2026年中考数学压轴题专项练习-垂美四边形模型（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-垂美四边形模型（学生版+名师详解版），共23页。试卷主要包含了概念理解，新定义，认识新知，定义等内容，欢迎下载使用。
（1）性质探究：如图1，四边形是垂美四边形，直接写出、、、的数量关系： ．
（2）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，求的长（可直接利用（1）中性质）
2．（2025春•祁阳县期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
3．（2025春•怀宁县期末）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
①求证：四边形为垂美四边形；
②求出四边形的面积．
4．（2025春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为 ；
②若，，，，探究、、、的数量关系．
（2）如图2，已知、分别是中边、的中点，，，，请运用②中的结论，直接写出的长为 ．
5．（2025春•德城区校级月考）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．
6．（2025春•海安市月考）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在四边形中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④，．
（2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在中，，，、分别是、的中点，连接、．有，求．
7．（2025春•郧阳区期中）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）概念理解：如图1，在四边形中，已知，当与满足 时，四边形为“垂美四边形”（直接写结果）；
（2）性质探究：如图2，四边形的对角线、交于点，且．求证：；
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边向外作等腰和等腰，连结，已知，，则 （直接写出结果）．
8．（2025春•红谷滩区校级期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系．写出你的猜想，并给出证明；
②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．求的长．
9．（2025春•雁塔区校级期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图1，试探索垂美四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，，已知，，求的值．
10．（2025•南明区模拟）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．
①如图2，当，连接，求；
②如图3，当，点、分别是、中点连接．若，则 ．
1．（2025春•青川县期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
（1）性质探究：如图1，四边形是垂美四边形，直接写出、、、的数量关系： ．
（2）解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，，求的长（可直接利用（1）中性质）
【解答】解：（1）结论：，
如图1中，设交于．
，
，
由勾股定理得，，
，
；
故答案为：．
（2）连接、，
，
，即，
在和中，
，
，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
．
2．（2025春•祁阳县期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： ①③ （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
【解答】解：（1）正方形，菱形的对角线互相垂直，
正方形，菱形是垂美四边形，
故答案为：①③．
（2）结论：．
理由：四边形是垂美四边形，
，
，
由勾股定理得，，
，
．
（3）连接、，
，
，即，
，，，
，
，
又，
，即，
四边形是垂美四边形，
，
，，，
，
，，
，
．
3．（2025春•怀宁县期末）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形、正方形
（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： ．
（3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
①求证：四边形为垂美四边形；
②求出四边形的面积．
【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：如图1所示：
四边形的面积的面积的面积；
故答案为：；
（3）①证明：连接、，如图2所示：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
，
，
四边形为垂美四边形；
②解：，，，
，
，
在中，，
，
四边形为垂美四边形，
四边形的面积．
4．（2025春•孝南区期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为 ；
②若，，，，探究、、、的数量关系．
（2）如图2，已知、分别是中边、的中点，，，，请运用②中的结论，直接写出的长为 ．
【解答】解：（1）①四边形是垂美四边形，
，
，
，
故答案为：；
②四边形是垂美四边形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
即：；
（2）如图，连接，
、分别是中边、的中点，，，
，，，
，
四边形是垂美四边形，
，
，
或（舍去），
故答案为：．
5．（2025春•德城区校级月考）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．
【解答】（1）证明：，垂足为，如图1，
，，，，
，，
．
（2）解：如图2，过点作，交的延长线于点，
则，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
6．（2025春•海安市月考）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解，在四边形中，以下是垂美四边形的是 ③④ ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④，．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在中，，，、分别是、的中点，连接、．有，求．
【解答】解：（1）菱形的对角线互相垂直，
菱形是垂美四边形，
，，
，
当，的四边形是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）猜想正确，理由如下：
四边形中，，
，
，，，，
，，
；
（3），，、分别是、的中点，
，，，
，
，
，
．
7．（2025春•郧阳区期中）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）概念理解：如图1，在四边形中，已知，当与满足 时，四边形为“垂美四边形”（直接写结果）；
（2）性质探究：如图2，四边形的对角线、交于点，且．求证：；
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边向外作等腰和等腰，连结，已知，，则 （直接写出结果）．
【解答】（1）解：当时，四边形为“垂美四边形”，理由如下：
连接，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
四边形是垂美四边形，
故答案为：；
（2）证明：，
，
由勾股定理得，，
，
；
（3）解：如图3，连接、，
，
，即，
在和中，，
，
，
又，，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
．
故答案为：．
8．（2025春•红谷滩区校级期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系．写出你的猜想，并给出证明；
②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．求的长．
【解答】解：（1）四边形是垂美四边形，
理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，
即四边形是垂美四边形．
（2）①；
理由：如图1，连接，相交于，
，
，
由勾股定理得，，，
；
②四边形是矩形，
理由：如图3，连接，
中，点为斜边的中点，
，
又等腰三角形和等腰三角形，
、，
由（1）可得，，，
又，
，
四边形是矩形；
（3）如图4，连接、，
，
，
即，
在和中，，
，
，
又，
，
即，
四边形是垂美四边形，
，
，，
，，，
，
．
9．（2025春•雁塔区校级期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图1，试探索垂美四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，，已知，，求的值．
【解答】解：（1）四边形是垂美四边形，理由如下：
如图，连接，连接交于点，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是垂美四边形；
（2），理由如下：
，
，
由勾股定理得：
，
，
；
（3）如图，设与交于点，与交于点，
，
，即，
在和，
，
，
，
，
，
，
，即，
四边形为垂美四边形，
，，，
，
和均为等腰直角三角形，
，，
由（2）可得，，
．
10．（2025•南明区模拟）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形中，，垂足为，求证：．
（2）解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．
①如图2，当，连接，求；
②如图3，当，点、分别是、中点连接．若，则 ．
【解答】解：（1）证明：如图1中，
，
，
由勾股定理得，，
，
；
（2）①方法一：连接、交于点，如图2，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
又，
即，
，
，
利用（1）中的结论：
即；
．
②连接、交于点，如图3，
同①可证，且，
、分别是、中点，
，
，
．
延长作，
则有，，
，
，
解得，
．
方法二：
连接，，，延长使，
由①得，，
，，
，
，
即，
，，
，
，
．
故答案为：．