2026年中考数学压轴题专项练习-圆中的定值问题（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-圆中的定值问题（学生版+名师详解版），共74页。试卷主要包含了阅读理解，【证明体验】等内容，欢迎下载使用。
（1）已知点，，
①在点，，中，原点关于点的“起落点”是 ；
②点在直线上，若点是原点关于线段的“起落点”，求点的横坐标的取值范围；
（2）若的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“起落点”，且对应的“起落三角形”是底边长为2的等腰三角形，请直接写出的取值范围．
2．（2025•罗湖区一模）问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点．（不与点、重合）
求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点．使．连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接，．
（1）的长为 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
3．（2024•荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点、的坐标分别是，、
，，则、这两点间的距离为．如，，则．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴．
（1）到点的距离等于线段长度的点的轨迹是 ；
（2）若动点满足到直线的距离等于线段的长度，求动点轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点的轨迹与直线交于、两点，分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：
①是外接圆的切线；
②为定值．
4．（2024•滨州模拟）如图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，
（1）若，求证：平分；
（2）若，求的长度；
（3）证明：无论点在弧上的位置如何变化，为定值．
5．（2024•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形，，，，现有一个动点从点出发，向轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点以相同的速度．从点出发，向轴正方向运动，作直线，交射线于，设两运动点运动的时间为秒．
（1）求证：；
（2）求出直线的解析式（用含的式子表示）；
（3）求为何值时，为等腰三角形；
（4）当在线段上运动时，过、、三点的一个圆交于，点关于的对称点为，在第一象限内是否存在一个点，并且到的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由．
6．（2024•江东区模拟）如图，已知过动点，并与反比例函数的图象交于、两点（点在点的左边），以为直径作反比例函数的图象相交的半圆，圆心为，过点作轴的垂线，垂足为，并于半圆交于点．
（1）当时，求、两点的坐标．
（2）求证：无论取何值，线段的长始终为定值．
（3）记点关于直线的对称点为，当四边形为菱形时，求的值．
7．如图，是轴负半轴上一动点，坐标为，其中，以为圆心，4为半径作，交轴于，，交轴正半轴于，连接，，过点作平行于的直线交轴于，交于．
（1）当时，求的长；
（2）当与相似时，求的值；
（3）当在轴负半轴上运动时，
①试问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；如不发生变化，求出这个比值；
②求的最大值．
8．（2025春•岳麓区校级月考）如图，为平行四边形的一条对角线，，的外接圆与边交于点（点不与点，重合），过点作于点，直线交的延长线于点，连接．
（1）求证；
（2）若的半径为5，，求的长；
（3）若，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值．
9．（2025•浙江三模）如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长，交于点，作交于，连结．
（1）如图①，当点为的中点时，求证：；
（2）如图②，若，，请用含有的代数式表示；
（3）在（2）的条件下，若，
①求证：；
②求的值．
10．（2025•北仑区二模）【证明体验】
（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，，．求证：；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值．
11．（2025•长安区校级模拟）在如图1所示的平面直角坐标系中，为原点，的圆心坐标为，半径为．直线与轴，轴分别交于点，，点在线段上运动（包括端点）．
（1）直线与的夹角是 ；
（2）当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）当直线与相切时，求的度数；
（4）如图2，直线与相交于点，，为线段的中点，当点在线段上运动时，点也相应运动，请直接写出点所经过路径的长度．
12．（2025•嵊州市模拟）在平面直角坐标系中，已知点，经过点，过点作轴的平行线交于点．
（1）如图1，求线段的长．
（2）点为轴正半轴上的一动点，点和点关于直线对称，连结，．直线，分别交于点，．直线交轴于点，交直线于点．
①当点运动到如图2位置，连结，．求证：．
②在点运动过程中，当时，求点的坐标．
13．（2025•河源一模）如图，扇形的半径，圆心角，点是上异于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点，在线段上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点是上运动时，在，，这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．
14．（2025•道里区校级开学）如图，中，弦、交于点，连接、、，．
（1）求证：；
（2）连接，，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接交于点，的弦交于点，，，，求的长．
15．（2025•龙岗区校级一模）如图①，已知是的外接圆，，为上一点，连接交于点．
（1）连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点恰好是中点，求证：；
（3）如图③，将分别沿、翻折得到、，连接，若为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
16．（2025•宣州区校级自主招生）如图，已知：正方形中，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的交边于点（不与点、重合），交边于点．设，．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在点运动的过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示的周长；如果不变化，请求出的周长；
（3）以点为圆心，为半径作圆，在点运动的过程中，讨论与的位置关系，并写出相应的的取值范围．
17．（2025•黔西南州模拟）如图，已知为的直径，为弦．，与交于点，将沿翻折后，点与圆心重合，延长至，使，连接．
（1）求的半径；
（2）求证：是的切线；
（3）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点．交于点与、不重合）．求的值．
18．（2025•宁波模拟）如图①，点是正方形的对角线上的一点，射线与的外接圆的另一个交点为，与射线相交于点．
（1）当点与点重合时，的值为 ；
（2）如图②，当是外接圆的直径时，求的值：
（3）若为等腰三角形，求的值．
19．（2025秋•硚口区校级月考）如图1，是的直径，是的切线，为切点，点在上，，弦与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长；
（3）如图2，若，求的值；
（4）如图3，若，与交于点，与交于点，连接，则 ．
20．（2025春•海曙区校级期末）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且，．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，连结，取中点，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接，．若平分交于点，求线段的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
21．（2025•浙江自主招生）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．
求证：为定值．
22．（2024•越秀区校级开学）如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴，动点到直线的距离等于线段的长度．
（1）求动点满足的关于的函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）若（1）中的动点的图象与直线交于、两点（点在点的左侧），分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：①是外接圆的切线；②为定值．
23．如图，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连接，过点作交于点，过点作交于．
（1）求证：为等边三角形．
（2）当，求和的值．
（3）设，
①用的代数式表示，并写出你的解题过程．
②对于的任意的长度，都有的值是一个定值，求这个定值．
24．已知在平面直角坐标系中，的半径是2，交坐标轴于，，，四点．
（1）如图1，点是的中点，连接，并延长交于，连接、，求证：平分；
（2）如图2，点是上任意一点（不含，，连接，过作于，连接，，求的度数；
（3）如图3，点是上一动点，连接，，，，求的值．
25．（2025春•深圳月考）问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点（不与点、重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点，使，连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接、．
（1）的长为 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
1．（2025春•崇川区校级月考）在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“起落点”，称为点关于图形的“起落三角形”．
（1）已知点，，
①在点，，中，原点关于点的“起落点”是 ， ；
②点在直线上，若点是原点关于线段的“起落点”，求点的横坐标的取值范围；
（2）若的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“起落点”，且对应的“起落三角形”是底边长为2的等腰三角形，请直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①根据“起落点”的定义，要使的是点关于点的“起落点”，
如图1，
根据各个点的坐标，
，，，则：
，
，是点关于点的“起落点”，
，，，则：
，
，是点关于点的“起落点”，
，
不是点关于点的“起落点”，
故答案为：，．
②如图2，过点，分别向作垂线，垂足分别为，，过点作轴于点，
点是原点关于线段的“起落点”，
线段上存在一点，使得，
点在线段上，
设，则：
，，
，
，
，
，即：
，
解得：，
的横坐标为，
同理可得的横坐标为，
点的横坐标的取值范围为，
（2）根据题意，记线段上的点是，当上存在一点，使的时候，则：
线段上存在点关于的“起落点”，
“起落三角形”是等腰直角三角形，
点一定在线段的垂直平分线上，
点、点都是圆上的点，线段是的弦，
圆心也在线段的垂直平分线上，
和是共线的，且它们之间的距离是固定的，
等腰直角三角形的底为2，
到的距离是1，
的半径是3，弦长是2，
根据垂径定理可以算出圆心到线段的距离是，
，
根据直线，求出，、，
如图3，
当点在点的位置上的时候，
①，，
根据勾股定理，求得：
，则：
，
②同上，则：
，
当在的位置上时，
③，则：
，
④，则：
，
综上，的范围是：或．
2．（2025•罗湖区一模）问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点．（不与点、重合）
求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点．使．连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接，．
（1）的长为 1 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
【解答】证明：如图1，在上截，
，
，
在和中，
，
，
，，
为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即为定值；
（1）如图2，连接，过作于点，
，，轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）的值不变，
如图2，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
如图3，在上取一点，使，连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即的值不变．
3．（2024•荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点、的坐标分别是，、
，，则、这两点间的距离为．如，，则．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴．
（1）到点的距离等于线段长度的点的轨迹是 以为圆心，1个单位长度为半径的圆 ；
（2）若动点满足到直线的距离等于线段的长度，求动点轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点的轨迹与直线交于、两点，分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：
①是外接圆的切线；
②为定值．
【解答】解：（1）设到点的距离等于线段长度的点坐标为，
，
直线交轴于点，
，
点关于轴的对称点为点，
，
，
点到点的距离等于线段长度，
，
故答案为：以为圆心，1个单位长度为半径的圆；
（2）过点作直线平行于轴，
直线的解析式为，
，，
，点到直线的距离为：，
动点满足到直线的距离等于线段的长度，
，
动点轨迹的函数表达式，
（3）①如图，
设点点，
动点的轨迹与直线交于、两点，
，
，
，，
过、作直线的垂线，垂足分别是、，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，为斜边，
取的中点，
点是的外接圆的圆心，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
是外接圆的切线；
②证明：点点在直线上，
，，
，，是的外接圆的切线，
，，
，
即：为定值，定值为2．
4．（2024•滨州模拟）如图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，
（1）若，求证：平分；
（2）若，求的长度；
（3）证明：无论点在弧上的位置如何变化，为定值．
【解答】证明：（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
平分；
（2），
，
，
，
，
，即是等边三角形，
在中，；
（3），
，
，
，又，
，
，即，即为定值．
5．（2024•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形，，，，现有一个动点从点出发，向轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点以相同的速度．从点出发，向轴正方向运动，作直线，交射线于，设两运动点运动的时间为秒．
（1）求证：；
（2）求出直线的解析式（用含的式子表示）；
（3）求为何值时，为等腰三角形；
（4）当在线段上运动时，过、、三点的一个圆交于，点关于的对称点为，在第一象限内是否存在一个点，并且到的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1所示：连接．
点和点运动的速度相同，
．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
（2）设点的坐标为，则点的坐标为．
设直线的解析式为．
将点的坐标代入得：，解得：，
直线的解析式为．．
（3）当时，如图2所示：连接，过点作，垂足为，则四边形为矩形．
四边形为矩形，
．
，，
，即．
，
．
，即，解得（负值已舍去）．
当时，点与点重合，点与点重合，此时，为等腰直角三角形．
如图3所示：当点位于轴的下方时，为钝角．
要使为等腰三角形，则．
．
，
．
．
，，
．
又，，
假设不成立．
当点位于轴的下方时，不能构成等腰三角形．
综上所述，当或时，为等腰三角形．
（4）如图4所示：连接、，过点作，垂足为．
由题意可知点的坐标为，的坐标为．
，
为圆的直径．
．
由（1）可知：．
，．
，即．
为等腰直角三角形．
．
平分．
．
．
点与点关于对称，
点在上，且．
，，
．
在和中，
，
．
，．
．
将代入直线的解析式得：．
．
．
设点的坐标为，则，．
将代入得：，即．
点的轨迹为双曲线的一个部分．
第一象限内不存在一个点，使到的距离为定值．
6．（2024•江东区模拟）如图，已知过动点，并与反比例函数的图象交于、两点（点在点的左边），以为直径作反比例函数的图象相交的半圆，圆心为，过点作轴的垂线，垂足为，并于半圆交于点．
（1）当时，求、两点的坐标．
（2）求证：无论取何值，线段的长始终为定值．
（3）记点关于直线的对称点为，当四边形为菱形时，求的值．
【解答】解：（1）把代入中得：，
则 解得：，，
，；
（2）如图1，连接、，
，
，
中，当时，，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是反比例函数上的点，即
无论取何值，线段的长始终为定值；
（3）如图3，连接，设与交于，
由（2）得：，
，
四边形为菱形，
，
的纵坐标为1，
当时，，，
，
把代入中得：，
．
7．如图，是轴负半轴上一动点，坐标为，其中，以为圆心，4为半径作，交轴于，，交轴正半轴于，连接，，过点作平行于的直线交轴于，交于．
（1）当时，求的长；
（2）当与相似时，求的值；
（3）当在轴负半轴上运动时，
①试问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；如不发生变化，求出这个比值；
②求的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，
，
，，
在中，．
（2）如图2中，
，
，
与相似，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①是定值．理由如下：
如图3中，作于．
，
，
，
，
，
易证，
，
，
，
，
．
是定值．
②，
，
，
，
，
．
，
时，定值最大，最大值为36．
8．（2025春•岳麓区校级月考）如图，为平行四边形的一条对角线，，的外接圆与边交于点（点不与点，重合），过点作于点，直线交的延长线于点，连接．
（1）求证；
（2）若的半径为5，，求的长；
（3）若，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，并延长交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
的半径为5，
，即，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：如图，过点作于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，
，
解得：或0（舍去），
当时，的值是一个定值，为．
9．（2025•浙江三模）如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长，交于点，作交于，连结．
（1）如图①，当点为的中点时，求证：；
（2）如图②，若，，请用含有的代数式表示；
（3）在（2）的条件下，若，
①求证：；
②求的值．
【解答】（1）证明：如图①，连接，
点为的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，则，
，
，
，
；
（3）①证明：如图②，延长至点，使，连接，，
则，
又，
，
，
，
即点为的中点，
点为的中点，
，
即；
②解：，
，
，
又，
，
，
即，
设，，
则，
解得或（舍去），
，，
又，
同理得，
，
过点作于点，
，
，，
．
10．（2025•北仑区二模）【证明体验】
（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，，．求证：；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值．
【解答】（1）证明：，
．
．
，，，
．
．
（2）解：延长至点，使，连接，如图，
点为的中点，
．
，．
．
．
．
，
．
．
，
．
，
，
．
，，
．
．
设，则，，
．
．
解得：或（负数不合题意，舍去）．
；
（3）连接，，过点作于点，如图，
的半径为5，，
，
为等边三角形．
．
．
在中，
，
．
在中，
．
．
四边形是圆的内接四边形，
．
，
．
．
．
11．（2025•长安区校级模拟）在如图1所示的平面直角坐标系中，为原点，的圆心坐标为，半径为．直线与轴，轴分别交于点，，点在线段上运动（包括端点）．
（1）直线与的夹角是 90 ；
（2）当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）当直线与相切时，求的度数；
（4）如图2，直线与相交于点，，为线段的中点，当点在线段上运动时，点也相应运动，请直接写出点所经过路径的长度．
【解答】解：（1）如图1，延长交于，过点作轴于点，
函数图象与轴交于点，与轴交于点，
时，，时，，
，，
，
又，
，
，
，，
，
（2）要使为等腰三角形，
①当时，的坐标为，
②当时，由得：
点恰好是的中点，
点的坐标为，
③当时，则：
，
如图2，过点作交于点，连接，
在中，则：
，
，
点的坐标为，，
（3）如图3，当直线与相切时，
设右边的切点为，连接，则
，
由点的坐标为，可得：
，
，
，
，
，
同理可求得的另一个值为．
（4）由（3）可得：
点的运动路线是以点为圆心为与的交点），为半径的一段圆弧，
和是两个等圆，
，
点所过路径为的长度：．
12．（2025•嵊州市模拟）在平面直角坐标系中，已知点，经过点，过点作轴的平行线交于点．
（1）如图1，求线段的长．
（2）点为轴正半轴上的一动点，点和点关于直线对称，连结，．直线，分别交于点，．直线交轴于点，交直线于点．
①当点运动到如图2位置，连结，．求证：．
②在点运动过程中，当时，求点的坐标．
【解答】解：（1），，
，
即线段的长为5；
（2）①点和点关于直线对称，且轴，
，
即是等腰三角形，
，
又，
，
；
②连接，作轴于交于，过点作轴于，
，
，，
，
，
，
由①知，
，
，，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，，
，
，，
．
13．（2025•河源一模）如图，扇形的半径，圆心角，点是上异于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点，在线段上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点是上运动时，在，，这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：连接交于，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
（2）解：不变，
在矩形中，，
，
，
由题知，和随着点的移动而发生变化，
故在，，这三条线段中，长度不变且长度为1．
14．（2025•道里区校级开学）如图，中，弦、交于点，连接、、，．
（1）求证：；
（2）连接，，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接交于点，的弦交于点，，，，求的长．
【解答】（1）证明：延长并延长，交于点，连接，
（同弧所对的圆周角相等），
，
，
为直径，
，即，
，
，
；
（2）证明：连接；
（同弧所对的圆周角相等），
，
，
，
，即，
；
（3）解：连接，过点作于点，作于点，
由（2）可知，，
，，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
由（2）得，
，
，，
，
过点作于点，
由垂径定理得：，，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
同理可证，
．
15．（2025•龙岗区校级一模）如图①，已知是的外接圆，，为上一点，连接交于点．
（1）连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点恰好是中点，求证：；
（3）如图③，将分别沿、翻折得到、，连接，若为直径，请问是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1），
，
，，
；
（2）证明：点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
；
（3）是定值．
方法一：将分别沿、翻折得到、，
，，，
，
过点作于点，则，，，
连接并延长交于点，连接，则，
，
，
，，
，
，
，为定值．
方法二：连接，，
则，，
，，
，
．
16．（2025•宣州区校级自主招生）如图，已知：正方形中，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的交边于点（不与点、重合），交边于点．设，．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在点运动的过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示的周长；如果不变化，请求出的周长；
（3）以点为圆心，为半径作圆，在点运动的过程中，讨论与的位置关系，并写出相应的的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
四边形是正方形，
，
，
．
，
即，
，
，
，
点为边上一动点，
，
，
．
以点为圆心，为半径的交边于点（不与点、重合），
，
．
综上，关于的函数关系式为，的取值范围为；
（2）的周长不变，的周长为16．理由：
，
．
，
，
，
，
，
，
的周长，
的周长，
由（1）知：，
的周长；
（3）设的半径，则的半径，圆心距，
，
，
点始终在内，
两圆的位置关系不可能外离和外切，
当与相交时，
，
，
解得：，
故可得此时：；
②当与内切时，
，
，
解得：；
③当与内含时，
，
，
解得：．
综上，当与相交时，；
当与内切时，；
当与内含时，．
17．（2025•黔西南州模拟）如图，已知为的直径，为弦．，与交于点，将沿翻折后，点与圆心重合，延长至，使，连接．
（1）求的半径；
（2）求证：是的切线；
（3）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点．交于点与、不重合）．求的值．
【解答】（1）解：连接，
将沿翻折后，点与圆心重合，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
的半径为4；
（2）证明：，，，，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：连接并延长交于点，连接，
点为的中点，
，
，且，
，
，
．
18．（2025•宁波模拟）如图①，点是正方形的对角线上的一点，射线与的外接圆的另一个交点为，与射线相交于点．
（1）当点与点重合时，的值为 ；
（2）如图②，当是外接圆的直径时，求的值：
（3）若为等腰三角形，求的值．
【解答】解：（1）当与重合时，点、、共线，
正方形中，，
、相交于点，
，
则，
故答案为：；
（2）连接、，
是外接圆直径，
，
即，
，
，，，，
，
，
，
，
；
（3）由为等腰三角形知，只能是，
在的垂直平分线上，
过作于点，则，
连接、，作于点，
设，与相交于点，
设，则，
，
，且，
，
，
即，
解得：，
，
由勾股定理得，
是上的点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
整理得，
解得或（舍去），
．
19．（2025秋•硚口区校级月考）如图1，是的直径，是的切线，为切点，点在上，，弦与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长；
（3）如图2，若，求的值；
（4）如图3，若，与交于点，与交于点，连接，则 ．
【解答】（1）证明：连接，
为的切线，
，即，
，，
，，
，
即，
，
又是的半径，
为的切线；
（2）解：连接，
、为的切线，
，，
即，
，
，
，
，
即，
设，则，，
，
又为直径，
，
，
，
，
；
（3）解：连接交于点，连接、，
、为的切线，
，，
，，
，
，
即，
为中点，
设，则，，
在和中，
，
，
，
，
；
（4）解：连接、，过点作，
，且，
为等腰直角三角形，
设，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由（3）知，，
在中，，
，
连接，
，且为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
20．（2025春•海曙区校级期末）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且，．
（1）的度数为 120 ；
（2）如图2，连结，取中点，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接，．若平分交于点，求线段的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）如图1，连接，，
，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
故答案为120；
（2）由题可得，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，如图2，又为的中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为4，
故答案为4；
（3）如图3，连接，，
直径，
，
，
平分，
，
，
，
由（1）可得，，
；
证明：（4）由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，
由（1）可得，为等边三角形，
，
，
将绕点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，，三点共线，
，
过作于，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
21．（2025•浙江自主招生）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．
求证：为定值．
【解答】证明：连接，，
由题意得：是内心，
平分，平分，
，，
，
，
中，，
所在圆是个定圆，弦和半径都是定值，
为定值，
为定值．
22．（2024•越秀区校级开学）如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴，动点到直线的距离等于线段的长度．
（1）求动点满足的关于的函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）若（1）中的动点的图象与直线交于、两点（点在点的左侧），分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证：①是外接圆的切线；②为定值．
【解答】（1）解：过点作直线平行于轴，
直线的解析式为，
，，
，点到直线的距离为：，
动点满足到直线的距离等于线段的长度，
，
动点轨迹的函数表达式，
图象如图1所示：
（2）证明：①如图：
设点点，
动点的轨迹与直线交于、两点，
，
，
，，
过、作直线的垂线，垂足分别是、，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，为斜边，
取的中点，
点是的外接圆的圆心，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
是外接圆的切线；
②点点在直线上，
，，
，，是的外接圆的切线，
，，
，
即：为定值，定值为2．
23．如图，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连接，过点作交于点，过点作交于．
（1）求证：为等边三角形．
（2）当，求和的值．
（3）设，
①用的代数式表示，并写出你的解题过程．
②对于的任意的长度，都有的值是一个定值，求这个定值．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
．
，
．
，
，
．
．
为等边三角形；
（2）解：过点作于点，如图，
设，则，
．
，，
．
．
，
．
．
为等边三角形，
．
，
，．
．
；
．
（3）解：①．理由：
设，则，
，，
．
．
，
．
为等边三角形，
．
，
，．
．
②，
．
，
对于的任意的长度，都有的值是一个定值，
．
．
，
．
当时，．
这个定值是2．
24．已知在平面直角坐标系中，的半径是2，交坐标轴于，，，四点．
（1）如图1，点是的中点，连接，并延长交于，连接、，求证：平分；
（2）如图2，点是上任意一点（不含，，连接，过作于，连接，，求的度数；
（3）如图3，点是上一动点，连接，，，，求的值．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）如图2中，连接，交于．
于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图3中，连接、、、，在上取一点，使得．
如图2，连接、．
直径、互相垂直，
．
，，
，
，
，
同法可证，可得
，
，
同法可得：，即，
．
，
，即的为定值．
25．（2025春•深圳月考）问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点（不与点、重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程．
证明：在上截取点，使，连接．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接、．
（1）的长为 1 ．
（2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值．
【解答】解：证明：在上截，
，
，
在和中，
，
，
，，
为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即为定值；
（1）如图2，连接，过作于点，
，，轴，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）的值不变，
如图2，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
如图3，在上取一点，使，连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即的值不变．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/3 1:33:10；用户：微信用户；邮箱：rFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@；学号：47883804