2026年中考数学压轴题专项练习-平行四边形综合题（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-平行四边形综合题（学生版+名师详解版），共63页。试卷主要包含了如图1，在四边形中，，，，如图1，在中，，，如图所示，在中，，，，如图，在中，，，于点，且，问题提出等内容，欢迎下载使用。
（1）若，求的度数；
（2）探索，和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，利用（2）中结论，已知，，求的长．
2．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，点是线段上一点，连接，点是线段上一点，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，点是线段的中点，连接，若，求证：；
（3）如图3，若，，，，将绕着点旋转，得到△．连接．点是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值．
3．（2025春•贵港期末）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，
请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当，，时，求线段的长．
4．（2025•承德一模）如图1，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．
（1）求证：；
（2）当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；
（4）在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．
5．（2025春•鹿城区校级期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连结，将绕点旋转至，使点与点重合，连结交于点．
（1）当点为中点时，线段 ；
（2）如图2，作交于点，连结交于点．求证：四边形是平行四边形；
（3）在（2）的条件下：
①若，求的度数；
②连接，当时， ．
6．（2025•乾安县一模）如图所示，在中，，，．点在上从点以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间，与重叠部分的图形面积为．
（1）点到边的距离为 ，点到边的距离为 ；（用含的代数式表示）
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
7．（2025秋•江北区期末）如图1，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长度；
（3）在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，于点，求证：．
8．（2025春•长春期中）如图，在中，，，于点，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．
（1）的长是 ；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）设面积为，求关于的函数关系式；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
9．（2025•灞桥区校级模拟）问题提出
（1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为 ．
问题探究
（2）如图②，在中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积．
问题解决
（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由．
10．（2025•朝阳区一模）如图，在平行四边形中，，，，是对角线，为边的中点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，在线段的延长线上取一点，使，以为斜边向其右侧作，使．连结，作点关于的对称点，连结，设点运动的时间为秒．
（1）的长为 ．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当点在边上时，求与平行四边形重叠部分图形的面积．
（4）当时，直接写出的值．
11．（2025春•滨江区校级期中）如图1，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，．设点运动的时间为秒．
（1） （含的代数式表示）；
（2）如图2，连结，，，当时，求的面积．
（3）如图3，连结，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部（不包括边界）时，则的取值范围为 ．
12．（2025春•兰溪市期末）如图，在直角坐标系中，点，，点为射线上一动点，过作垂直射线于点，点为轴上一动点，连结，，以，为边作，设，．
（1）如图1，当在线段上运动时，的顶点恰好也落在线段上，
①用含的代数式表示 ， ．
②是否存在的值，使为菱形？若存在，求出的值和点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）点在整个运动过程中，使得为正方形，请求出所有满足条件的的值和相应点的坐标．
13．（2025秋•九台区期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到点时，点同时停止运动，过点作的垂线交折线于点，当点不和点重合时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为秒
（1）求的长（用含的代数式表示）；
（2）当点与点重合时，求的值；
（3）当点在内部时，若平行四边形是菱形，求菱形的面积；
（4）连结，当与的一边平行时，直接写出的值．
14．（2025春•迁安市期末）如图，在中，，，的面积为40，点从出发沿以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，到达点时停止运动；点从出发沿以相同速度向点匀速运动，两点同时出发，同时停止，连接、．设点、运动的时间是秒．
（1）中边上的高 ；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当时，是 形；
（4）在点、运动的过程中，判断四边形能否成为菱形，如果能，求出的值；如果不能，说明理由．
15．（2025春•新市区校级期中）如图，四边形为平行四边形，以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，使边在轴上．已知点，．点从点出发沿向点匀速移动（不与点，重合），同时点从点出发沿向点匀速移动（不与点，重合）．当其中一点到达终点时两点都停止运动，设运动时间为秒．
（1）点的坐标为 ；
（2）若点以每秒3个单位长度的速度移动，点以每秒2个单位长度的速度移动，则当为何值时；
（3）若点，均以每秒2个单位长度的速度移动，则当为何值时，四边形为菱形？请求出此时四边形的面积．
16．（2025春•泗水县期末）已知在平行四边形中，点、分别在、边上，，于点．
（1）如图1，若，求证：四边形是正方形；
（2）在（1）的条件下，延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
（3）如图2，若，，，，求的长．
17．（2025春•郏县期末）如图，是的中线，是线段上一动点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，当点不与重合时，交于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长交于点，若，且，则 ．
18．（2025•长安区一模）问题提出：
（1）如图①，在中，，，，则的面积为 ；
（2）如图②，在四边形中，，，，，点，分别为边，上两动点，且，连接，，试说明四边形的面积是定值；
问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中，，，点，分别为边，上两点，且，连接，，．公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和的长度．
19．（2025•安阳县一模）如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动（点不与点，重合），以为边在上方作等腰，使为直角顶点，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）点到的距离为 ．（用含的式子表示）
（2）若线段与交于点，当为何值时，射线将四边形的面积分成的两部分．
（3）当四边形与重叠部分为四边形时，求与的函数关系式．（不要求写出对应自变量取值范围）
20．（2025秋•广陵区期末）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
（1）观察猜想：如图①，如果四边形是正方形，当、分别是、的中点时，则与的数量关系为： ，位置关系为： ．
（2）探究证明：如图②，若四边形是矩形，且．求证：．
（3）拓展延伸：如图③，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
1．（2025春•凤台县期末）如图1，在四边形中，，，，点是的中点，点是内一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）探索，和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，利用（2）中结论，已知，，求的长．
【解答】解：（1），，
，
，
，
又，，
．
；
（2），理由如下：
如答图，连接，过点作交于点．
，，
是等腰直角三角形．
，
点是的中点，，
，，，
，即．
由（1）可知，
，即．
在与中，
，
．
，．
是等腰直角三角形．
，
；
（3）如图2，
，，
四边形是平行四边形．
，
在中，，
，
，，
，
，
．
2．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，点是线段上一点，连接，点是线段上一点，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，点是线段的中点，连接，若，求证：；
（3）如图3，若，，，，将绕着点旋转，得到△．连接．点是线段的中点，连接．请直接写出线段长度的最小值．
【解答】（1）解：如图：作于点，
，，
，
平分，
，
在中，，
，
，
，
；
（2）如图：延长交于点，
在中，，，
，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
；
（3）取的中点，连接，，则，即的最小值为，
，，
是等边三角形
，，
，，，
，
，，
，
，
，，
，，
设，过点作于点，则和是直角三角形
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
即，
解得：，
即，
过点作于点，则和是直角三角形，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，即，
在中，，
即，
，
，
由旋转可得，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
在中，，，，
过点作于点，则和是直角三角形，
在中，，
，
，
，
是的中点
，
，
在中，，
的最小值为．
3．（2025春•贵港期末）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，
请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当，，时，求线段的长．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，
又，，
，
，
故答案为：；
（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长交于点，
，，
，
，
点为的中点，
，
又，
，
，
，
；
（3）点在线段的延长线上运动时，如图3，延长交的延长线于点，
由（2）可知，
，，
又，，
，
．
4．（2025•承德一模）如图1，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．
（1）求证：；
（2）当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；
（3）在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；
（4）在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
将绕点逆时针旋转得到△，
重叠部分为，且，
，
，
重叠部分的面积为；
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
则，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
（4）解：当时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，
设，则，
由旋转得：，，，，
，
是等腰直角三角形，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
设，则，，
由旋转得：，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，
设，则，
由旋转得：，，，，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
即，
；
当时，，
所在的直线与直线没有交点；
当时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
综上所述，的长为或或．
5．（2025春•鹿城区校级期中）如图1，在中，，．点是边上的动点，连结，将绕点旋转至，使点与点重合，连结交于点．
（1）当点为中点时，线段 ；
（2）如图2，作交于点，连结交于点．求证：四边形是平行四边形；
（3）在（2）的条件下：
①若，求的度数；
②连接，当时， ．
【解答】（1）解：，．点为中点，
，，
在中，，
将绕点旋转至，使点与点重合，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）证明：，
，
将绕点旋转至，使点与点重合，
，，
，
又，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）解：①设，则，
，
将绕点旋转至，使点与点重合，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
②如图所示，连接，连接，设，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又将绕点旋转至，使点与点重合，
，
设，，
则，，
，
故答案为：．
6．（2025•乾安县一模）如图所示，在中，，，．点在上从点以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间，与重叠部分的图形面积为．
（1）点到边的距离为 ，点到边的距离为 ；（用含的代数式表示）
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，过点作，由题意可知，
，，，
，
，，
，，
点到的距离为，点到距离为；
故答案为：；；
（2）如图2，当点落在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
解得：；
（3）①当时，与重叠面积为，如图1，
，
由（1）可知，，
，
②当时，设交于点，如图3，
则与重叠面积为，
，
，，，
，
综上所述，．
7．（2025秋•江北区期末）如图1，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长度；
（3）在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，于点，求证：．
【解答】（1）证明：平分，
，
在中，，
，
，
，
又，
；
（2）解：设，
．
在直角三角形中，，
，，，
中，由勾股定理得：，
，
解得：（舍去），．
；
（3）证明：如图2，延长交于，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
．
8．（2025春•长春期中）如图，在中，，，于点，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．
（1）的长是 12 ；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）设面积为，求关于的函数关系式；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【解答】解：（1）在中，，，
，
故答案为：12；
（2）四边形是平行四边形，
当点运动到点时，，当点运动到点时，，
①当时，；
②当时，；
用含的代数式表示的长为：；
（3）当时，
；
当时，
；
关于的函数关系式为：；
（4）以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形为平行四边形时，，，
，
解得，
②当四边形为平行四边形时，，，
，
解得，
综合上述，当或9时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
9．（2025•灞桥区校级模拟）问题提出
（1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为 4 ．
问题探究
（2）如图②，在中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积．
问题解决
（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由．
【解答】解：（1）如图①中，作于．
在中，，，，
，
，
平分，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
设，
在中，
，
，
解得：，
，
故答案为：4．
（2）如图②中，作于，于，连接．
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
在中，，，，
，，
，
，
解得：，
；
（3）存在．如图③中，作于，于．
，，
，
，
，，
，
，，
，，
平分，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
中，是角平分线，，是定值，
当是的高时，的面积最小，此时．
的面积的最小值．
10．（2025•朝阳区一模）如图，在平行四边形中，，，，是对角线，为边的中点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，在线段的延长线上取一点，使，以为斜边向其右侧作，使．连结，作点关于的对称点，连结，设点运动的时间为秒．
（1）的长为 ．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当点在边上时，求与平行四边形重叠部分图形的面积．
（4）当时，直接写出的值．
【解答】解：（1）如图1，过点作于，
，
，
，
，，
，，
中，，
；
故答案为：；
（2）由题意得：，
当时，点在线段上，如图2，
；
当时，点在线段的延长线上，
；
（3）如图2，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点总在的平分线上，
当点在边上时，存在两种情况：
①如图3，
点是的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
由折叠得：，
当点与点重合时，符合题意，如图3所示，
此时，
点正好在的角平分线上，
，
，
点与点重合，
，
，
，
，，
，
此时与平行四边形重叠部分图形的面积为；
②点是的中点，
，
由折叠得：，
当与重合时符合要求，如图4，
此时垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
此时与平行四边形重叠部分图形的面积，
综上，与平行四边形重叠部分图形的面积或；
（4）根据（3）可知：平分，，
，
分两种情况：
①当点在点的上方时，延长，过点作于，过点作于，如图5所示，
，，
，，
，
由（1）可知：，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
②当点在点的下方时，过点作于，过点作于，如图6所示，
，，
，，
，
，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
综上，的值是或．
11．（2025春•滨江区校级期中）如图1，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，．设点运动的时间为秒．
（1） （含的代数式表示）；
（2）如图2，连结，，，当时，求的面积．
（3）如图3，连结，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部（不包括边界）时，则的取值范围为 ．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
由题意，，
．
故答案为：；
（2）如图2中，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
；
（3）如图2，，，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
如图3，点与重合，
由对称得：，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
如图4，在斜边上，
由对称得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
的取值范围为．
故答案为：．
12．（2025春•兰溪市期末）如图，在直角坐标系中，点，，点为射线上一动点，过作垂直射线于点，点为轴上一动点，连结，，以，为边作，设，．
（1）如图1，当在线段上运动时，的顶点恰好也落在线段上，
①用含的代数式表示 ， ．
②是否存在的值，使为菱形？若存在，求出的值和点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）点在整个运动过程中，使得为正方形，请求出所有满足条件的的值和相应点的坐标．
【解答】解：①如图，过点作于点，
，，，
，
，
，
解得：，
根据题意得：轴，
，
，
四边形为矩形，
．
故答案为：，．
②存在．
根据题意得：，
，，
，
，，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
，
解得：，
点．
答：的值为，点．
解：如图，当点在线段上时，过点作轴于点，作 轴于点，
由（1）中②得：，，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
，
此时点，
如图，当点在轴负半轴时，过点作轴于点，轴于点，
则，，，
根据题意得：，
，
同理得：，
，，
，
解得：，
，
此时点，
综上所述， 时，； 时，．
13．（2025秋•九台区期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到点时，点同时停止运动，过点作的垂线交折线于点，当点不和点重合时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为秒
（1）求的长（用含的代数式表示）；
（2）当点与点重合时，求的值；
（3）当点在内部时，若平行四边形是菱形，求菱形的面积；
（4）连结，当与的一边平行时，直接写出的值．
【解答】解：（1），，，
，
动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到点时，点同时停止运动，
，，且，
如图1，当点在线段上时，此时，
，即，
；
如图2，当点在线段上时，此时，
，即，
；
（2）如图3，和重合，
，即，
；
（3）如图4，过点作于，
，即，
，
由（1）知：，
四边形是菱形，
，
，
，
解得：；
，，
，
，
菱形的面积；
（4）分三种情况：
①如图5，，过点作于，过点作于，则，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
△，
，
，
，
，
，即，
；
②如图6，，过点作于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
③如图7，，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的值是或或．
14．（2025春•迁安市期末）如图，在中，，，的面积为40，点从出发沿以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，到达点时停止运动；点从出发沿以相同速度向点匀速运动，两点同时出发，同时停止，连接、．设点、运动的时间是秒．
（1）中边上的高 4 ；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当时，是 形；
（4）在点、运动的过程中，判断四边形能否成为菱形，如果能，求出的值；如果不能，说明理由．
【解答】（1）解：设中边上的高为，
的面积为40，，
，
，
故答案为：4；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
由题意得：，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图1，过点作于，
，
由勾股定理得：，
当时，，
与重合，
，
是矩形；
故答案为：矩；
（4）四边形能成为菱形，理由如下：
如图2，过点作于，则，
由题意得：，则，
，
当四边形是菱形时，，
，
，
，
当时，四边形能成为菱形．
15．（2025春•新市区校级期中）如图，四边形为平行四边形，以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，使边在轴上．已知点，．点从点出发沿向点匀速移动（不与点，重合），同时点从点出发沿向点匀速移动（不与点，重合）．当其中一点到达终点时两点都停止运动，设运动时间为秒．
（1）点的坐标为 ；
（2）若点以每秒3个单位长度的速度移动，点以每秒2个单位长度的速度移动，则当为何值时；
（3）若点，均以每秒2个单位长度的速度移动，则当为何值时，四边形为菱形？请求出此时四边
形的面积．
【解答】解：（1）点，
，
四边形是平行四边形，，
；
故答案为：；
（2）如图1，过点作于，
由题意得：，，
，，
，
，
，
，
则当为时；
（3）如图2，过点作于，
由题意得：，
，，
四边形是菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
四边形的面积为．
则当为时，四边形为菱形，此时四边形的面积为．
16．（2025春•泗水县期末）已知在平行四边形中，点、分别在、边上，，于点．
（1）如图1，若，求证：四边形是正方形；
（2）在（1）的条件下，延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
（3）如图2，若，，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，即垂直平分，
，
是等腰三角形；
（3）解：如图2所示，延长到点，使得，连接，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
．
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
17．（2025春•郏县期末）如图，是的中线，是线段上一动点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，当点不与重合时，交于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长交于点，若，且，则 ．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：结论成立，理由如下：如图2，
，，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，取线段的中点，连接，
，
是的中位线，
，，
，且，
，，
．
故答案为：．
18．（2025•长安区一模）问题提出：
（1）如图①，在中，，，，则的面积为 ；
（2）如图②，在四边形中，，，，，点，分别为边，上两动点，且，连接，，试说明四边形的面积是定值；
问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中，，，点，分别为边，上两点，且，连接，，．公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点作于，
，
，
，
，
，，
的面积为，
故答案为：；
（2）如图2，连接，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，
，，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
故四边形的面积为，
四边形的面积是定值；
（3）如图3，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，
设，则，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
在中，，即，
，
在中，，即，
，
过点作于，
中，，，
，
，
，
当时，的面积最小，其最小值是，即绿化面积的最小值．
19．（2025•安阳县一模）如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动（点不与点，重合），以为边在上方作等腰，使为直角顶点，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）点到的距离为 ．（用含的式子表示）
（2）若线段与交于点，当为何值时，射线将四边形的面积分成的两部分．
（3）当四边形与重叠部分为四边形时，求与的函数关系式．（不要求写出对应自变量取值范围）
【解答】解：（1）如图1，过点作于点，
等腰，
四边形为矩形，
动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，点的运动时间为秒，
，
故答案为：．
（2）当点落在上时，
点和点重合，
此时射线将四边形的面积分成两部分，
如图2，过点作于点，
，
，
假设此时射线将四边形的面积分成两部分，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
（3）①当点接触前时，
四边形与重叠部分为平行四边形，
，
，
②当离开，接触前时，
重叠部分为五边形，不用计算；
③当离开后，
如图3，设，分别交于点，，过点，分别作于点，于点，过点作于点，延长交于点，
此时四边形与重叠部分为四边形，
设，则：
，
，
，
，
解得：，
，
设，则：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
20．（2025秋•广陵区期末）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
（1）观察猜想：如图①，如果四边形是正方形，当、分别是、的中点时，则与的数量关系为： ，位置关系为： ．
（2）探究证明：如图②，若四边形是矩形，且．求证：．
（3）拓展延伸：如图③，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，
点，是，的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为，；
（2）证明：如图（1），四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）当时，成立．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
即当时，成立．