2026年中考数学压轴题专项练习-将军饮马（3）（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-将军饮马（3）（学生版+名师详解版），共74页。试卷主要包含了如图，抛物线经过点，点，点，已知抛物线经过点，与轴交于点，【模型介绍】等内容，欢迎下载使用。
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上找一点，使得的周长最小，在备用图中画出图形并求出点的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点且为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025秋•思明区校级期中）如图，抛物线经过点，点，点．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点为抛物线上一点，连接，若直线分四边形的面积为的两部分，求点的坐标．
（3）点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值及此时点的坐标．
3．（2025秋•诸暨市期中）如图，二次函数图象与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的顶点坐标是，且经过．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出的坐标．若不存在，请说明理由．
4．（2025春•崂山区期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是所求的位置．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
∵直线是点，的对称轴，点，在上，
∴ ， ，
∴ ．
在，
∵，
∴即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图4，等腰直角中，，平分交于，点是上一个动点，点是上一个动点，请在图5中画出的值最小时的位置．（可用三角尺）
5．（2025•福山区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线经过抛物线上两点，．已知点，的横坐标分别为，且满足，直线的表达式为．
（1）求的值及抛物线的表达式；
（2）设点是直线上一动点，问：点在什么位置上时，的周长最小？求出点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，．若点是直线上一个动点，当点恰好是线段的中点时，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025•宝应县一模）已知抛物线经过点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2025秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）代数应用：求代数式的最小值；
（3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是 ．
8．（2025•李沧区一模）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，则的和最小．
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．
理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
∵直线是点，的对称轴，点，在上，
∴ ， ，∴ ．
在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．
由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
（1）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连接交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是 ．
（2）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 ．
（3）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
9．（2024秋•红谷滩区月考）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，并求出点的坐标；
（3）若直线与抛物线交于点，且点位于第四象限，当时，直接写出的值．
10．（2024春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△中，
即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即、、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
【简单应用】
（1）如图4，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值．
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，与关于直线对称，连接，的最小值就是线段 的长度，则的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形中，，，在，上分别找一点、当周长最小时， ．
【拓展应用】
如图6，是一个港湾，港湾两岸有、两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠岸处装货，再停靠岸处装货，最后到达码头．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
11．（2025•陕西模拟）（1）如图①，点、点在线段的同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小（不需要说明理由）．
（2）如图②，菱形的边长为6，对角线，点，在上，且，求的最小值．
（3）如图③，四边形中，，，，四边形的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
12．（2024•崂山区一模）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营、，他总是先去营，再到河边饮马，之后再去营，如图 ①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上
，
．
在中，，即最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把、在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中为与的交点，即、、三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图 ④，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．
求的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，与关于直线对称，连接交于，则的最小值就是线段 的长度，的最小值是 ．
如图⑤，已知的直径为4，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是 ；
如图⑥，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点为坐标原点，点与点分别为线段，的中点，点为上一动点，求：的最小值，并写出取得最小值时点坐标．
13．（2024•凤阳县模拟）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形的直角边长为2，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式的最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点，抛物线的顶点为．
（1）分别求抛物线与直线的解析式；
（2）点为轴上的一个动点，连接，，当的值最小时，求点的坐标；
（3）点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交直线于点，连接，当将分为面积比为的两个三角形时，求点的横坐标．
15．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，顶点为点，点关于直线的对称点为点．
（1）如图①，若点是轴上一动点，当取得最小值时，求点的坐标；
（2）如图②，连接，点是轴上一动点，连接，，求周长的最小值；
（3）如图③，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，求四边形周长的最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、．其对称轴交轴于点，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上的动点，当周长取得最小值时，过作的平行线，在第一象限内交抛物线于点，在直线上有一动点，求的最小值；
（3）点为直线上的一点（点不与点重合），在抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标，不存在，说明理由．
17．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点、为抛物线对称轴上的动点．
（1）求点、、的坐标；
（2）当取得最大值时，求此时点的坐标及最大值；
（3）若，当取得最小值时，求此时点、的坐标及最小值．
18．（2025•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
19．（2025•绥中县二模）如图，二次函数的图象过点和，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点，使的长度最短，求出的坐标．
（3）动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，点以每秒4个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当，两点相遇时，它们都停止运动．设，同时从点出发秒时，的面积为．请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
20．（2024•西安模拟）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）点是直线上方抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交直线于点，作于点，点、是线段上两个动点，且，连接、．当的周长最大时，求的最小值；
（2）如图2，连接，点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将沿翻折，且线段的中点恰好落在线段上，将绕点逆时针旋转得到，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
41．（2025秋•泰山区期末）如图，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上找一点，使得的周长最小，在备用图中画出图形并求出点的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点且为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线经过，，代入即可得抛物线表达式为，由，得，用待定系数法即可得直线表达式为；
（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的周长最小，由，，可得直线表达式为，从而可得；
（3）分两种情况：①以、为边，此时平移到时，即平移到，即得；②以、为边，同理可得．
【解答】解：（1）抛物线经过，，
，解得，
抛物线表达式为，
，，
，
设直线表达式为，
，解得，
直线表达式为；
（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，如图：
连接，此时的周长最小，
，、关于轴对称，
，
，
，
设直线表达式为，
则，解得，
直线表达式为，
令得，
；
（3）存在，理由如下：
①以、为边，如图：
四边形是平行四边形，
平移到时，即平移到，
；
②以、为边，如图：
四边形是平行四边形，
平移到时，即平移到，
；
综上述所：以点、、、为顶点且为一边的四边形是平行四边形，则的坐标为或．
【点评】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形周长的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是“将军饮马”模型的应用和用平移的方法求得坐标．
42．（2025秋•思明区校级期中）如图，抛物线经过点，点，点．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点为抛物线上一点，连接，若直线分四边形的面积为的两部分，求点的坐标．
（3）点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值及此时点的坐标．
【分析】（1）将点，，代入，即可求解析式；
（2）设与交于点，分两种情况讨论：①当时，，求出，直线的解析式为，即可求，；②当时，，求出，此时为轴，不合题意；
（3）过点作，且，连结，，则四边形是平行四边形，所以 当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，求出的解析式为，即可求出，此时四边形的周长最小值为．
【解答】解：（1）将点，，代入，
得，
解得，
，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）如图1，设与交于点，
①当时，，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
解得或（舍，
，；
②当时，，，
，
，，
，
此时为轴，不合题意；
综上所述：点坐标为，；
（3）如图2，过点作，且，连结，，
四边形是平行四边形，
、关于直线对称，
，
四边形的周长，
，，
，
，
四边形的周长，
当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，
，
，
，
设的解析式为，
，
，
，
当时，，
，
此时四边形的周长最小值为．
【点评】本题考查二次的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用轴对称和平行四边形的性质求最短距离是解题的关键．
43．（2025秋•诸暨市期中）如图，二次函数图象与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的顶点坐标是，且经过．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最短？若存在，求出的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入即可得；
（2）先求出、、，即可的面积；
（3）先求出点关于对称轴对称的点的坐标，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点，， 在一条直线上时，最短，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后将点的横坐标代入即可得．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）当时，有，
解得或，
，，
，
当时，有，
，
，
的面积；
（3）存在，理由如下：
二次函数的对称轴为直线，
点关于对称轴对称的点的坐标为，
由对称性得：，
则，
由两点之间线段最短可知，当点，，在一条直线上时，最短，
设直线的函数解析式为，
把，代入，
得，
解得，
，
取，则，
．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
44．（2025春•崂山区期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是所求的位置．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
， ，
．
在△，
，
即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图4，等腰直角中，，平分交于，点是上一个动点，点是上一个动点，请在图5中画出的值最小时的位置．（可用三角尺）
【分析】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在上截取，连接，可证得、关于对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．
【解答】证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△，
，
即最小．
故答案为：，，；
拓展应用：如图，在上截取，连接，过作于点，交于点，在上另取一点，连接，在上取点，连接，
，平分，
垂直平分，
，，
，
，
，
点即为所求．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及垂线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．
45．（2025•福山区模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线经过抛物线上两点，．已知点，的横坐标分别为，且满足，直线的表达式为．
（1）求的值及抛物线的表达式；
（2）设点是直线上一动点，问：点在什么位置上时，的周长最小？求出点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点，．若点是直线上一个动点，当点恰好是线段的中点时，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线过点可求的坐标，由直线也过点即求出的值；得到的值即有直线的关系式，即能求与轴交点的坐标，又由轴且其横坐标满足，即得到抛物线对称轴，再把点坐标代入抛物线关系式得方程组，解得、的值即可．
（2）由于点在直线上运动，要求的是的最小值，、是定点，故寻找或关于直线的对称点．由得与关于直线对称，则有，当点、、在同一直线上时有最小值．求直线上时的横坐标，即为的坐标．计算与的和即为周长最小值．
（3）先根据题意设点、、坐标，利用为中点的等量关系求出点、坐标．再对菱形四个顶点位置作讨论：①以为菱形的边，此时又分两种情况，分别是点在点左右侧的讨论．当在左侧时，根据菱形性质和与轴夹角为易求的坐标；当在右侧时，根据对称性即求出的坐标．②以为菱形对角线，利用对角线互相垂直平分的性质即求出点坐标．
【解答】解：（1）当时，抛物线，
，
点在直线上，
，
直线与轴交点为，，解得：，
，
点在抛物线上，
①，
，
轴，点、关于抛物线对称轴对称，
，
抛物线对称轴为：直线，
②，
联立方程①②解得：，
抛物线的表达式为．
（2）连接，如图1，
，点是直线上一动点，
、关于直线对称，
，
当点、、在同一直线上时，最短，
当时，解得：，
此时，，
，
，
周长最小值为：．
（3）存在满足条件的点，
设，，则，，
点是中点，
，
，
解得：，（舍去），
，，，
①若为菱形的边，菱形中，点在点左侧，如图2，
延长交轴于点，
，，，
，，
，
，，
，，
②若为菱形的边，菱形中，点在点右侧，如图3，
根据与图2的对称关系可得，，
③若为菱形的对角线，菱形中，如图4，
设与交于点，
，，，
轴，，
，
，
，
，．
当、为邻边时，可得．
综上所述，满足条件的点坐标为，或，或，或．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，将军饮马的最值问题，解一元二次方程，菱形的性质．其中第（3）题对菱形存在性的讨论，要对固定顶点连线即作为边或对角线进行讨论，再根据菱形性质得到边的关系．
46．（2025•宝应县一模）已知抛物线经过点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，代入即可；
（2）四边形的面积最大就是面积最大，设横坐标为，表达面积，求出其取最大值时的即可得坐标；
（3）、为定点，为上动点，的周长最小即是最小，是“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，则即是的最小周长，此时与的交点即为，求出其坐标即可．
【解答】解：（1）将，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
（2）如答图
连接，过作轴交于，
由抛物线的解析式为可得，
点，，
，
，
四边形的面积最大即是最大，
设直线解析式为，
将、代入得：
，解得，，
直线解析式为，
设，则，
，
，
当时，最大，也就是四边形的面积最大，
此时；
（3）如答图2，
、为定点，为上动点，的周长最小即是最小，是“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接交于，则即为使的周长最小的点，
由抛物线的解析式为可得顶点，
设直线解析式为，
将，代入可得：
，解得，，
直线解析式为，
线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，，，
，解析式为：，
设直线解析式为，
将代入得，
直线解析式为，
由，解得，
，．
【点评】本题考查二次函数解析式，图象及最大（小值问题，解题的关键是求出相关点坐标及直线解析式．
47．（2025秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）代数应用：求代数式的最小值；
（3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是 ．
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案；
（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可；
（3）作点关于直线的对称点，作于交于，连接，根据等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为，
作交的延长线于，
由题意得，，，
的最小值，
故答案为：；
（2）构造图形如图4所示，，，，于，于，，
则，
代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于．
则，，，
所求代数式的最小值是5；
（3）如图3，作点关于直线的对称点，作于交于，连接，
则，，
△为等边三角形，
的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
48．（2025•李沧区一模）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营，．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，则的和最小．
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．
理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
， ， ．
在△中，，，即最小．
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．
由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】
（1）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连接交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是 ．
（2）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 ．
（3）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到△，分别连接，，，则的最小值为 ．
【分析】【模型介绍】由轴对称的性质和三角形的三边关系即可得出答案；
【模型应用】（1）连接交于，则有最小值，由正方形的性质得出，，，则，由勾股定理求出即可；
（2）由侧面展开图和轴对称的性质以及勾股定理即可得出答案；
（3）由菱形的性质得到，，由平移的性质得到，，证四边形是平行四边形，得，得的最小值的最小值，由平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【解答】【模型介绍】
解：理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△中，，
，即最小．
故答案为：，，；
【模型应用】
解：（1）连接交于，如图④所示：
则有最小值；
四边形是正方形，
，，，
，
为的中点，
，
，
即的最小值为；
故答案为：；
（2）把图⑤的半个侧面展开为矩形，如图⑤所示：
作点关于的对称点，连接交于，作于，则，
，，蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为，
，
，
，
又圆柱形玻璃杯底面周长为16，
，
，
故答案为：17；
（3）在边长为2的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到△，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，如图⑥所示：
则的长度即为的最小值，
，，
，，
，
，
作于，则，
，
，，，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，圆柱的侧面展开图，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等知识；本题综合性强，正确作出图形是解题的关键．
49．（2024秋•红谷滩区月考）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，并求出点的坐标；
（3）若直线与抛物线交于点，且点位于第四象限，当时，直接写出的值．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，，在抛物线上，用待定系数法可得，抛物线的解析式为；
（2）连接交直线于，根据、关于对称轴直线对称，可得此时最小，由直线为，即可得；
（3）作的中点，直线交抛物线于，由是等腰直角三角形，可得直线是线段的垂直平分线，，，故在直线上，且直线为，由可得，，代入即得：．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，，在抛物线上，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）连接交直线于，如图：
、关于对称轴直线对称，
，
而、、共线，
此时最小，
在中，令得，令得或，
，，
设直线为，
则，解得，
直线为，
令得，
；
（3）作的中点，直线交抛物线于，如图：
由（2）知：，
是等腰直角三角形，
是的中点，
直线是线段的垂直平分线，，，
，
在直线上，
设直线为，则，
，
直线为，
由得或，
点位于第四象限，
，，
将，代入得：
，
解得．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型、等腰三角形等知识，解题的关键是熟悉“将军饮马”模型，求出点坐标．
50．（2024春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在△中，
即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即、、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
【简单应用】
（1）如图4，在等边中，，，是的中点，是上的一点，求的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，与关于直线对称，连接，的最小值就是线段 的长度，则的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形中，，，在，上分别找一点、当周长最小时， ．
【拓展应用】
如图6，是一个港湾，港湾两岸有、两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠岸处装货，再停靠岸处装货，最后到达码头．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【分析】【简单应用】
（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；
（2）作关于和的对称点，，连接，交于，交于，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
【拓展应用】分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：，
故答案为：；；
【简单应用】（1）由等边三角形的轴对称性可知，与关于直线对称，连接，
的最小值就是线段的长度，
，
则的最小值是，
故答案为：；；
（2）如图5，作关于和的对称点，，连接，交于，交于，
则即为的周长最小值，
，
，
，，
且，，
，
故答案为：100；
【拓展应用】如图6，分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，
则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程，
由轴对称的性质可知，，，，，
，
，
答：货船行驶的水路最短路程为千米．
【点评】本题考查的是轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键．
51．（2025•陕西模拟）（1）如图①，点、点在线段的同侧，请你在直线上找一点，使得的值最小（不需要说明理由）．
（2）如图②，菱形的边长为6，对角线，点，在上，且，求的最小值．
（3）如图③，四边形中，，，，四边形的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图①中，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接．则点即为所求的点．
（2）如图②中，作，使得，连接交于，由四边形是平行四边形，推出，推出，根据两点之间线段最短可知，此时最短，由四边形是菱形，在中，根据计算即可．
（3）如图③中，连接、，在上取一点，使得．首先证明，再证明当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大．
【解答】解：（1）如图①中，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接．则点即为所求的点．
（2）如图②中，作，使得，连接交于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
根据两点之间线段最短可知，此时最短，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
，
．
的最小值为．
（3）如图③中，连接、，在上取一点，使得．
，，
，
、、、四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
四边形的周长，
，
当最大时，四边形的周长最大，
当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大，易知的最大值，
四边形的周长最大值为．
【点评】本题考查四边形综合题、轴对称、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆、圆的直径最大等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
52．（2024•崂山区一模）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营、，他总是先去营，再到河边饮马，之后再去营，如图 ①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上
，
．
在△中，，即最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把、在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中为与的交点，即、、三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图 ④，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．
求的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，与关于直线对称，连接交于，则的最小值就是线段 的长度，的最小值是 ．
如图⑤，已知的直径为4，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是 ；
如图⑥，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点为坐标原点，点与点分别为线段，的中点，点为上一动点，求：的最小值，并写出取得最小值时点坐标．
【分析】（1）利用对称性确定出点的位置，用三角形的三边关系加以证明；
（2）①由正方形的对称性确定出的位置，②利用圆的对称性确定出点的位置，③根据平面坐标系的对称性确定出点的位置，利用勾股定理求解即可；
【解答】解：（1）理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，，
直线是点，的对称轴，点，在上
，
．
在△中，，即最小
故答案为：，，；
（2）模型应用
①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，与关于直线对称，连接交于
则的最小值就是线段的长度，的最小值是．
在正方形中，，
点是中点，
，
根据勾股定理得，，
即：的最小值，
故答案为：，；
②如图⑤，
由圆的对称性可知，与关于直径对称，连接交于，则的最小值就是线的长度，
点是的中点，
，
的直径为4，
，
在△中，，
的最小值是．
故答案为，
③如图⑥，
由平面坐标系中的对称性可知，与关于直径轴对称，连接交轴于，则的最小值就是线的长度，
一次函数的图象与，轴分别交于，两点，
，，
，，
与关于直径轴对称，
，
，
的最小值为，
，，
直线的解析式为，
．
【点评】此题是一次函数函数综合题，主要考查了正方形的对称性，圆的对称性，函数解析式的确定，勾股定理，解本题的关键是找到距离之和最小的交点．
53．（2024•凤阳县模拟）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形的直角边长为2，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式的最小值．
【分析】（1）作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小．连接，先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点关于的对称点，过作于，交于．此时的值最小．通过证明△是等边三角形，根据等边三角形的性质求解；
（3）将求代数式的最小值转化为轴对称最短路线问题．
【解答】解：（1）如图1所示，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小．连接．
，
，
，
，
的最小值．
故答案为：；
（2）如图2，作点关于的对称点，过作于，交于．此时的值最小．
．
点与点关于对称
又，
，
△是等边三角形
，，
在△中，，，
；
（3）构造图形如图3所示，
其中：，，，，于，于．
，
所求的最小值就是求的最小值．
作点关于的对称点，过作垂直的延长线于．则，，
所求代数式的最小值是5．
【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，同时考查了勾股定理及等边三角形的判定和性质，难度较大．
54．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点，抛物线的顶点为．
（1）分别求抛物线与直线的解析式；
（2）点为轴上的一个动点，连接，，当的值最小时，求点的坐标；
（3）点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交直线于点，连接，当将分为面积比为的两个三角形时，求点的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用配方法求得抛物线顶点的坐标，利用将军饮马模型，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点为所求的点，即此时的值最小；利用待定系数法求得直线的解析式，令，则点坐标可得；
（3）过点作于点，设直线交轴于点，设点，则点，，，用含的代数式表示出，的长度，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用相似三角形的判定与性质列出关于的比例式，解方程就看得出结论；②当时，利用①中的方法解答即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，，
，
解得：．
抛物线的解析式为；
直线经过点，
，
，
直线的解析式为；
（2），
．
联立，
解得：或，
，．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，
则点为所求的点，即此时的值最小．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，．
（3）过点作于点，设直线交轴于点，如图，
设点，则点，，，
，
，，，
，，
①当时，
则，
，
，
，
，
解得：．
②当时，
则．
，
，
，
，
解得：．
综上，点的横坐标为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
55．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，顶点为点，点关于直线的对称点为点．
（1）如图①，若点是轴上一动点，当取得最小值时，求点的坐标；
（2）如图②，连接，点是轴上一动点，连接，，求周长的最小值；
（3）如图③，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，求四边形周长的最小值．
【分析】（1）作点关于轴的对称点，则，，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时，的值最小，求出的直线解析式即可求点坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，连接，，当、、、共线时，的值最小，此时四边形的周长最小，最小值为．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
解得或，
，，，，
，
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为点，
，
作点关于轴的对称点，则，，
连接交轴于点，连接，
，
当、、三点共线时，的值最小，
设的直线解析式为，
，
解得，
，
；
（2），
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，
，
，，
周长，
周长的最小值为；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，
连接，，
，，
，
、、、共线时，的值最小，此时四边形的周长最小，
，，
，，
，
，
四边形的周长最小值为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
56．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、．其对称轴交轴于点，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上的动点，当周长取得最小值时，过作的平行线，在第一象限内交抛物线于点，在直线上有一动点，求的最小值；
（3）点为直线上的一点（点不与点重合），在抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标，不存在，说明理由．
【分析】（1）将点、代入，即可求解；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，当、、三点共线时，周长的周长最小，求出，，再由题意求出，，过点作轴交于点，则有，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长；
（3）设，，由（1）（2）知，，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将点、代入，
，
，
；
（2），
对称轴为直线，
，，
令，则，
解得或，
，
（2）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，
，
周长，
当、、三点共线时，周长的周长最小，
，对称轴为直线，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
设的直线解析式为，
将，代入，可得，
，
联立，
解得或，
点在第一象限，
，
，，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，
的最小值为；
（3）存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线的解析式为，
，
，
，
设，，
由（1）（2）知，，，，
①当为平行四边形的对角线时，
，
（舍或，
，；
②当为平行四边形的对角线时，
，
（舍或，
，；
③当为平行四边形的对角线时，
，
或，
，或，，
综上所述：点的坐标为，或，或，．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，胡不归求最短距离，轴对称求最短距离是解题的关键．
57．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点、为抛物线对称轴上的动点．
（1）求点、、的坐标；
（2）当取得最大值时，求此时点的坐标及最大值；
（3）若，当取得最小值时，求此时点、的坐标及最小值．
【分析】（1）令，求，令，求，；
（2）连接延长交对称轴于点，此时有最大值；
（3）分两种情况：当点在点上方时，过点作，过点作，作点关于对称轴的对称点，连接，当、、共线时，的值最小；当点在点上方时，过点作，过点作，当、、共线时，的值最小；分别求解即可．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
或，
，；
（2）如图1，连接延长交对称轴于点，
，此时有最大值，
，
的最大值为，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
对称轴为直线，
；
（3）如图2，当点在点上方时，
过点作，过点作，
四边形为平行四边形，
，
，
，
作点关于对称轴的对称点，连接，
，
当、、共线时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
设的解析式为，
，
，
，
，
；
如图3，当点在点上方时，
过点作，过点作，
四边形为平行四边形，
，
，
，
作点关于对称轴的对称点，连接，
，
当、、共线时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为6，
设的解析式为，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或1，．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，分类讨论，数形结合是解题的关键．
58．（2025•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线，交对称轴于．
（1）如图1，点为第一象限内的抛物线上一动点，当面积最大时，在对称轴上找一点，在轴上找一点，使得最小，求此时点的坐标及的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点，设原抛物线的对称轴与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，在平面上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．直接写出的坐标．
【分析】（1）先求得点，，，的坐标，得到，的长，记对称轴于轴的交点为点，得到的长，然后由证明，利用相似三角形的性质求得的长，得到点的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，过点作轴，交直线于点，设点的坐标，得到点的坐标，然后得到的面积，进而利用二次函数的性质求得面积最大时点的坐标，作点和点关于对称轴的对称点和，连接，与对称轴交于点，则的最小值即为的长，然后求得点和的坐标，进而得到的长和直线的解析式，最后求得点的坐标；
（2）先求得直线的解析式，记与的交点为点，则，点为和的中点，然后利用同角三角函数值相等求得的长，过点作轴于点，利用同角的三角函数值相等求得和的长，进而得到点的坐标，然后求得点的坐标，由点和点的坐标求得的长，即的长，设平移的距离为，然后求得点和点的坐标，进而得到，的长，根据菱形的性质进行分类讨论，列出方程求得的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，
解得：或，
点，，，，
点的橫坐标为，
点的坐标为，，
，，
如图，记对称轴于轴的交点为点，则，，
，
，
，
，
，
，即，
，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
过点作轴，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当，即点的坐标为，时，面积最大，
作点和点关于对称轴的对称点和，连接，与对称轴交于点，与轴交于点，则的最小值即为的长，
，，
，，，，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，，的最小值为．
（2）设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
记与的交点为点，则，点为和的中点，
，即，
，，，
，
，
过点作轴于点，则，
，，
，，
，
，，
，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
点，，点，，
，即，
设平移的距离为，则点的坐标为，，点的坐标为，，
，，，
①以和为邻边时，，
，
解得：，
点的坐标为，；
②以和为邻边时，，
，
解得：或，
点的坐标为，或，；
③以和为邻边时，，
，
解得：或（舍，
点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为，或，或，或，．
【点评】本题考查二次函数综合题，一次函数的应用，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
59．（2025•绥中县二模）如图，二次函数的图象过点和，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点，使的长度最短，求出的坐标．
（3）动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，点以每秒4个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当，两点相遇时，它们都停止运动．设，同时从点出发秒时，的面积为．请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即得二次函数的关系式为；
（2）由，得抛物线的对称轴是直线，与轴交点，根据点关于直线的对称点是，可知与对称轴的交点即为点，使的长度最短，用待定系数法得直线的解析式为，即得；
（3）①根据题意得：，，，可得，两点相遇的时间为秒，（Ⅰ）当，即在上，在上时，；（Ⅱ）当，即在上，在上时，过作轴于，设点的坐标为，，由，可得，即得；（Ⅲ）当，即在上，在上时，过作轴于，过作轴于，设点的标为，，可得，设点的坐标为，，由，得，即得．
【解答】解：（1）二次函数的图象过点，，
，解得，
二次函数的关系式为；
（2），
抛物线的对称轴是直线，与轴交点，
点关于直线的对称点是，
与对称轴的交点即为点，使的长度最短，如图：
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得
直线的解析式为，
当时，，
；
（3）①根据题意得：，，，
，两点相遇的时间为（秒，
（Ⅰ）当，即在上，在上时，如图：
，，
；
（Ⅱ）当，即在上，在上时，过作轴于，如图：
设点的坐标为，，
轴，
，
又，
，
而，
，
，
；
（Ⅲ）当，即在上，在上时，过作轴于，过作轴于，如图：
设点的标为，，同（Ⅱ）可得，
设点的坐标为，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型，相似三角形的性质及应用等知识，解题的关键是分类画出图形，用相似三角形对应边成比例解决问题．
60．（2024•西安模拟）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接
（1）点是直线上方抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交直线于点，作于点，点、是线段上两个动点，且，连接、．当的周长最大时，求的最小值；
（2）如图2，连接，点是线段的中点，点是线段上一动点，连接，将沿翻折，且线段的中点恰好落在线段上，将绕点逆时针旋转得到△，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
【分析】（1）先求出点、、的坐标，可求直线解析式且得到．由轴和可得是等腰直角三角形，则最大时其周长最大．设点坐标为，则点，可列得与的函数关系式，配方可求出其最大值，得到此时的坐标和的长，即得到长．求最小值转化为求最小值．先作关于直线的对称点，再通过平移得，构造“将军饮马”的基本图形求解．
（2）由翻折得，，再由为中点证得，得，又中点在上，可证△，所以有即四边形为菱形，得．设点坐标为即可列方程求得．再根据题意把点、求出．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，要进行分类讨论，结合图形，利用平行四边形对边平行的性质，用平移坐标的方法即可求得点．
【解答】解：（1）
抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点，
直线解析式：，
轴，
，
是等腰直角三角形，
设点，则点，其中
时，有最大值为
的周长最大时，，，，，
，点可看作点向右平移个单位、向下平移个单位
如图1，作点关于直线的对称点，过作且
，，即，
当、、在同一直线上时，为最小值
最小值为
（2）连接、，设与交点为（如图
△沿翻折得△
，，，
为中点
，
是直角三角形，
为中点
在与△中
△
四边形是平行四边形
设，
解得：，（舍去）
点坐标为，
绕点逆时针旋转得到△
，，，
、横坐标差为，纵坐标差为
、横坐标差为，纵坐标差为
当有平行四边形时（如图，点横坐标为，纵坐标为
当有平行四边形时（如图，点横坐标为，纵坐标为
当有平行四边形时（如图，点横坐标为，纵坐标为
综上所述，点的坐标为或，或
【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，轴对称求最短路径问题，旋转，轴对称性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的判定．考查了分类讨论、几何变换、转化思想．第（1）题关键是通过轴对称和平移构造“将军饮马”的基本图形求线段和最小值，第（2）题解题关键是发现四边形的特殊性，再利用方程思想求点坐标；已知三点求构成平行四边形的第4个点坐标是常见题型，但此题已知的三点坐标数值都不是整数，计算量较大．