2026年中考数学压轴题专项练习-垂径定理（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-垂径定理（学生版+名师详解版），共80页。试卷主要包含了圆内接，是圆的切线，点为切点，，在中，弦、相交于点，且，如图等内容，欢迎下载使用。
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
2．（2025•镇海区校级二模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作垂直交于点，交于点，交于点，连结，若．
（1）求证：．
（2）如图1，若，求的面积．
（3）如图2，若，求的长．
3．（2025秋•香坊区校级月考）在中，弦、相交于点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点、分别为弦、的中点，连接、，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点，过点作交于点，，，求的长．
4．（2025•石家庄三模）如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段．（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点
特例探究：（1）如图1，当点在射线上时， ，点到直线的距离是 ；
变式研究：当点在上方时，
（2）如图2，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；
（3）当圆与边相切时，求线段的长；
（4）若点到的距离为3，直接写出点到的距离．
5．（2025春•南岗区校级月考）如图1，是的直径，点在上，是弧的中点，连接、
（1）求证：；
（2）如图2，过点作于，交于点，连接交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，交于点，连接交于点，连接、，若，的面积是，求弦的长．
6．（2010•深圳）如图1所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点，，，，直线与相切于点，交轴于点，交轴于点．
（1）请直接写出，的半径，的长；
（2）如图2所示，弦交轴于点，且，求的值；
（3）如图3所示，点为线段上一动点（不与，重合），连接交于点，弦交轴于点．是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
7．内接于，点在上，连接，交边于点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接，交弦于点，交边于点，连接，交边于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点在边上时，连接，交边于点，点在线段上，连接并延长，交于点，连接、，若，，，求弦的长．
8．（2025•南岗区一模）已知内接于，是直径，过点作的切线．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接、与相交于点，若的面积为12，，求点到的距离．
9．（2025•永嘉县校级二模）如图，在矩形中，，点，，分别在边，，上，，，于点，为的外接圆的圆心，于点，设，．
（1）求的长．
（2）求关于的函数表达式．
（3）在边上取点，使，连结．
①当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
②当点关于的对称点恰好落在边上时，连结，求的值．
10．（2025•道外区三模）已知四边形内接于，是的直径，在，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为点，交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，求的半径长．
11．（2025•鼓楼区校级一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的半径；
（2）若，，求的长．
12．（2025•晋安区校级模拟）已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．
（1）求的长．
（2）求的长．
（3）如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．
13．（2025•涪城区模拟）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）若，．
①当，求的长．
②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 ．
14．（2025•鄞州区校级一模）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．为常数，且．
（1）求证：；
（2）求的值（用含的式子表示）；
（3）设，．
①求与的数量关系；
②当，且时，求的值．
15．（2025•隆回县一模）如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点．
（1）猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
（2）若，，求的半径和的长．
16．（2025•宁津县一模）【概念引入】
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
【概念理解】
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
【概念应用】如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
17．（2025•南岗区校级一模）如图，为圆的直径，为弦，为圆的切线，过点作，垂足为，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，过点作，垂足为，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交圆于点，连接、，与交于点，若平分，，求的长．
18．（2025•平房区一模）已知内接于，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为上一点，连接并延长交于点，且，为上一点，连接、，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，连接并延长交于点，交于点，若为中点，，求的长．
19．（2025•新城区校级一模）综合与实践
【问题提出】
（1）如图①，点为上一点，点为外一点，（点、点在直线的同侧），则与的大小关系为： （填“”、“ ”、“ ” ．
【问题探究】
（2）如图②，已知线段，点为上一点，且，，过点作直线于点，经过、两点的恰好与相切于点，连接、，求．
【问题解决】
（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．
如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头从点出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值” ．
20．（2025•西安二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段的长为 ．
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，，以为直径作半圆，点为上一动点，求点、之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形组成，其中，，，，点为的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点到的最大距离是点、之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点到的最大距离．
21．（2025秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点关于的限距点，如图1为点及其关于的限距点的示意图．
（1）当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点的坐标为，，分别切于点，，点在的边上．若点关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．
（2）保持（1）中，，三点不变，点在的边，上沿的方向运动，的圆心的坐标为，半径为，若点关于的限距点不存在，则的取值范围为 ．
22．（2025秋•江都区月考）在半径为5的中，是直径，点是直径上方半圆上一动点，连接、．
（1）如图1，则面积的最大值是 ；
（2）如图2，如果，①则 ；②作的平分线交于点，求长的长．
（3）如图3，连接并保持平分，为线段的中点，过点作，在点运动过程中，请直接写出长的最大值．
23．（2025•德州）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．
（1）与的位置关系为 ；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，连接，，，求的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，
24．（2025•绵阳）如图，为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
25．（2025•德阳）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，
①求的长；
②求的面积．
1．（2025•南岗区二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接并延长交于点，
是切线，为半径，
，
；
（2）证明：在上取一点，使得，
与所对的是，
，
又由（1）得，且是直径，为圆心，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
又是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
（3）解：过点作于，过点作于，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得（舍，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，．
2．（2025•镇海区校级二模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作垂直交于点，交于点，交于点，连结，若．
（1）求证：．
（2）如图1，若，求的面积．
（3）如图2，若，求的长．
【解答】（1）证明：如图1，
作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，．
，
．
，
，
；
（2）解：，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
（负值舍去），，
，
，，
；
（3）解：如图2，
连接，设，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
或，
当时，，
舍去，
，
，
设，则，
，
，
．
3．（2025秋•香坊区校级月考）在中，弦、相交于点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点、分别为弦、的中点，连接、，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点，过点作交于点，，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
；
（2）证明：
点、分别为弦、的中点，点为圆心，
，，
又，
四边形是矩形，
，即；
（3）解：，
，
，
，
，
，
点为的中点，点为的中点，
，，
，
，
，
，
四边形为正方形．
如图，过点作于点，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
设，，则，，
过点作于点，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
，，
，，
，
，即，
解得或（舍，
，
设，则，
，
，
解得．
，，
在中，，
，
，
，
在中，，，
设，则，
由勾股定理可得，，
解得，（负值舍去），
，
．
4．（2025•石家庄三模）如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段．（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点
特例探究：（1）如图1，当点在射线上时， ，点到直线的距离是 ；
变式研究：当点在上方时，
（2）如图2，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；
（3）当圆与边相切时，求线段的长；
（4）若点到的距离为3，直接写出点到的距离．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
如图1，过点作交于，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，4；
（2），，
，
在中，，
，
如图2，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）圆与边相切，
设切点为，则，
如图3，延长交延长线于点，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）如图4，当在左侧时，过作交于，交于，交于，交于点，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
点到的距离；
如图5，当点在右边时，过作交于，交于，过点作交于，交于，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
点到直线的距离为；
综上所述：点到直线的距离为或．
5．（2025春•南岗区校级月考）如图1，是的直径，点在上，是弧的中点，连接、
（1）求证：；
（2）如图2，过点作于，交于点，连接交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，交于点，连接交于点，连接、，若，的面积是，求弦的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
是的直径，
，
是弧的中点，
，
是圆的半径，
，
；
（2）证明：连接，，如图，
是的直径，，
．
，
．
，
是的直径，
，
．
，
，
．
，
．
；
（3）解：连接，，，过点作于点，于点，如图，
，
．
，
．
，
．
由（1）知：，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
．
，．
．
，
．
是圆的直径，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
设，则，
，，．
，，
，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
的面积是，
．
即：，
，
．
．
，
．
6．（2010•深圳）如图1所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点，，，，直线与相切于点，交轴于点，交轴于点．
（1）请直接写出，的半径，的长；
（2）如图2所示，弦交轴于点，且，求的值；
（3）如图3所示，点为线段上一动点（不与，重合），连接交于点，弦交轴于点．是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线中，令，则，即；
令，则，故点坐标为，
，
，
，
，，
，
，即，
；
是斜边上的中线，
．
（2）连接、．
，，
．
，
．
．
（3）如图3，连接，，延长，与圆交于点，连接，则，
，
由于，故；
而，
，
在和中，；，
故，
；
即：，
故存在常数，始终满足，
常数．
7．内接于，点在上，连接，交边于点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接，交弦于点，交边于点，连接，交边于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点在边上时，连接，交边于点，点在线段上，连接并延长，交于点，连接、，若，，，求弦的长．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，连接，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
，
，
，
，
，
，
，
直径弦，
，，
，
，
，
，
点在边上，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
8．（2025•南岗区一模）已知内接于，是直径，过点作的切线．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接、与相交于点，若的面积为12，，求点到的距离．
【解答】（1）证明：是直径，
，
．
为的切线，
，
，
；
（2）证明：连接，，，与交于点，延长交于点，如图，
是弧的中点，
，．
是弧的中点，
，
．
是直径，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，连接，，与交于点，延长交于点，如图，
是直径，，
，
是弧的中点，
，
，
，．
，
是直径，
，
，，
，
，
．
是弧的中点，
，．
．
在和中，
，
，
，．
设，则，
，
，
，
．
的面积为12，
，
，
．
，
，
．
，，
．
，
，
，
．
，，
，
点到的距离为．
9．（2025•永嘉县校级二模）如图，在矩形中，，点，，分别在边，，上，，，于点，为的外接圆的圆心，于点，设，．
（1）求的长．
（2）求关于的函数表达式．
（3）在边上取点，使，连结．
①当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
②当点关于的对称点恰好落在边上时，连结，求的值．
【解答】解：（1）延长交于点，连结，，如图，
则，，
，
在和中，，
即，
解得．
（2），，，
，
，，
，
又，，，
，
．
（3）①当时，如图，
，
即，
，
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
，
，
解得，
当时，点与点重合，
则，
解得．
②设交于点，则，
，
，
即，
，
，，
，，
，
．
10．（2025•道外区三模）已知四边形内接于，是的直径，在，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为点，交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，求的半径长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，延长交于点，
是的直径，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，连接，设与交于点，
，为半径，
，
由（1）可知，
，即，
，，，
，
，
设，
，
切于点，是的半径，
，，
，
，
，即，
，
，
，为半径，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，，
，
，
，
，
的半径为．
答：的半径为．
11．（2025•鼓楼区校级一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的半径；
（2）若，，求的长．
【解答】解：（1）设的半径为，
，
，
在中，，，
，
，
解得，
的半径为5；
（2）如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
12．（2025•晋安区校级模拟）已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．
（1）求的长．
（2）求的长．
（3）如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．
【解答】解：（1），
，
，，，
，
；
（2），，
是等腰三角形，
是的中点，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
（3）的度数为，不会发生变化，理由如下：
设与的交点为，过点作交于点，
由（2）知，，，
，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
13．（2025•涪城区模拟）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）若，．
①当，求的长．
②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 ．
【解答】（1）证明：为的直径，，
为的切线，
；
（2）解：①，，
，
．
．
，，
．
，
；
②当时，
，
，
，
．
为的直径，
．
，
在和中，
，
，
．
，
，
；
当时，
，
，
为的直径，
，
，
．
，
，
．
，，
，
，
．
．
．
．
，
；
当时，
，
．
，，
，
．
．
，
，
．
设，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
综上，当为等腰三角形时，满足条件的的腰长为或或．
（3）解：当，，在一条直线上时，
为的直径，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
．
，．
．
，
．
解得：或（不合题意，舍去）．
，
故答案为：．
14．（2025•鄞州区校级一模）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．为常数，且．
（1）求证：；
（2）求的值（用含的式子表示）；
（3）设，．
①求与的数量关系；
②当，且时，求的值．
【解答】（1）证明：如图，连接，
直径弦，
，
，
是的直径，
，
，
，
即；
（2）解：由垂径定理可得，垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，则，
，
；
（3）解：如图，设、交于点，连接，，，过点作于点，过点作于点，则，
①垂直平分，
，，
，
，
，
，
由 （2）知，
，
，
，
，
，
；
②，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
由①结论可得，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
．
15．（2025•隆回县一模）如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点．
（1）猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
（2）若，，求的半径和的长．
【解答】解：（1）是的切线．
证明：连接，
．
，
平分，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）连接，
在中，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；即的半径为2.5．
作于，
，
四边形是矩形，
，，，
，
．
的半径为2.5，的长为3．
16．（2025•宁津县一模）概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 3 ．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【解答】概念理解（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
．
17．（2025•南岗区校级一模）如图，为圆的直径，为弦，为圆的切线，过点作，垂足为，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，过点作，垂足为，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交圆于点，连接、，与交于点，若平分，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为圆的切线，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
为的中位线，
，．
．
，，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
．
平分，
，
，
，
．
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为为菱形，
．
为圆的直径，
，
，，
，
，
，
即为的中点，
为的中位线，
，．
，，
，
．
平分，
．
．
，
，
，
，
．
，．
，
，
为圆的直径，，
．
，
．
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
．
，
．
18．（2025•平房区一模）已知内接于，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为上一点，连接并延长交于点，且，为上一点，连接、，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，连接并延长交于点，交于点，若为中点，，求的长．
【解答】（1）证明：延长，交于点，连接，如图，
为的直径，
，
，
，
；
（2）证明：延长交于点，连接，，如图，
，
，
，，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长交于点，则，延长交于点，连接，如图，
，为中点，
，
由（2）知：，
．
，
，．
，
设，则，
，．
，
．
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
，，
，
．
，
，
，
，，
，．
，，
．
在中，
，
．
．
．
．
在中，
，
，
．
，
，
，，
，．
，
．
，，
．
19．（2025•新城区校级一模）综合与实践
【问题提出】
（1）如图①，点为上一点，点为外一点，（点、点在直线的同侧），则与的大小关系为： （填“”、“ ”、“ ” ．
【问题探究】
（2）如图②，已知线段，点为上一点，且，，过点作直线于点，经过、两点的恰好与相切于点，连接、，求．
【问题解决】
（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．
如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头从点出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值” ．
【解答】解：（1）设与交于点，连接，如图，
，，
．
故答案为：；
（2）连接，，，过点于点，如图，
，，
平分，
．
，
．
为的切线，
．
，，
四边形为矩形．
，
，
，
，
，
．
．
；
（3）作线段的垂直平分线，交于点，交于点，过，，三点作圆，如图，
则点为为“鹰眼点”，理由：
在上取一点，连接，交圆于点，连接，，
，，
，
即摄像头到达点时，拍摄视角最大．
，，，
四边形为矩形，
米，米，
（米．
是线段的垂直平分线，
米．
过点作于点，
，
，
，
．
．
．
摄像头到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值” 为．
20．（2025•西安二模）问题提出
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段的长为 ．
问题解决
（2）如图②，在等腰直角中，，，以为直径作半圆，点为上一动点，求点、之间的最大距离；
问题探究
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形组成，其中，，，，点为的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点到的最大距离是点、之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点到的最大距离．
【解答】解：（1）设与交于点，如图，
是等腰直角三角形，，
．
为等边三角形，
，
垂直平分，
，，．
，，
．
故答案为：；
（2）连接并延长交于点，如图，
设点为上异与点的一点，连接，，
，，
，
．
线段的长为点、之间的最大距离．
，，
，
，
．
点、之间的最大距离为；
（3）小明的说法正确，理由：
过点作，交的延长线于点，如图，
点为的中点，，
所在圆的圆心在上，
设所在圆的圆心为，连接，
，，，
四边形为矩形，
，．
设圆的半径为，则，
，
，
．
连接，并延长交于点，连接，
，，
，
，
即点到的最大距离为线段的长度，
小明的说法正确．
由题意：，
，
．
．
出点到的最大距离为．
21．（2025秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点关于的限距点，如图1为点及其关于的限距点的示意图．
（1）当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点的坐标为，，分别切于点，，点在的边上．若点关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．
（2）保持（1）中，，三点不变，点在的边，上沿的方向运动，的圆心的坐标为，半径为，若点关于的限距点不存在，则的取值范围为 ．
【解答】解：（1）的半径为，
点关于的限距点存在的条件是．
①点存在关于的限距点，理由：
如图1，连接、、，分别交于点、、，
，，，
，，，
，
点、不存在关于的限距点，点存在关于的限距点，该点的坐标为；
②如图2，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，
、分别切于点、，
，，
，
，，，
，
，，
垂直平分，
，
，
，，，
，，，，
，，，
垂直平分，
，
，，
，，，，
当点在上，的延长线交于点，
当点与点重合时，的最小值为，当点与点或重合时，的最大值为2，
则，
存在限距点，且点在弧上运动，
；
如图3，当点在边上，且不与点、、重合时，射线交于两点、，
则，，
此时不存在点的限距点；
同理，当点在边上，且不与点、、重合时，不存在点的限距点；
如图4，当点与点重合时，则，点是点关于的限距点，此时，，
综上所述，点关于的限距点的横坐标的取值范围是或；
（2）如图5，连接，，
由（1）得，，
是等边三角形，
，，
也是等边三角形，
，
，
点是等边三角形的中心，
点到、、的距离相等．
设交于点，交于点，
当时，不存在点关于的限距点，
，，
，
，
解得．
故答案为：．
22．（2025秋•江都区月考）在半径为5的中，是直径，点是直径上方半圆上一动点，连接、．
（1）如图1，则面积的最大值是 25 ；
（2）如图2，如果，①则 ；②作的平分线交于点，求长的长．
（3）如图3，连接并保持平分，为线段的中点，过点作，在点运动过程中，请直接写出长的最大值．
【解答】解：（1）的半径为5，是直径，
．
当边上的高最大时，面积的最大，
点是直径上方半圆上一动点，
当时，即时，面积的最大，
面积的最大值是，
故答案为：25．
（2）①的半径为5，是直径，
，，
．
故答案为：6；
②过点作于点，连接，，如图，
为的平分线，，
，
为等腰直角三角形，
．
是直径，
，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
；
（3）连接，，如图，
为线段的中点，
，
，
当点，，三点在一条直线上时，，取最大值．
如图，
平分，
．
，，点，，三点在一条直线上，
，
四边形为正方形，
，
长的最大值为．
23．（2025•德州）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．
（1）与的位置关系为 相切 ；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，连接，，，求的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，
【解答】（1）解：，点为圆心，为半径，
直线到圆心的距离等于圆的半径，
为的切线，
与的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点作于点，连接，如图，
，为底边的中点，
为的平分线，
，，
，
为的半径，
为的半径，
这样，直线到圆心的距离等于圆的半径，
是的切线；
（3）解：过点作于点，如图，
，，
，
，
．
，
，
，，
为的平分线，
．
在中，
，
，
，
的直径．
24．（2025•绵阳）如图，为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为劣弧的中点，
，
．
是的切线，
，
；
（2）连接，如图，
设，则．
为劣弧的中点，
，
，．
，
，
，
．
．
为的直径，
，
．
的半径为，
．
，
解得：或（不合题意，舍去），
．
（3）连接，，设与交于点，如图，
由（2）知：，，，
，
．
，
，
．
，
，，
．
．
，
．
为的直径，
，
由（1）知：，，
四边形为矩形，
，，，
的面积．
25．（2025•德阳）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，
①求的长；
②求的面积．
【解答】（1）证明：连接，如图，
是的直径，，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：①，
，
是的直径，，
．
，
，，
，
，
，
．
；
②过点作，交的延长线于点，如图，
，，
．
，
设，则，
，
，，
．
，
，
解得：．
．
的面积．
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