm，则CD＝BC＝5cm；
（2）①若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，则点P与H重合，可得答案；
②延长AO交BD于E，利用∠A＝∠CBD＝90°﹣α，用α的代数式表示∠AOB和∠ABO，从而解决问题；
（3）在直线BD上取BG＝BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，利用SAS证明△BOG≌△BOC，得∠BOC＝∠BOG，而∠BOC＝135°，从而确定点O的运动路径．
【解答】解：（1）∵线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，
∴BC＝BA＝10cm，
当α＝60°时，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝5cm，
故答案为：5；
（2）①当AO⊥BC时，
则OH⊥BC，
若⊙O与BC相切于P，
则OP⊥BC，
∴点P与H重合，
∴点H在⊙O上，
故选：B；
②延长AO交BD于E，
∵AO⊥BC，
∴∠A＝∠CBD＝90°﹣α，
∵⊙O是△BCD的内切圆，
∴BO平分∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD＝45°﹣α，
∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，
∵∠ABO＝∠ABC+∠CBO＝α+45°﹣α＝45°+α，
∴∠AOB＝∠ABO，
∴AO＝AB＝10cm；
（3）如图，在直线BD上取BG＝BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，
∵∠OBG＝∠OBC，OB＝OB，
∴△BOG≌△BOC（SAS），
∴∠BOC＝∠BOG，
∵∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠BCO+∠OBC＝45°，
∴∠BOC＝135°，
∴∠BOG＝135°，
∴点O在以F为圆心、BF为半径的圆上运动，
∵BG＝BC＝10cm，
∴BF＝5cm，
∴当线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°时，O运动的路径长为＝（cm）．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了三角形内切圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质等知识，构造全等三角形得出点O的运动路径是解题的关键，属于中考压轴题．
11．（2025秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．
（1）求⊙M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．
【分析】（1）连接CM，由CD＝2OM，CD⊥MB，得CM＝＝2OM，得∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，从而证明结论；
（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，由BP平分∠ABC，得∠ABP＝30°，则AP＝，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，得PF＝，BF＝＝9，从而得出点P的坐标；
（3）由∠PNE＝∠BNM＝60°，BM＝6，可知点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，再利用勾股定理分别求出AG和GM的长即可．
【解答】解：（1）如图，连接CM，
∵CD＝2OM，
∴OM，
∵CD⊥MB，
∴CM＝＝2OM，
∴∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，
∵MC＝MB，
∴△CMB为等边三角形，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴MB＝2OB＝6，
∴⊙M的半径长为6；
（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，
∵AB为⊙M的直径，AB＝2MB＝12，
∴∠APB＝90°，
∴△APB为直角三角形，
由（1）得△CMB是等边三角形，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝，
∴BP＝＝6，
在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，
∴PF＝，
∴BF＝＝9，
∴OF＝BF﹣OB＝6，
∴OF＝6，PF＝3，
∴P（﹣6，3）；
（3）∵CD垂直平分MB，
∴在OC上取点G，使∠GMB＝30°，连接GM，GB，
∵ME⊥PC，
∴∠PEM＝90°，
∵∠CPB＝∠CMB＝30°，
∴∠PNE＝∠BNM＝60°，
∴BM＝6，
∴点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，
∵BM＝6，∠GMB＝30°，
∴OG＝，GM＝2，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，AG＝，
∴AN的最小值为2﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，运用定弦对定角确定点N的运动路径是解题的关键．
12．（2025秋•碑林区校级月考）问题发现（1）如图1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，试猜想△ABC面积的最大值为 ；
问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，连接BD，求cs∠ADB的值；
问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C为AB为直径的半圆上一点，O为圆心，请问四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求这个最大值；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）作△ABC的外接圆，当C处于点C'时，△ABC面积最大；
（2）连接AC，过点C作CE⊥AB于E，由△ABC为等边三角形，设AB＝2m，则AE＝m，则CE＝＝m，再证明四边形AECD为矩形，得DA＝CE＝m，利用勾股定理求出BD＝＝＝m，从而得出答案；
（3）连接AC，过点D作DH⊥AC于H，过点C作CE⊥AB于E，由△CDA∽△DHA，△ADC∽△DCH，由DH＝2AH，CH＝2DH，得AH＝，DH＝，设BE＝m，AE＝10﹣m，利用m的代数式表示△ACD和△ABC的面积，根据Δ≥0，从而得出S的范围．
【解答】解：（1）作△ABC的外接圆，
∵AB＝2，∠C＝60°，
∴当C处于点C'时，△ABC面积最大，
∵C'A＝C'B，∠C'＝60°，
∴△ABC'为等边三角形，边长为2，
过点C'作C'D⊥AB于D，
则AD＝1，
∴C'D＝＝，
∴S＝，
故答案为：；
（2）如图，连接AC，过点C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠A＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
设AB＝2m，则AE＝m，
∴CE＝＝m，
∵∠ADC＝∠DAB＝∠CEA＝90°，
∴四边形AECD为矩形，
∴DA＝CE＝m，
在Rt△DAB中，
BD＝＝＝m，
∴cs＝；
（3）存在，
如图，连接AC，过点D作DH⊥AC于H，过点C作CE⊥AB于E，
∵∠DAC＝∠HAD，∠CDA＝∠DHA＝90°，∠DCA＝∠HCD，
∴△CDA∽△DHA，△ADC∽△DCH，
∵DC＝2AD，
∴DH＝2AH，CH＝2DH，
∴AH＝，DH＝，
∴S＝，
设BE＝m，AE＝10﹣m，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴BC2＝AB•BE，
即AC2+AB•BE＝AB2，
∴AC2+AB•（AB﹣AE）＝AB2，
∴AC2＝AB•AE＝10×（10﹣m），
∵∠B+∠ECB＝90°，∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴△CEB∽△AEC，
∴，
∴CE2＝AE•EB＝m（10﹣m），
∴CE＝，
∴S＝5，
S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC，
S＝，
∴S＝2（10﹣m）+5，
两边平方整理得：29m2﹣（330﹣4S）m+S2﹣40S+400＝0，
Δ＝（330﹣4S）2﹣4×29×（S2﹣40S+400）≥0，
整理得：S2﹣20S﹣625≤0，
即（S﹣10）2≤725，
∴﹣5+10+10，
∴S的最大值为5+10．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，一元二次方程根的情况等知识，运用代数方法解决几何问题是解题的关键．
13．（2025秋•扬州月考）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 4 ；
②△ABC面积的最大值为 8+4 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA'C＜30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°，则线段PB长的最小值为 ﹣2 ．
【分析】（1）①设圆心为O，连接OB，OC，可得△OBC是等边三角形，则OB＝BC＝4；
②当AO⊥BC时，S△ABC最大，求出AD的长即可；
（2）设A'B交⊙O于E，由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，由∠BEC是△A'EC的外角，则∠BEC＞∠A'；
（3）作等腰△ODC，使∠COD＝120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交⊙O于P，此时BP最小，过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，利用勾股定理求出BO的长即可．
【解答】解：（1）①设圆心为O，连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝4，
故答案为：4；
②当AO⊥BC时，S△ABC最大，
此时OD＝2，
∴AD＝4+2，
∴S△ABC＝×BC×AD＝（4+2）×4＝8+4，
故答案为：8+4；
（2）设A'B交⊙O于E，
由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，
∵∠BEC是△A'EC的外角，
∴∠BEC＞∠A'，
∴∠A'＜30°；
（3）如图，作等腰△ODC，使∠COD＝120°，以O为圆心，OD为半径作圆，则点P在优弧CD上，连接OB交⊙O于P，此时BP最小，
过O作OG⊥CD于G，OH⊥BC于H，
∵CD＝AB＝2，
∴CG＝CD＝，
在Rt△OCG中，∠OCG＝30°，
∴OG＝1，OC＝2，
∴BH＝BC﹣CH＝5﹣1＝4，
∴BO＝＝＝，
∴BP的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，运用定弦对定角构造辅助圆是解题的关键．
14．（2025秋•常州期中）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；
第二步：连接OA，OB；
第三步：以O为圆心，OA长为半径作圆O，交l于点P1，P2；
所以图中P1，P2即为所求的点．
（1）在图②中，连接P1A，P1B，求证：∠AP1B＝30°；
【方法迁移】
（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°；（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】
（3）已知矩形ABCD，BC＝2，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有1个，求AB的值．
（4）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为边AD上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰好有两个，直接写出m的取值范围： 2≤m＜1+ ．
【分析】（1）由圆周角定理可直接证明∠AP1B＝∠AOB＝30°；
（2）通过尺规作图，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；
（3）先画出图形，当⊙O与AD相切且圆心角∠BOC＝90°时，满足∠BPC＝45°的点P恰有1个，此时可构造直角三角形，通过勾股定理，即可求出m的值；
（4）分情况讨论，①如图4﹣1，当四边形ABCD是正方形时，连接AC，BD，交于点O，则点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，所以当AB＝BC＝2时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个；②如图4﹣2，作等腰直角三角形BOC，再以点O为圆心，OB的长为半径画圆，则当⊙O与AD边相切时，设切点为P，则∠BPC＝∠BOC＝45°，延长PO交BC于点H，则PH⊥BC，四边形PABH为矩形，通过勾股定理等即可求出AB的长度，即可写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
由图1知，∠AP1B＝∠AOB＝30°；
（2）解：如图2，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，
②作BC的中垂线，连接EC，交于O，
③以O为圆心，OE为半径作圆，
则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；
（3）解：①如图1，在矩形内作∠BOC＝90°，OB＝OC，作直线OM⊥BC于M，交AD于P，
则PM⊥AD，∠BPC＝∠BOC＝45°，
当⊙O与AD相切于点P时，满足∠BPC＝45°的点P恰有1个，
∵BC＝2，AB＝m．
∴OB＝OC＝，
∵OM＝BO＝1，OP＝OB＝，
∴m＝OP+OM＝+1；
（4）解：①如图4﹣1，当四边形ABCD是正方形时，
连接AC，BD，交于点O，则点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，
∴∠BAC＝∠BDC＝∠BOC＝45°，
∴当AB＝BC＝2时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，即点A和点D；
②如图4﹣2，作等腰直角三角形BOC，再以点O为圆心，OB的长为半径画圆，则当⊙O与AD边相切时，
设切点为P，则∠BPC＝∠BOC＝45°，
延长PO交BC于点H，则PH⊥BC，四边形PABH为矩形，OH＝BC＝BH＝1，
∴OB＝OH＝，
∴PH＝PO+OH＝OB+OH＝+1，
∴AB＝PH＝+1；
综上所述，m的取值范围为2≤m＜1+，
故答案为：2≤m＜1+．
【点评】此题是圆的综合题，本题考查了尺规作图，圆周角定理，直线与圆的关系，勾股定理等，解题关键是熟练掌握圆的有关性质及尺规作图的方法，用圆周角定理来处理角度问题．
15．（2025秋•丹阳市期末）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 不变 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ 75 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 3 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ 135 °，∠BPA＝ 135 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ﹣ ．
【分析】【发现】根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB；
【研究】先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结论；
【应用】（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结论；
（2）①先确定出∠BFE＝90°，再判断出∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABE，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，
∵∠AOB＝150°，
∴∠ACB＝∠AOB＝75°，
故答案为：不变，75°；
【研究】补全图形如图1所示，
【应用】（1）如图2，
记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝，
在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，
根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，
∴r＝1（舍去负数），
∴OA＝2，OH＝1，
∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，
∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∵点P是△BEF的内心，
∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，
∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，
∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；
在△BPE和△BPA中，
，
∴△BPE≌△BPA（SAS）．
∴∠BPA＝∠BPE＝135°，
故答案为：135°，135°；
②如图3，
作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，
则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，
∴∠AQB＝180°﹣∠BPA＝45°，
∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，
∴OA＝OB＝AB＝，
连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，
则四边形OMBN是正方形，
∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，
∴CN＝BC+BN＝3，
在Rt△ONC中，OC＝＝，
∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是解本题的关键．
16．（2024•新城区校级一模）问题提出：
如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是 5 ．
问题探究：
如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，得出OB＝sin45°×BC代入计算即可；
（2）延长EB，使BG＝DF，连接AG，先证△ABG≌△ADF（SAS），得AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，再证△GAE≌△FAE（SAS），从而有EF＝GE＝DF+BE；
（3）类比（2）两次全等，可得△AEF中EF边上的高为4，再结合（1）中辅助圆求出EF的最小值解决问题．
【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝10，
∴OB＝sin45°×BC＝，
故答案为：5．
（2）EF＝BE+DF，理由如下：
如图2，延长EB，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝GE＝DF+BE，
（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BG＝DF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABG＝135°，
∴∠ABG＝∠ADF，
又∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠GAE＝60°，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，
∴EF边上的高AK＝4，
画△AEF的外接圆⊙O，作OM⊥EF于M，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOM＝60°，
设OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，
∵OM+OA≥AK，
∴x+2x≥4，
∴x≥，
∴EF的最小值为2×，
∴S△AEF的最小值为．
【点评】本题是几何类阅读理解题，考查了三角形的外接圆、三角形全等的判定与性质、三角形面积的最值问题等知识，解决此类问题注意“前为后用，后化为前”的处理策略．
17．（2024•雁塔区模拟）问题深究．
有一块矩形铁皮ABCD，AB＝3，BC＝2．
（1）如图①，在矩形铁皮ABCD上找一个点E使得△AEB为等边三角形，并求出△AEB的面积．
（2）如图②，在矩形铁皮ABCD上找出所有点F使得∠AFB＝45°，并求出△AFB的最大面积．
（3）如图③，工人师傅想用这块矩形铁皮ABCD裁剪出两块全等且面积最大的△AMB和△CND，且∠AMB＝∠CND＝30°，请在图中画出符合条件的M、N，并求出此时△AMB的面积．
【分析】（1）如图①中，分别以A、B为圆心AB长为半径画弧，两弧交于点E，△ABE即为等边三角形；
（2）如图②中，在BC上取一点H，使得AB＝BH，作△ABH的外接圆交AD于M，则当点F在上时，∠AFB＝∠AHB＝45°，当F是的中点时，△ABF的面积最大；
（3）如图③中，在BC上取一点E，使得∠AEB＝30°，在AD上取一点F，使得∠CFD＝30°，连接AC，分别作△ABE，△DFC的外接圆交AC于M、N．此时△ABM≌△CDN，且面积最大；
【解答】解：（1）如图①中，分别以A、B为圆心AB长为半径画弧，两弧交于点E，△ABE即为等边三角形．
S△ABE＝•32＝．
（2）如图②中，在BC上取一点H，使得AB＝BH，作△ABH的外接圆交AD于M，则当点F在上时，∠AFB＝∠AHB＝45°，
当F是的中点时，△ABF的面积最大，最大面积＝•3•（+）＝．
（3）如图③中，在BC上取一点E，使得∠AEB＝30°，在AD上取一点F，使得∠CFD＝30°，连接AC，
分别作△ABE，△DFC的外接圆交AC于M、N．此时△ABM≌△CDN，且面积最大，连接EM．
∵AE是直径，
∠AME＝∠EMC＝90°，∵∠ECM＝∠ACB，
∴△ECM∽△ACB，
∴EC：AC＝CM：BC，
∵AC＝＝7，EC＝2﹣3，
∴（2﹣3）：7＝CM：2，
∴CM＝，AM＝7﹣CM＝，
∴S△ABM：S△ABC＝AM：AC，
∴S△ABM＝．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
18．（2024春•泰兴市校级月考）如图1，点A、D是抛物线y＝﹣x2+1上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a（0＜a＜1）．
（1）若矩形ABCD的周长为3.5，求a的值；
（2）求证：不论点A如何运动，∠EAD＝∠ABE；
（3）若△ABE是等腰三角形，
①求点A的坐标；
②如图2，若将直线BA绕点B按逆时针方向旋转至直线l，设点A、C到直线l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值．
【分析】（1）由题意y轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，根据矩形的周长列出方程即可解决问题；
（2）如图1中，首先构建二次函数证明DE⊥BE，再证明A、B、D、E四点共圆，即可解决问题；
（3）①观察图形可知当△AEB是等腰三角形时，只有AE＝AB．在Rt△AEG中，根据AE2＝EG2+AG2，可得（﹣a2+1）2＝（1+a2﹣1）2+a2，求出a即可解决问题．
②如图3中，过点A作AM∥直线l，CP⊥直线l于P，AH⊥直线L于H，延长CP交AM于M．则四边形AHPM是矩形，由PM＝AH＝d1，推出d1+d2＝CP+AH＝CP+PM＝CM，
所以欲求d1+d2的最大值，只要求CM的最大值即可，当点M与点A重合时CM的值最大．
【解答】解：（1）由题意y轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，
∴A、D关于y轴对称，
∴DG＝AG，
∵A（a，﹣a2+1），
由题意2[2a+（﹣a2+1）]＝3.5，
解得a＝或（舍弃），
∴a＝．
（2）如图1中，
∵A（a，﹣a2+1），E（0，1），D（﹣a，﹣a2+1），
∴直线EB的解析式为y＝﹣x+1，直线DE的解析式为y＝ax+1，
∵﹣×a＝﹣1，
∴DE⊥EB，设BD交OE于P，
∵PG∥AB，DG＝GA，
∴DP＝PB，
∴PD＝PE＝PA＝PB，
∴A、B、D、E四点共圆，
∵＝，
∴∠EAD＝∠ABE．
（3）观察图形可知当△AEB是等腰三角形时，只有AE＝AB．
在Rt△AEG中，∵AE2＝EG2+AG2，
∴（﹣a2+1）2＝（1+a2﹣1）2+a2，
解得a＝或﹣（舍弃），
∴点A（，）；
②如图3中，过点A作AM∥直线l，CP⊥直线l于P，AH⊥直线L于H，延长CP交AM于M．则四边形AHPM是矩形，
∴PM＝AH＝d1，
∴d1+d2＝CP+AH＝CP+PM＝CM，
欲求d1+d2的最大值，只要求CM的最大值即可，
在Rt△ACM中，CM＜AC，
∴当点M与点A重合时CM的值最大，此时CM＝CA，
∴d1+d2的最大值＝AC＝＝＝．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、矩形的性质、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆，利用圆的有关知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2024秋•泰兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinB＝，点E在边AC上，过点E作EF⊥AB交AB于点F，EH∥AB交BC于点H，边点H作HG⊥AB于点G，设EF＝x．
（1）当x为何值时，△AEF与△CEH全等，并说明理由；
（2）点P为EH上一点，且∠FPG＝90°，求x的取值范围．
【分析】（1）由△AFE∽△ACB，推出＝＝，推出＝＝，推出AE＝x，AF＝x，EC＝6﹣x，由△AEF与△CEH全等，∠A＝∠CEH，推出EC＝AF，可得6﹣x＝x，解方程即可．
（2）以FG为直径作⊙O，作OM⊥EH于M．当OM≤OF时，EH上存在点P，使得∠FPG＝90°，列出不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝10，sinB＝，
∴AC＝6，BC＝8，
∵∠A＝∠A．∠AFE＝∠C＝90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝x，AF＝x，EC＝6﹣x，
∵△AEF与△CEH全等，∠A＝∠CEH，
∴EC＝AF，
∴6﹣x＝x，
∴x＝3．
（2）以FG为直径作⊙O，作OM⊥EH于M．
当OM≤OF时，EH上存在点P，使得∠FPG＝90°，
∵△CEH∽△CAB，
∴＝，
∴EH＝（6﹣x），
∴x≤（（6﹣x），
∴x≤，∵x＞0，
∴0＜x≤．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形、圆的有关知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用辅助圆解决直角问题，属于中考常考题型．
20．（2024秋•秦淮区校级月考）如图，函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，在x轴上有点M（a，0），点N（a﹣，0），P为直线AB上一动点．
（1）∠ABO＝ 60 °；当△MPN为等边三角形时，a的值是 2或2+ ；
（2）当△MPN为直角三角形时，在图②中用尺规画出所有符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（3）当∠MPN＝30°时，则a的取值范围为 0≤a≤4+ ．
【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出tan∠ABO的值，即可解决问题．当△PMN是等边三角形时，分两种情形讨论点M的位置即可．
（2）分三种情形画出图形即可．
（3）如图③中，假设⊙O′经过点M、N，并且与直线AB相切，切点为P，∠MPN＝30°，连接O′M，O′N，O′P，作OG⊥PN于G，PH⊥OB于H．想办法求出点M的位置，再根据对称性确定点M在直线AB右侧的位置即可解决问题．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+2，
令x＝0则y＝2，令y＝0则x＝2，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°，
如图①中，当M与B重合时，△PMN可能是等边三角形，此时a＝2，
当点N与B重合时，△PMN可能是等边三角形，此时a＝2+，
∴当△MPN为等边三角形时，a的值是2和2+．
故答案分别为60，2或2+．
（2）符合条件的点P如图所示，
．
（3）如图③中，假设⊙O′经过点M、N，并且与直线AB相切，切点为P，∠MPN＝30°，连接O′M，O′N，O′P，作MG⊥PN于G，PH⊥OB于H．
∵∠MO′N＝2∠MPN＝60°，O′N＝O′M，
∴△O′MN是等边三角形，
∴O′P＝O′M＝O′N＝MN＝，∠O′MN＝∠ABO＝60°，
∴AB∥O′M，
∵O′P⊥AB，
∴O′P⊥O′M，
∴∠PO′M＝90′，
∴PM＝O′P＝，
∴∠PNM＝∠PO′M＝45°，
∴GN＝GM＝，PG＝GM＝，
∴PN＝，
∴NH＝PH＝，BH＝，
∴NB＝NH+BH＝2+，
∴BM＝BN﹣MN＝2+﹣＝2，
∴点M与点O重合，此时a＝0，
当⊙O′在直线AB右侧时，同理可得BN＝2，OM＝4+，此时a＝4+，
∴当∠MPN＝30°时，则a的取值范围0≤a≤4+．
故答案为0≤a≤4+．
【点评】本题考查一次函数综合题、等边三角形的性质、直角三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣1
2
2
﹣1
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣1
2
2
﹣1
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？