2026年中考数学压轴题专项练习-圆中的新定义问题（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-圆中的新定义问题（学生版+名师详解版），共76页。试卷主要包含了概念认识，已知，，给出如下定义等内容，欢迎下载使用。
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是 ；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
2．（2025•西城区校级模拟）在平面内，为线段外的一点，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在点，，，中，线段的直角点是 ；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
①若，如图2所示，若是线段的直角点，且点在直线上，求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，的半径为1，若上存在线段的等腰直角点，求出的取值范围．
3．（2025•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是 ．（填序号）
①矩形②菱形③正方形
（2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
（3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，
①求证：四边形是“婆氏四边形”；
②当时，求半径的最小值．
4．（2025秋•西城区期末）给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合．在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是 ；
（2）点是轴上一动点，的直径为1，
①若点与点关于双对合，求的取值范围；
②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围．
5．（2025•钟楼区模拟）概念认识
平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线上有、、三点，以为对角线作正方形，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将正方形记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”．
数学理解
（1）在平面内有、两点，以点为圆心，5为半径作，将点记为图形，若，则 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作圆．
①将点记为图形，则 ．
②将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围．
推广运用
（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则 ．
6．（2025秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”．
（1）若．
①点，，中是关于的“折弦点”的是 ；
②若直线．上只存在一个关于的“折弦点”，求的值；
（2）点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围．
7．（2025秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，，若，则称为的环绕点．
（1）当半径为1时，
①在，，，中，的环绕点是 ；
②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；
（2）的半径为2，圆心为，以，为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．
8．（2025秋•海淀区校级月考）对于平面直角坐标系中的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：
当时，过点（或点向直线（或作垂线段，则称此垂线段为点关于线段的“测度线段”，垂足称为点关于线段的“测度点”．如图所示，线段和为点关于线段的“测度线段”，点与点为点关于线段的“测度点”．
（1）如图，点、，
①点的坐标为，直接写出点关于线段的“测度线段”的长度 ；
②点为平面直角坐标系中的一点，且，则下列四个点：，，，中，是点关于线段的“测度点”的是 ；
（2）直线与轴、轴分别交于点与点，
①点为平面直角坐标系中一点，且，若一次函数上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为 ；
②的半径为，点与点均在上，且线段．点与点位于线段的异侧，且，若在线段上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为 ．
9．（2025•盐城一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 ．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
（3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
10．（2025秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过外一点画它的两条切线，切点分别为、，若，则称点为的“限角点”．
（1）在平面直角坐标系中，当半径为1时，在①，②，③，④中，的“限角点”是 ；（填写序号）
（2）如图2，的半径为，圆心为，直线交坐标轴于点、，若直线上有且只有一个的“限角点”，求的值．
（3）如图3，、、，的半径为，圆心从原点出发，以个单位的速度沿直线向上运动，若三边上存在的“限角点”，请直接写出运动的时间的取值范围．
11．（2025秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图1，若点在坐标原点，点，①点的“对应点” 的坐标为 ；②若点的“对应点” 的坐标为，则点的坐标为 ；
（2）如图2，已知的半径为1，是上一点，点，若，为外一点，点为点的“对应点”，连接．①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示）；②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为 （用含的式子表示）
12．（2025•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①③，四边形是矩形，和都与边相切，与边相切，和都经过点，经过点，3个圆都经过点．在这3个圆中，是矩形的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
13．（2025秋•海淀区校级期末）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，的圆心为，半径为1，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线
上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
14．（2025春•海淀区校级月考）定义：、分别是两条线段和上任意一点，线段长度的最小值叫做线段与线段的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当，时，如图1，线段与线段的“冰雪距离”是 ．
②当时，线段与线段的“冰雪距离”是1，则的取值范围是 ．
（2）如图2，若点落在圆心为，半径为1的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为，结合图象，求的最小值；
（3）当的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为1，线段的中点为．求点随线段运动所走过的路径长．
15．（2025•东城区校级开学）对于和上的一点，若平面内的点满足：射线与交于点（点可以与点重合），且，则点称为点关于的“生长点”．
已知点为坐标原点，的半径为1，点．
（1）若点是点关于的“生长点”，且点在轴上，请写出一个符合条件的点的坐标 ；
（2）若点是点关于的“生长点”，且满足，求点的纵坐标的取值范围；
（3）直线与轴交于点，且与轴交于点，若线段上存在点关于的“生长点”，直接写出的取值范围是 ．
16．（2025•东城区校级开学）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，称线段长度的最小值为图形，的“近距离”，记为．特别地，若图形，有公共点，规定，如图，点，，．
（1）如果的半径为2，那么 ， ；
（2）如果的半径为，且，求的取值范围；
（3）如果是轴上的动点，的半径为1，使，直接写出的取值范围为 ．
17．（2025秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的反称点的定义如下：若在射线上存在一点，满足，则称为点关于的反称点，如图为点及其关于的反称点的示意图．
（1）当的半径为1时，
①分别判断点，，，关于的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；
②将沿轴水平向右平移1个单位为，点在直线上，若点关于的反称点存在，且点不在坐标轴上，则点的横坐标的取值范围 ；
（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴，轴分别交于点、，点与点分别在点与点的右侧2个单位，线段、线段都是水平的，若四边形四边上存在点，使得点关于的反称点在的内部，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
18．（2025•常州一模）在平面直角坐标系中，的半径是，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值成为线段到的“优距离”．
（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是 ；在点，，，中，连接点与点 的线段长度等于线段到的“优距离”；
（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为 ；
（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是 ；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
19．（2025•石景山区二模）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点．
（1）当的半径为2时，
①在，，，三个点中，是的二倍点的是 ；
②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求的取值范围．
（2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，直接写出的取值范围．
20．（2025秋•苏州期末）定义：如图①，的半径为，若点在射线上，且．则称点是点关于的“反演点”．
（1）如图①，设射线与交于点，若点是点关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；
（2）如图②，若点是点关于的“反演点”，过点作，交于点，连接，求证：为的切线；
（3）如图③，在中，，，，以为直径作，若点为边上一动点，点是点关于的“反演点”，则在点运动的过程中，线段长度的取值范围是 ．
1．（2025•淮安模拟）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是 ， ；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①，，
的线段垂直平分线与轴的交点为，，
是线段的融合点；
，，
设直线的垂直平分线与轴的交点为，
，
解得，
直线的垂直平分线与轴的交点为，，
不是线段的融合点；
，，
设直线的垂直平分线与轴的交点为，
，
解得，
直线的垂直平分线与轴的交点为，
是线段的融合点；
故答案为：，；
②线段的融合点在以、为圆心，为半径的圆及内部，
，，
，
当与圆相切时，或，
时，直线上存在线段的融合点；
（2）由（1）可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，
，，
，
上有的融合点，
圆与圆、有交点，
圆与圆、圆的公共区域为以为圆心2为半径，以为圆心6为半径的圆环及内部区域，
当时，的最大值为，最小值为，
；
当时，的最大值为，最小值为，
；
综上所述：的取值范围为或．
2．（2025•西城区校级模拟）在平面内，为线段外的一点，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在点，，，中，线段的直角点是 、 ；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
①若，如图2所示，若是线段的直角点，且点在直线上，求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，的半径为1，若上存在线段的等腰直角点，求出的取值范围．
【解答】解：（1），，
，
是线段的直角点；
，，
，
，，
，
在以为圆心，为直径的圆上，
，
是线段的直角点；
故答案为：、；
（2）①，，
，
．
根据题意，若点为线段的直角点，则需要分三种情况：
当点为直角顶点，过点作于点，过点作轴于点，
，
，
设，
，
，解得，
；
当点为直角顶点，过点作于点，过点作轴于点，
，
，
设，
，
，解得，
；
当点为直角顶点，取的中点，
则，
设的横坐标为，则，
由直角三角形的性质可知，，
，解得，
，
综上，点的坐标为或或．
②如图，以为边向下作正方形，连接，交于点，则，，是线段的等腰直角点．
根据点的运动可知，点在直线上运动，在直线上运动，在直线上运动．
设与相交于点，与相交于点，
，．
由此可得出临界情况如图：
如图3（1）中，当与相切时，；
如图3（2）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如图3（3）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如图3（4）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
综上，符合题意的的取值范围：或．
3．（2025•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是 ③ ．（填序号）
①矩形②菱形③正方形
（2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
（3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，
①求证：四边形是“婆氏四边形”；
②当时，求半径的最小值．
【解答】（1）解：平行四边形为的内接四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
四边形是“婆氏四边形”，
，
矩形是正方形，
故答案为：③；
（2）解：，，，
，，
为直径，
，
四边形是“婆氏四边形”，
，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
；
（3）①证明：如图2，设，相交于点，
，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
四边形是“婆氏四边形”；
②解：过点作交于，过作交于，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
当时，有最小值，
半径的最小值为．
4．（2025秋•西城区期末）给定图形和点，，若图形上存在两个不重合的点，，使得点关于点的对称点与点关于点的对称点重合，则称点与点关于图形双对合．在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）在点，，中，与点关于线段双对合的点是 ， ；
（2）点是轴上一动点，的直径为1，
①若点与点关于双对合，求的取值范围；
②当点运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；
当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；
当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；
当点是点的中点时，对应点为；当点是点的中点时，对应点为；
、与点关于线段双对合，
故答案为：、；
（2）①设，
，，
点关于点对称点为，点关于点对称点为，
点与点关于双对合，
点关于点的对称点在以为圆心，
的直径为1，
点关于点的对称点在以点为圆心，1为半径的圆上，点关于点的对称点在以为圆心，1为半径的圆上，如图所示，
点与点关于双对合，
当圆与圆有交点，
，
，
解得；
②，，，，
点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，
上任意一点关于点对称点在阴影区域，
上存在一点与上任意一点关于双对合，
阴影区域与圆有公共交点，
阴影部分是由边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图1时，，解得；
如图2时，，解得；
时，上存在一点与上任意一点关于双对合；
过点作交于，直线交轴于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
直线与平行，
，
，
如图3时，，解得，
如图4时，，解得，
时，上存在一点与上任意一点关于双对合；
综上所述：或时，上存在一点与上任意一点关于双对合．
5．（2025•钟楼区模拟）概念认识：
平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线上有、、三点，以为对角线作正方形，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将正方形记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”．
数学理解：
（1）在平面内有、两点，以点为圆心，5为半径作，将点记为图形，若，则 3或7 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作圆．
①将点记为图形，则 ．
②将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围．
推广运用：
（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则 ．
【解答】解：（1）如图1中，
，
，
，
，．
故答案为：3或7．
（2）①如图2中，连接交于．
，
，
，
，
．
故答案为：3．
②如图，设直线与相切于，．连接，．
，，，，
，，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，
观察图象可知满足条件的的值为且．
（3）如图中，当点在的右边时．
，
，
，
．
如图中，当点在的外侧时，由题意可知，，．
综上所述，满足条件的的值为8或．
6．（2025秋•昌平区期末）已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”．
（1）若．
①点，，中是关于的“折弦点”的是 ， ；
②若直线．上只存在一个关于的“折弦点”，求的值；
（2）点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①连接，
点是弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
，
点在以为圆心，1为半径的圆上，
点，在该圆上，
点，是关于的“折弦点”，
故答案为：，；
②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，
设圆心，
直线上只存在一个关于的“折弦点”，
直线与圆相切，
过点作垂直直线交于点，
直线与轴交于点，，与轴交于点，
，，，
，
，
，
，
解得；
（2）由（1）可知，点在以为直径的圆上，
直线上存在关于的“折弦点”，
直线与圆相交或相切，
过点作垂直直线交于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
当点与点重合时，有最大值，此时，
，
解得或（舍；
当点与点重合时，有最小值，此时，
，
解得（舍或；
时，直线上存在关于的“折弦点”．
7．（2025秋•东城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，，若，则称为的环绕点．
（1）当半径为1时，
①在，，，中，的环绕点是 ；
②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；
（2）的半径为2，圆心为，以，为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，，
当时，
平分，
，
，，
，
，
以为圆心，为半径作．
观察图象可知：当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），
故答案为：；
②如图中，设小圆交轴的正半轴于，
当直线经过点时，，
当直线与大圆相切于（在第二象限）时，连接，
由题意，，，
所以，，，
，，
，
观察图象可知，当时，线段上存在的环绕点，
根据对称怀可知：当时，线段上存在的环绕点，
综上所述，满足条件的的值为或；
（2）如图中，不妨设，，则点直线上，
，
点在射线上运动，作轴；
，，
，，
以，为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，
观察图象可知：以，为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上，
当的圆心在轴的正半轴上时，假设以为圆心，4为半径的圆与射线相切于，连接，
，
，
，是的切线，
．
，
，
，
当的圆心在轴的负半轴上时，且经过点时，，
观察图象可知，当时，在图象上存在的环绕点．
8．（2025秋•海淀区校级月考）对于平面直角坐标系中的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：
当时，过点（或点向直线（或作垂线段，则称此垂线段为点关于线段的“测度线段”，垂足称为点关于线段的“测度点”．如图所示，线段和为点关于线段的“测度线段”，点与点为点关于线段的“测度点”．
（1）如图，点、，
①点的坐标为，直接写出点关于线段的“测度线段”的长度 4 ；
②点为平面直角坐标系中的一点，且，则下列四个点：，，，中，是点关于线段的“测度点”的是 ；
（2）直线与轴、轴分别交于点与点，
①点为平面直角坐标系中一点，且，若一次函数上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为 ；
②的半径为，点与点均在上，且线段．点与点位于线段的异侧，且，若在线段上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为 ．
【解答】解：（1）①、，
轴，
点关于线段的“测度线段”的长度为4，
故答案为：4；
②过点作交于点，过点作交于点，
，
、点在以为直径的圆上，
设的中点为，
点、，
，，
点关于线段的“测度点”在以为圆心，为半径的圆上，且不与、重合，
，，，中，，，，，
，是点关于线段的“测度点”，
故答案为：，；
（2）①当时，，
，
当时，，
，
的中点，，
由（1）可知，点关于线段的“测度点”在以为圆心，5为半径的圆上，且不与、点重合，
一次函数上存在点关于线段的“测度点”，
直线与圆相切或相交，
过点作垂直直线交于点，直线与轴的交点为，过点作交于交轴于点，过点作交于点，
，
的直线解析式为，
，，
，
，
，
时，一次函数上存在点关于线段的“测度点”，
故答案为：；
②由（1）可知，点关于线段的“测度点”在以为直角的半圆上，且不与、重合，
当，且与圆相切时，有最小值，
由①可得，，
解得，
当在上时，有最大值，，
时，线段上存在点关于线段的“测度点”，
故答案为：．
9．（2025•盐城一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 ， ．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
（3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）如图，，，
，，
点不是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
，
，
，
点是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
则，
，
，
，
不是点关于点的锐角旋转点；
，，作轴于点，
则，
，
，
是点关于点的锐角旋转点；
综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，，
故答案为：，．
（2）在轴上取点，当直线经过点时，可得，
当直线经过点时，则，
解得：，
当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上，
过点作直线，垂足在第四象限时，如图，
则，，
，
当时，取得最小值，
，
，
．
（3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，，
，
解得，
观察图象可知，．
10．（2025秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过外一点画它的两条切线，切点分别为、，若，则称点为的“限角点”．
（1）在平面直角坐标系中，当半径为1时，在①，②，③，④中，的“限角点”是 ②④ ；（填写序号）
（2）如图2，的半径为，圆心为，直线交坐标轴于点、，若直线上有且只有一个的“限角点”，求的值．
（3）如图3，、、，的半径为，圆心从原点出发，以个单位的速度沿直线向上运动，若三边上存在的“限角点”，请直接写出运动的时间的取值范围．
【解答】解：（1）半径为1，
当为圆的“限角点”时，，
，，，，
的“限角点”是，，
故答案为：②③；
（2）的半径为，
当为圆的“限角点”时，，
设直线上有且只有一个的“限角点” ，
，此时，
令，则，
，
令，则，
，，
，
，
，
，
或；
（3）圆心从原点出发，以个单位的速度沿直线移动，
圆沿轴正方向移动个单位，沿轴正方向移动个单位，
移动后点坐标为，
设边上的点是圆的“限角点”，
则，
在圆移动的过程中，当时，，
解得或，
当时，边上开始出现的“限角点”，
当圆移动到点在圆上时，，，
解得或，
时，边上存在的“限角点”，
当圆再次移动到点在圆上时，，，
解得或，
当时，三边上开始又要出现的“限角点”；
设直线的解析式为，直线与直线的交点设为点，
，
解得，
解得，
联立方程组，
解得，
，，
当时，，
解得或，
当，边上存在的“限角点”，
时，边上存在的“限角点”；
综上所述：或时，边上存在的“限角点”．
11．（2025秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图1，若点在坐标原点，点，①点的“对应点” 的坐标为 ；②若点的“对应点” 的坐标为，则点的坐标为 ；
（2）如图2，已知的半径为1，是上一点，点，若，为外一点，点为点的“对应点”，连接．①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示）；②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为 （用含的式子表示）
【解答】解：（1）①，
点绕点逆时针旋转得到点，
点关于点的对称点为，
；
故答案为：；
②的坐标为，
点关于的对称点为，
将绕点顺时针旋转得到点，
过作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
△，
，，
．，
故答案为：；
（2）①过点作轴于点，过点作交于点，
由（1）可得△，
，，
，，
，，
，
点，
；
②点绕点逆时针旋转后得到点，
，
，
，
在圆上，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
设点关于点的对称点为，则，
，
点在以为圆心为半径的圆上，
的最大值为，的最小值为，
长的最大值与最小值的积为，
故答案为：．
12．（2025•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①③，四边形是矩形，和都与边相切，与边相切，和都经过点，经过点，3个圆都经过点．在这3个圆中，是矩形的第Ⅰ类圆的是 ① ，是矩形的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
【解答】解：（1）由定义可得，①的矩形有一条边与相切，点、在圆上，
①是第Ⅰ类圆；
②的矩形有两条边、与相切，点在圆上，
②是第Ⅱ类圆；
故答案为：①，②；
（2）如图1，设，，切点为，过点作交于，交于，连接，
设，则，，
由垂径定理可得，，
在中，，
解得；
如图2，设，，切点为，过点作交于，交于，连接，
设，则，，
由垂径定理可得，，
在中，，
解得；
综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或；
如图3，，，过点作交于点，交于点，连接，
设边与的切点为，连接，
，
设，则，则，
，
，
，
在中，，
解得，
第Ⅱ类圆的半径是；
（3）①如图4，
第一步，作线段的垂直平分线交于点，
第二步，连接，
第三步，作的垂直平分线交于点，
第四步，以为圆心，为半径作圆，
即为所求第Ⅰ类圆；
②如图5，
第一步：作的平分线；
第二步：在角平分线上任取点，过点作，垂足为点；
第三步：以点为圆心，为半径作圆，交于点，连接；
第四步：过点作，交于点；
第五步：过点作的垂线，交的平分线于点；
第六步：以点为圆心，为半径的圆，即为所求第Ⅱ类圆．
13．（2025秋•海淀区校级期末）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是 ①③ （请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，的圆心为，半径为1，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线
上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）由题意①③是的关联图形，
故答案为①③．
（2）如图1中，
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态为时，连接为切点），
，，且，
是等腰直角三角形，
，，
，，
把，代入中，得到，
同法可得当直线是临界状态时，，
点的横坐标的取值范围为．
（3）如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点与点重合，此时，得到的最大值为2，
如图中，当点在点是上方时，直线，交于点，当圆心在轴上时，点得到的最小值为，
综上所述，，．
14．（2025春•海淀区校级月考）定义：、分别是两条线段和上任意一点，线段长度的最小值叫做线段与线段的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当，时，如图1，线段与线段的“冰雪距离”是 1 ．
②当时，线段与线段的“冰雪距离”是1，则的取值范围是 ．
（2）如图2，若点落在圆心为，半径为1的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为，结
合图象，求的最小值；
（3）当的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为1，线段的中点为．求点随线段运动所走过的路径长．
【解答】解：（1）①当，时，，．
线段与线段的冰雪距离为．
故答案为：1．
②当时，点到直线的距离为1．
若线段与线段的冰雪距离是1，则点到的垂线的垂足在线段上，
，即．
故答案为：．
（2）如图，为圆与轴的切点，，满足．
当在右侧时，冰雪距离．
当在弧上时，冰雪距离为点到的距离，
结合图象可知，当且仅当处在点时，取最小值．
（3）如图，当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为1．
当点位于图中弧、线段、弧时，线段与线段的“冰雪距离”始终为1．
当线段由图中向上平移到时，或由向上平移到时，线段与线段的“冰雪距离”始终为1．
对应中点所走过的路线长为：．
15．（2025•东城区校级开学）对于和上的一点，若平面内的点满足：射线与交于点（点可以与点重合），且，则点称为点关于的“生长点”．
已知点为坐标原点，的半径为1，点．
（1）若点是点关于的“生长点”，且点在轴上，请写出一个符合条件的点的坐标 （答案不唯一） ；
（2）若点是点关于的“生长点”，且满足，求点的纵坐标的取值范围；
（3）直线与轴交于点，且与轴交于点，若线段上存在点关于的“生长点”，直接写出的取值范围是 ．
【解答】解：（1）根据“生长点”定义，点的坐标可以是，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）如图，在轴上方作射线，与交于，使得，并在射线上取点，使，并由对称性，将关于轴对称，得，则由题意，线段和上的点是满足条件的点．
作轴于，连接，
，即．
是的直径，
，即．
．
，
设，则，，
，解得，即点的纵坐标为．
又由，为，可得点的纵坐标为，
故在线段上，点的纵坐标满足：，
由对称性，在线段上，点的纵坐标满足：，
点的纵坐标的取值范围是：或．
（3）如图，
是上异于点的任意一点，延长到，使得，
的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
当直线与相切于点时，连接，
在中，，
直线与轴夹角为，
，，
，
，
，
，
当直线经过时，满足条件，此时，
观察图象可知：当时，线段上存在点关于的“生长点”，
根据对称性，同法可得当时，也满足条件．
故答案为：或．
16．（2025•东城区校级开学）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，称线段长度的最小值为图形，的“近距离”，记为．特别地，若图形，有公共点，规定，如图，点，，．
（1）如果的半径为2，那么 ， ；
（2）如果的半径为，且，求的取值范围；
（3）如果是轴上的动点，的半径为1，使，直接写出的取值范围为 ．
【解答】解：（1）的半径为2，，，，
，，
点在外，点在上，
，，
故答案为：；0；
（2）如图1，过点作于点，
在中，
，
．
在中，，
，
，
的取值范围是或；
（3）如图2，过点作于点，
由（2）知，．
，
当点在点的上边时，，
此时，，
，
即，
解得；
当点与点重合时，，
此时，
当点在点的下边时，，
，
．
，的半径为1，
．
．
综上所述：．
故答案为：．
17．（2025秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的反称点的定义如下：若在射线上存在一点，满足，则称为点关于的反称点，如图为点及其关于的反称点的示意图．
（1）当的半径为1时，
①分别判断点，，，关于的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；
②将沿轴水平向右平移1个单位为，点在直线上，若点关于的反称点存在，且点不在坐标轴上，则点的横坐标的取值范围 且 ；
（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴，轴分别交于点、，点与点分别在点与点的右侧2个单位，线段、线段都是水平的，若四边形四边上存在点，使得点关于的反称点在的内部，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）①，
，
点不存在反称点；
，，
，
当，时，，
点存在反称点，；
，
，
是点的反称点，
点存在反称点；
②点在以为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且点在直线上，
当时，过点作轴交于点，
，
直线与轴的交点为，与轴的交点，
，
，
，
此时点坐标为，，
当点在点处时，，
此时，
，，
，关于对称的点为，，
点的横坐标的取值范围且，
故答案为：且；
（2）点在以为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且点在四边形的边上，当时，，此时与点重合，
令，则，
，
令，则，
，
，
，
，
，
，；
，
，
当点与点重合时，，此时与点重合，
；
圆心的横坐标的取值范围为．
18．（2025•常州一模）在平面直角坐标系中，的半径是，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值成为线段到的“优距离”．
（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是 平行 ；在点，，，中，连接点与点 的线段长度等于线段到的“优距离”；
（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为 ；
（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是 ；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
【解答】解：（1）平移得到，
，
同理，，
，
由图可得，连接点与点的线段长度等于线段到的“优距离”，
故答案为：平行，，；
（2）如图1，过作轴于，则，
，，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
设直线交轴于，
轴，
轴，
，
由（1）可得，平移，使对应点落在上，此时，且，
这样的对应线段有两条，分别位于圆心点两侧，
所以当在如图位置时，线段的长度是到的“优距离”，
过作，分别交于，交于
，
，
，
连接，
，
，
在△中，，
过作轴于，
，
，
，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
设，过作轴于，
在△中，，
，
或3，
，
，
，
故答案为：；
（3）由（2）可知，经过平移，对应点落在圆上，，，
符合条件的只有两条，并且位于点两侧，
如图2，根据垂线段最短，当时，最小，
，，
四边形为平行四边形，
，
为矩形，
，
令，则，
，
同理，，
，
为等腰直角三角形，
过作，分别交于，交于，连接，
，
在△中，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
即的最小值为．
19．（2025•石景山区二模）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点．
（1）当的半径为2时，
①在，，，三个点中，是的二倍点的是 、 ；
②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求的取值范围．
（2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点，
的半径为2时，的二倍点到的距离小于2，且大于1，
①，，，，
，，，
的二倍点的是、，
故答案为：、．
②若，则在第二象限的图象是一条射线（不含端点），不可能所有点都是的二倍点，故，
又时，，即直线过定点，过作于，如图：
由，可得，
而可得，
一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，一次函数与轴的交点是，
且
，
解得；
（2）①当从左侧沿正方向移动时，线段上存在点为的二倍点，如图
则满足，且，
，且，
解得，且或，
结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，
②当移动到右侧，线段上存在点为的二倍点，如图：
则满足，且，
，且，
解得或，且，
结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，
综上所述，线段上存在点为的二倍点，则或．
20．（2025秋•苏州期末）定义：如图①，的半径为，若点在射线上，且．则称点是点关于的“反演点”．
（1）如图①，设射线与交于点，若点是点关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；
（2）如图②，若点是点关于的“反演点”，过点作，交于点，连接，求证：为的切线；
（3）如图③，在中，，，，以为直径作，若点为边上一动点，点是点关于的“反演点”，则在点运动的过程中，线段长度的取值范围是 ．
【解答】（1）证明：由已知得，
，
，
，
点为线段的一个黄金分割点；
（2）证明：，
，
，
，
，
△，
，
，
为的切线；
（3）解：如图③，过点作于，连接，
，
的半径为3，即，
点是点关于的“反演点”，
，
，
，
，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
则．
故答案为：．