2026年中考数学压轴题专项练习-阿基米德折弦定理（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-阿基米德折弦定理（学生版+名师详解版），共43页。试卷主要包含了在中，顺次连接、、，问题提出等内容，欢迎下载使用。
（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？
（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？
2．（2024秋•丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
证明：如图2，在上截取，
连接，，和．
是的中点，
，
．
（2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长．
3．（2024秋•建邺区期中）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．
4．（2025•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．
命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．
证明思路：
如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线．
根据，得证△，得．
（1）特例应用
如图1，命题中，如果，，求正方形的边长．
（2）类比变式
如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．
（3）拓展深入
如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．
①如图5，连接、，与交于点，求证：，；
②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．
5．（2024秋•厦门期末）已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线
（1）如图1，连接，若，求证：是的平分线；
（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度．
6．（2024•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，．组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
7．如图，已知、、、四点顺次在上，且，于，
求证：．
8．（2025•东港区校级一模）如图：已知点、、、顺次在圆上，，，垂足为．证明：．（阿基米德折弦定理）
9．（2025•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．
【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则 ；
【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则 ．
10．（2024•六合区模拟）我们知道，如图1，是的弦，点是的中点，过点作于点，易得点是的中点，即．上一点，则折线称为的一条“折弦”．
（1）当点在弦的上方时（如图，过点作于点，求证：点是“折弦”的中点，即．
（2）当点在弦的下方时（如图，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么、、满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知中，，，的外接圆的半径为2，过上一点作于点，交于点，当时，求的长．
11．（2025秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作，垂足为．
求证：．
【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，，，．
请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，，过点作，垂足为．若，则的周长为 ．
【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的新等量关系，并加以证明．
12．（2024•深圳）如图，内接于，，，点为上的动点，且．
（1）求的长度；
（2）在点的运动过程中，弦的延长线交延长线于点，问的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，过点作，求证：．
13．（2024•鄂州自主招生）如图，点、、、四点顺次在上，，于，小华对此进行了研究：首先，他取为正三角形，且为的直径，计算后发现：；接着，他取为等腰直角三角形，平分，试问：还成立吗？小华利用这种情形还计算出，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．
（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无需证明）
14．（2025•青羊区校级三模）如图所示，在中，，，点为劣弧上的动点，且．
（1）求的长度；
（2）求的值；
（3）过点作，求证：．
15．（2024秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
是的中点，
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知内接于，，是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（2）如图4，已知等腰内接于，，为上一点，连接，，于点，的周长为，，请求出的长．
16．如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．
1．（2025•成都自主招生）在中，顺次连接、、．
（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？
（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？
【解答】解：（1）如图1，连接，
是的中点，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
（2）如图2，连接交于，连结，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作，过点作，与交于点，连接，
则，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
过点作于点，交于点，连接，
则，，
，
是等边三角形，
，
，即与在同一直线上，
四边形是平行四边形，
，，
设，则，，，，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
延长，交于点，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（舍去），，
，，
作于点，则，
．
2．（2024秋•丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
证明：如图2，在上截取，
连接，，和．
是的中点，
，
．
（2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长．
【解答】（1）证明：如图2，在上截取，
连接，，和．
是的中点，
，
．
在和中
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图3，截取，连接，，，
由题意可得：，，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
则的周长是．
3．（2024秋•建邺区期中）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．
【解答】问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、、、、，
是的中点，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
又，
，
；
推广运用：解：如图3，截取，连接，，，
由题意可得：，，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
则的周长是，
故答案为：；
拓展研究：不成立，、、三者之间的关系：，
证明：连接，，，交于，
是的中点，
，
在和中，，
，，
，，
，
，
．
4．（2025•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．
命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．
证明思路：
如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线．
根据，得证△，得．
（1）特例应用
如图1，命题中，如果，，求正方形的边长．
（2）类比变式
如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．
（3）拓展深入
如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．
①如图5，连接、，与交于点，求证：，；
②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．
【解答】解：（1）如图1，
设正方形的边长为，则有，．
由材料可知：．
在中，
，
．
．
解得：，（舍去）
所以正方形的边长为6．
（2）．
理由如下：
在上取一点，使得．连接，如图3．
四边形是正方形，
，．
．
在和中，
．
．
，．
．
，
．
在△和中，
．
△．
．
．
（3）①延长到点，使得，连接，如图5．
，，
．
在和中，
．
．
．
．
，
．
．
，，
，．
，．
②Ⅰ．当点在上时，如图6、7．
同理可得：．
Ⅱ．当点在上时或点在高于点时，如图8．
同理可得：．
5．（2024秋•厦门期末）已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线
（1）如图1，连接，若，求证：是的平分线；
（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度．
【解答】（1）证明：，
，
，
是等边三角形，
，
，即是的平分线；
（2）解：连接，在线段上取点，使得，连接，
，
，
，
，
，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
6．（2024•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，．组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
【解答】证明：（1）如图1，连接，，
是劣弧的中点，
，
，
，
，，
，
为等腰三角形，
，
；
（2）如图2，延长、相交于点，再连接，
是圆内接四边形，
，
是劣弧的中点，
，
，
为等腰三角形，
，，
，
，
（3）．
连接，，，、相交于点，
弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
7．如图，已知、、、四点顺次在上，且，于，
求证：．
【解答】证明：在上截取，连接，如图，
，而，
，
，
，
，
而，
，
又，，
，
而，
所以，
，
．
8．（2025•东港区校级一模）如图：已知点、、、顺次在圆上，，，垂足为．证明：．（阿基米德折弦定理）
【解答】证明：，
，又，
将绕点旋转到，使与重合，如图，
，
，，，
，即，
，
在直角和直角中，
，
，
，
，
．
9．（2025•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．
【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则 1 ；
【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得，即，
，
，
，
故答案为：1；
【变式探究】．
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
【实践应用】
如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
．
当点在上方时，，同理易得．
综上所述：的长为或，
故答案为或．
10．（2024•六合区模拟）我们知道，如图1，是的弦，点是的中点，过点作于点，易得点是的中点，即．上一点，则折线称为的一条“折弦”．
（1）当点在弦的上方时（如图，过点作于点，求证：点是“折弦”的中点，即．
（2）当点在弦的下方时（如图，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么、、满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知中，，，的外接圆的半径为2，过上一点作于点，交于点，当时，求的长．
【解答】解：（1）如图2，
在上截取，连接，，，，
点是的中点，，
在和中，，
，
，
，
，
；
（2）结论不成立，新结论为：，
理由：如图3，
在上截取，连接，，，
点是的中点，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，
在中，，，
，，
当点在弦上方时，
在上截取，连接，，，
，
为的直径，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点在弦下方时，如图5，
在上截取，连接，，，
，
为的直径，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：当时，的长为或．
11．（2025秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作，垂足为．
求证：．
【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，，，．
请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，，过点作，垂足为．若，则的周长为 ．
【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的新等量关系，并加以证明．
【解答】解：【问题探究】如图2，在上截取，连接，，，，
点为的中点，
，
，
由圆周角定理得，，
在和中，
，
，又，
，
；
【结论运用】连接，在上截取，连接，
由【问题探究】可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
的周长，
故答案为：；
【变式探究】结论“”不成立，，
理由如下：在线段上截取，连接、、、，
点为优弧的中点”，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，又，
，
．
12．（2024•深圳）如图，内接于，，，点为上的动点，且．
（1）求的长度；
（2）在点的运动过程中，弦的延长线交延长线于点，问的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，过点作，求证：．
【解答】解：（1）作，
，，，
，
，
在中，，
；
（2）连接，
，
，
四边形内接于圆，
，
，
，
公共角，
，
，
；
（3）在上取一点，使得，
在和中
，
，
，
，，
，
，，
．
13．（2024•鄂州自主招生）如图，点、、、四点顺次在上，，于，小华对此进行了研究：首先，他取为正三角形，且为的直径，计算后发现：；接着，他取为等腰直角三角形，平分，试问：还成立吗？小华利用这种情形还计算出，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．
（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无需证明）
【解答】解：（1）成立．在上截取，连接，如图，
，而，
，
，
，
，
而，
，
又，，
，
而，
所以，
，
．
（2）结论正确．
理由：如图，当是等腰直角三角形时，设，则，
，
，
，
．
（3）成立．在上截取，连接，如图，
，而，
，
，
，
，
而，
，
又，，
，
而，
所以，
，
．
14．（2025•青羊区校级三模）如图所示，在中，，，点为劣弧上的动点，且．
（1）求的长度；
（2）求的值；
（3）过点作，求证：．
【解答】解：（1）作，
，，，
，
，
在中，，
；
（2）连接，
，
，
四边形内接于圆，
，
，
，
公共角，
，
，
；
（3）证明：在上取一点，使得，
与所对的弧是，
，
在和中，，
，
，
，，
，
，，
．
15．（2024秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
是的中点，
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知内接于，，是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（2）如图4，已知等腰内接于，，为上一点，连接，，于点，的周长为，，请求出的长．
【解答】证明：如图2，在上截取，连接，，和，
是的中点，
．
在和中，
，
，
，
又，
，
；
实践应用
（1）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：；
故答案为：；
（2），
是的中点，
，
根据阿基米德折弦定理得，，
的周长为，
，
，
，
，
在中，，
，
．
16．如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．
【解答】证明：在上截取，连，，如图，
为的中点，
，
又，
，
，
而，
，
，
又，，
，即证．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/3 1:28:37；用户：微信用户；邮箱：rFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@；学号：47883804