2026年中考数学压轴题专项练习-隐形圆之对角互补作圆（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-隐形圆之对角互补作圆（学生版+名师详解版），共42页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
3．（2024秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 ．
4．（2025秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
5．（2025秋•双流区校级期中）如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则
（1）FM＝ ，
（2）tan∠MDE＝ ．
6．（2025•南京二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ．
7．（2024秋•松北区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
8．（2024春•句容市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．
9．（2024•南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD＝60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
现给出以下四个命题：
①∠GEF＝60°；②CD＝GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
10．（2025秋•简阳市 期中）如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
11．（2025•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）问题拓展：
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．
12．（2024秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
13．（2025•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 ；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
14．（2024•许昌二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想
张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD＝ BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
15．（2025秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
16．（2024•碑林区校级四模）问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
17．（2024秋•香坊区校级月考）如图，C为△ABD外一点，连接BC、CD、AC，过点A作AE⊥BC，BE＝CE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若∠ADB+∠BDC＝90°，求证：∠ABD＝∠ACD．
（3）在（2）的条件下，BD＝3CD，∠ACD＝60°，AB＝8，求BD长度．
18．（2025秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
19．（2025秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
20．（2025•碑林区校级模拟）问题提出：
（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 ．
问题探究：
（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2024秋•新乐市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
故选：B．
2．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【解答】解：如图取BE的中点K．连接AK、OK．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝90°，
∵EO⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∴四边形ABOE对角互补，
∴A、B、O、E四点共圆，
∵BK＝KE，
∴KA＝KB＝KO＝KE，
∴∠ABE＝∠AOE＝20°，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
3．（2024秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 4 ．
【解答】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．
∵DH⊥BH，
∴∠DHC＝90°，
∴四边形DACH对角互补，
∴A，C，H，D四点共圆，
∵∠DAC＝90°，CO＝OD，
∴OA＝OD＝OC＝OH，
∴A，C，H，D四点在以O为圆心的圆上，
∵AC＝AD，
∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAH＝90°，
∴BA＝AH，
∵∠BAH＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝∠HAD，
∵AC＝AD，AB＝AH，
∴△BAC≌△HAD（SAS），
∴BC＝DH，
∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝8，
∴BC＝4或﹣4（舍弃），
故答案为4．
4．（2025秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，
连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，则DF＝，
∵EF是△AOC的中位线，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为．
∴DE的最小值为．
5．（2025秋•双流区校级期中）如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则
（1）FM＝ ，
（2）tan∠MDE＝ ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝AB＝，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
∴＝
∴，
∴FG＝DF＝，
由折叠知，FM＝FG，
∴FM＝，
故答案为：；
（2）如图，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝45°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°＝∠BAD，
∴∠BAD+∠DEF＝180°，
∴点A，D，E，F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴DE＝EF＝DF＝，
连接GM，交EF于P，
由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，
∵DE⊥EF，
∴GM∥DE，
∴△FPG∽△FED，
∴＝＝，
∴PF＝EF＝，
∴PE＝EF﹣PF＝，
∵GM∥DE，
∴△MPN∽△DEN，
∴＝＝，
∴＝，
∴EN＝PE＝，
在Rt△DEN中，tan∠MDE＝＝＝，
故答案为：．
6．（2025•南京二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．
【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，
∴∠PCO＝∠PBO＝90°，
∴四边形CPBO对角互补，
点C、B在以OP为直径的圆上，
∵BC是这个圆的弦，
∴当BC＝OP＝5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．
故答案为5．
7．（2024秋•松北区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
【解答】解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，
∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．
利用勾股定理可得BH＝3，
根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．
∴CE＝BC＝2．
∴HE＝CH﹣CE＝．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．
所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，
所以∠AEB＝60°＝∠ADC，
∴四边形AECD对角互补，
∴点A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．
∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．
过点A作AM⊥DE于M点，
则AM＝AE＝．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，
∴AD＝2AM＝．
故答案为2．
8．（2024春•句容市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，
∵DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠EDC，
∵∠EDC+∠ADO＝90°，
∴∠DAF+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形ABEO对角互补，
∴A、B、E、O四点共圆，
取AE的中点K，连接BK、OK，作OM⊥CD于M．
则KB＝AK＝KE＝OK，
∵BA＝BO，
∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，
∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC＝1，
∴DF＝EC＝FC＝1，
∴DE＝＝，
∵△DFO∽△DEC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OD＝，OF＝，
∵•DO•OF＝•DF•OM，
∴OM＝，
∴MF＝＝，
∴CM＝1+＝，
在Rt△OMC中，OC＝＝，
故答案为．
9．（2024•南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD＝60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
现给出以下四个命题：
①∠GEF＝60°；②CD＝GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．
其中正确的命题是 ①②④ ．（写出所有正确命题的序号）
【解答】解：①∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠EGO＝∠EFO＝90°．
∴∠GEF+∠GOF＝180°．
∵∠GOF＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠GEF＝180°﹣120°＝60°．
故①正确．
②连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，如图所示．
∵∠EGO＝∠EFO＝90°，点O′是OE的中点，
∴O′G＝O′F＝OE．
∴点E、G、O、F在以点O′为圆心，O′O为半径的圆上．
延长GO′交⊙O′于R，连接RF．
则有∠GRF＝∠GEF＝60°．
∵GR是⊙O′的直径，∴∠GFR＝90°．
∴GF＝GR•sin∠GRF＝OE•sin60°＝OE＝OC＝CD．
故②正确．
③假设△EGF一定是等腰三角形，
∵∠GEF＝60°，∴△EGF一定是等边三角形．
∴EG与EF一定相等．
但E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），显然EG与EF不一定相等．
∴假设不成立．
故③错误．
④当点E运动到的中点时，
则有∠COE＝∠BOE．
∴EG＝EF．
∵∠GEF＝60°，
∴△EGF是等边三角形．
故④正确．
故答案为：①②④．
10．（2025秋•简阳市 期中）如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
【解答】解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝CD，
∴，
∵AD＝8，
∴AF＝4，
∴DF＝＝4，
∴FM＝FG＝；
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝45°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°＝∠BAD，
∴∠BAD+∠DEF＝180°，
∴点A，D，E，F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴DE＝EF＝DF＝2，
连接GM，交EF于P，
由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，
∵DE⊥EF，
∴GM∥DE，
∴△FPG∽△FED，
∴，
∴PF＝EF＝，
∴PE＝EF﹣PF＝，
∵GM∥DE，
∴△MPN∽△DEN，
∴，
∴，
∴EN＝PE＝，
在Rt△DEN中，，
故答案为：；．
三．解答题（共16小题）
11．（2025•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 40° ．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）问题拓展：
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°，
（2）如图2，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）①如图3
∵点B为抛物线的顶点，
∴点B的坐标为（1，3），
∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB＝∠CED＝45°，
∴CQ＝BC＝3，
∴OQ＝4，
∴点Q的坐标为（4，0），
②如图4，
Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，
∵直角三角板30°角的顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB＝∠CED＝60°，
∴CQ＝BC＝，
∴OQ＝1+，
∴把1+代入得y＝，
∴点P的坐标是（1+，）
Ⅱ、如图5，
当60°的角的顶点与点C重合时，
∵直角三角板60°角的顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上
∴点D、C、Q、E共圆，
∴∠CQB＝∠CED＝30°，
∴CQ＝BC＝3，
∴OQ＝1+3，
∴把1+3代入得y＝﹣，
∴点P的坐标是（1+3，﹣）
综上所述，点P的坐标是（1+，）或（1+3，﹣）．
12．（2024秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
【解答】（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．
∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，
∴∠F＝∠EHM，
∵AE＝HE，FA＝HM，
∴△EFA≌△EHM（SAS），
∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，
∵∠EAB＝∠FEH，
∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，
∴∠AEB＝∠BEM，
∵BE＝BE，EA＝EM，
∴△AEB≌△MEB（SAS），
∴AB＝BM，
∵BM＝BH+HM＝BH+AF，
∴AB＝AF+BH．
（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．
理由：∵NE平分∠FEH，
∴∠FEN＝∠HEN，
∵EF＝EH，EN＝EN，
∴△ENF≌△ENH（SAS），
∴NH＝FN．
②∵△ENF≌△ENH，
∴∠ENF＝∠ENH，
∵∠ENM＝α，
∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，
∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∵∠FGH＝180°﹣2α，
∴∠MNH＝∠FGH，
∵∠MNH+∠FNH＝180°，
∴∠FGH+∠FNH＝180°，
∴四边形FGHN对角互补，
∴F，G，H，N四点共圆，
∵NH＝NF，
∴＝，
∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．
13．（2025•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 45 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 CD+BD＝AD ；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
【解答】解：（1）①如图，在图1中．
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
又AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∵CD+DB＝EB+BD＝DE，
∴CD+DB＝AD；
故答案为45°，CD+DB＝AD；
（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD＝AD．
理由如下：
如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．
则∠DAE＝∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
又AD＝AE，AC＝AB，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，
∴BD﹣CD＝AD；
（3）由（2）知，△CDA≌△BEA，
∴∠CDA＝∠AEB，
∵∠DEA＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CDA＝∠AEB＝135°，
∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，
当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．
作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DA上截取一点H，使得CD＝DH＝1，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴HB＝CH＝，
∴AD＝BD＝DH+BH＝1+．
14．（2024•许昌二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD＝ BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意：△BAE≌△BCD，
∴AE＝CD，BE＝BD，
∴CD+AD＝AD+AE＝DE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD，
∴DC+AD＝BD，
故答案为．
（2）AD﹣DC＝BD．
证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBD．
∵∠BAE+∠AOB＝90°，∠BCD+∠COD＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DBC．又∵AB＝CB，
∴△CDB≌△AEB，
∴CD＝AE，EB＝BD，
∴△BD为等腰直角三角形，DE＝BD．
∵D＝AD﹣A＝AD﹣CD，
∴AD﹣DC＝BD．
（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．
此时DG⊥AB，DB＝DA，在DA上截取一点H，使得CD＝DH＝1，则易证CH＝AH＝，
∴BD＝AD＝+1．
15．（2025秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案为：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝4+2＝6，
∴BO＝CO＝3．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝3，
∴DE＝OF＝BD﹣BE＝1．
在Rt△BOE中，BO＝3，BE＝3，
∴OE＝DF＝3．
在Rt△AOF中，AO＝3，OF＝1，
∴AF＝，
∴AD＝AF+DF＝+3．
16．（2024•碑林区校级四模）问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 点P在⊙O上 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 点Q在⊙O外 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠APQ＝∠AOB＝45°，
∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，
∴点Q在⊙O外．
故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．
延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，
∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
易知HP＝HP′＝＝，
∴BH＝OA＝2，
∴BP′＝2﹣，PB＝2+．
（3）如图③中，存在．
作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，
∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，
∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
∵AB＝BG＝1，
∴AG＝，∵AD＝2，OE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，
设OP＝PF＝r，则OF＝r，OE＝EF﹣OF＝2﹣r，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴（）2+（2﹣r）2＝r2，
解得r＝4﹣或4+（舍弃），
∴BP＝GF﹣GB﹣PF＝4﹣1﹣r＝﹣1．
解法二：可以证明△AGP∽△PGD，推出＝．即GP2＝GA•GD，
∴（1﹣BP）2＝×，
∴BP＝﹣1．
17．（2024秋•香坊区校级月考）如图，C为△ABD外一点，连接BC、CD、AC，过点A作AE⊥BC，BE＝CE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若∠ADB+∠BDC＝90°，求证：∠ABD＝∠ACD．
（3）在（2）的条件下，BD＝3CD，∠ACD＝60°，AB＝8，求BD长度．
【解答】（1）证明：∵AE⊥CB，BE＝EC，
∴AB＝AC．
（2）证明：作∠BDC的角平分线交AE的延长线于M，作MG⊥BD于G，MF⊥DC交DC的延长线于F．
∵MD平分∠BDC，MG⊥DB，MF⊥DF，
∴MG＝MF，
∵DM＝DM，
∴Rt△DMG≌Rt△MDF，
∵AM垂直平分线段BC，
∴MB＝MC，
∴Rt△MBG≌Rt△MCF，
∴BG＝CF，∠FCM＝∠MBG，
∴B、D、C、M四点共圆，
∴∠MBE＝∠MDC，
∵∠ADB+∠BDM＝90°，∠MBE+∠BME＝90°，
∴∠BME＝∠ADB，
∴A、B、M、D四点共圆，
∴A、B、M、C、D五点共圆，
∴ABD＝∠ACD．
（3）解：在GD上截取GH＝GB，则MB＝MH＝MC，
∵BG＝GH＝CF，DG＝DF，
∴DH＝CD，
∵BD＝3CD，
∴BG＝GH＝DH，
∵∠AMD＝∠ACD＝60°，∠ADM＝90°，
∴∠MBG＝∠MAD＝30°，
∴BM＝2GM，
∵∠BAM＝∠MDG，∠DGM＝∠ABM＝90°
∴△ABM∽△DGM，
∴＝＝2，
∴DG＝4，
∴BG＝GH＝DH＝2，
∴BD＝6．
18．（2025秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB+∠ADB＝90°+90°＝180°，
∴点A、C、B、D上四点共圆，
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）将△ADQ绕点D顺时针旋转90°得△BDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，
∴DQ＝DE，∠QDE＝90°，AQ＝BE，
∴△QDE是等腰直角三角形，
∴∠DQE＝45°，
∴QE＝DQ＝3，
∵∠BQD＝75°，
∴∠BQE＝∠BQD+∠DQE＝120°，
∴∠BQH＝60°，
∴QH＝BQ＝，BH＝，
在Rt△BEH中，由勾股定理得BE＝＝，
∴AQ＝BE＝；
（3）AF＝DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM＝PF，
∵DA＝DP，
∴∠DAM＝∠DPF，
∴△ADM≌△PDF（SAS），
∴∠ADM＝∠PDE，DM＝DF，
∵BD＝DP，DE⊥BP，
∴∠BDE＝∠PDE，
∴∠ADM＝∠BDE，
∴∠MDE＝90°，
∴△MDF是等腰直角三角形，
∴∠MFD＝45°，MF＝DF，
∴∠EFP＝45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF，
∴AF＝DE．
19．（2025秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
【解答】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，
∴∠G＝∠BDF，
∵∠ADE＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝30°，
∴∠G＝30°，
由（1）可知，BD＝CE，∠CEA＝∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝30°＝∠G，
∴CE＝CG，
∴BD＝CG，
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
即F为BC的中点；
（3）解：如图，连接AF，
∵△ABC是等边三角形，BF＝FC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，
∴EF的最大值为直径，即最大值为1．
20．（2025•碑林区校级模拟）问题提出：
（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 25 ．
问题探究：
（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，
此时△PAB的面积最大值，
∴S△P'AB＝×10×5＝25，
故答案为：25；
（2）如图2，作点G关于CD的对称点G′，作点B关于AD的对称点B′，连接B′G′，B'E，FG'，
∵EB＝EB′，FG＝FG′，
∴BE+EF+FG+BG＝B′E+EF+FG′+BG，
∵EB′+EF+FG′≥B′G′，
∴四边形BEFG的周长的最小值＝BG+B′G′，
∵BG＝BC＝5，BB′＝20，BG′＝15，
∴B′G′＝＝＝25，
∴四边形BEFG的周长的最小值为30．
（3）如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC．
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADB＝60°
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长＝AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
∵AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，
∵，
∴AC的最大值＝4，
∴四边形ABCD的周长最大值为12+4．