2026年中考数学压轴题专项练习-菱形综合题（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学压轴题专项练习-菱形综合题（学生版+名师详解版），共58页。试卷主要包含了已知在菱形中，，连接对角线，在菱形中，等内容，欢迎下载使用。
②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连接B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
2．（2025春•丰台区期末）在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．图1为菱形的环绕点的示意图．
如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且．
（1）在点，，中，菱形的环绕点是 ；
（2）若为菱形的环绕点，求的取值范围；
（3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围．
3．（2025春•丰都县期末）已知在菱形中，，连接对角线．
（1）如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点．
①求证：；
②过点作，垂足为，求证：；
（2）如图2，已知，将沿射线平移，得到△，连接，，请直接写出的最小值．
4．（2025春•青羊区校级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE．求证：CE+PD＝BD；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE．若，，求PD．
5．（2025春•连城县期中）如图①，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，当在线段的延长线上，求证：；
（3）如图③，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度（不写过程），若不存在，说明理由．
6．（2025春•思明区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点是线段的中点，点，线段与轴交于点（备注：在平面直角坐标系中以任意两点，、，为端点的线段中点坐标为．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，点，分别在线段，上，，且，求线段的长．
7．（2025春•天宁区校级期中）在菱形中，．点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在线段上时，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，请直接写出的长．
8．（2025•武义县一模）如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点．
（1）求和的值．
（2）根据图象，当时，求的取值范围．
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标．
9．（2025•衡水二模）如图，和均为边长为4的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的最小值；
（3）若与垂直，求的长．
10．（2025春•思明区校级期中）如图，中，，，，点从出发沿以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，同时，点从出发沿以每秒1个单位的速度向终点匀速运动．设点、运动的时间为，作于，连、．
（1）求证：；
（2）当为多少时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？说明理由．
11．（2025秋•东乡区校级期末）如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长以及菱形的面积；
（3）在（2）的条件下，若动点从出发，沿以2米秒的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿以1米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为2平方米．
12．（2025•三亚模拟）如图1，在菱形中，是锐角，、分别是边、延长线上的动点，连接、分别交、于点、．
（1）当且时，证明：；
（2）如图2，当时，连接、．
①证明：；
②若，，则当为何值时，是以为底边的等腰三角形．
13．（2025春•雨花区校级期末）如图，已知在菱形中，，点，，，分别是，，，上一点，且始终满足，的长为4．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
（3）设菱形的边长为，的面积记为，请建立与之间的函数关系式并指出的取值范围．
14．（2025秋•瑞安市期末）如图1，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且，在边上取点，（点在之间）使．点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，连结，分别交对角线于，，记，，已知．
（1）①请判断与的大小关系，并说明理由；
②求，的长；
（2）如图2，连结，当四边形中有两边平行时，求的值；
（3）若，连结，求面积的最小值．
15．（2025秋•和平区期末）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，且，．
（1）求菱形的面积及周长；
（2）点是射线上一个动点，作射线，交射线于点．将射线绕点逆时针旋转后交射线于点，旋转角为，且，连接．
①如图2，当点与点重合时，求的周长；
②当时，请直接写出的长为 ；
③时，请直接写出的长为 ．
16．（2025秋•吉安期中）如图1，在菱形中，对角线，，，交于点，是边的中点，是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）如图2，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）直接写出当的值为多少时，四边形是矩形．
17．（2025秋•李沧区期中）在菱形中，对角线，交于点，且，；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；若，两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点作，交于点，交于点，设运动时间为．解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含的代数式表示的长度；
（2）当为何值时，线段？
（3）设四边形的面积为，求关于的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2025春•江夏区校级月考）如图，菱形中，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点．
（1）如图1，若，连接，，求证：；
（2）如图2，若，点是延长线上的一点，点为延长线上的一点，且．连接、，交的延长线于点，连接，已知，，求线段的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，点，分别在线段，上，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，，若，求的值．（用含的代数式表示）
19．（2025秋•西湖区校级月考）如图1，在菱形中，，点在边上（不与点，重合），连结，交于点．
（1）如图2，若点在边上，且，连结，．求证：三角形为等边三角形；
（2）设，求的值（用的代数式表示）；
（3）如图3，若点在线段上，且，连结、，，四边形的面积为，的面积为，求的最大值．
20．（2025秋•和平区校级月考）在菱形中，，为等边三角形．
（1）如图1，、分别为、的中点，为的中点，求证：
（2）如图2，为上一点，为的中点，问（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立请说明理由；若成立，请证明．
（3）如图3，以为边在菱形外作正方形，连交于，若菱形的边长为，请直接写出三角形的面积 ．
1．（2025•宽城区校级开学）如图，在△ABC中，BA＝BC＝10，BC边上高为8，点D为边BC的中点，点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）①线段AC的长为 4 ；
②用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当▱APDE是菱形时，求t的值；
（4）作点B关于直线PD的对称点B′，连接B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）①如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝BC＝10，AH＝8，
∴BH＝＝＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣6＝4，
∴AC＝＝＝4，
故答案为：4；
②当0＜t＜2时，AP＝AB﹣PB＝10﹣5t．
当2＜t≤4时，AP＝2（t﹣2）＝2t﹣4；
（2）如图1中，当t＝1时，BP＝AP，此时点E落在AC上，
观察图象可知，当1＜t＜2时，点E在△ABC内部．
如图2中，当t＝3时，AP＝PC，此时点E落在AB上，
观察图象可知当2＜t＜3时，点E在△ABC内部．
综上所述，当1＜t＜2或2＜t＜3时，点E在△ABC内部；
（3）如图3中，当AP＝PD时，四边形APDE是菱形．过点P作PJ⊥BC于点J．
在Rt△PBJ中，PB＝5t，PJ＝4t，BJ＝3t，
∴DJ＝BD﹣BJ＝5﹣3t，
∴（4t）2+（5﹣3t）2＝（10﹣5t）2，
∴t＝．
如图4中，当AP＝PD时，四边形APDE是菱形．过点P作PT⊥BC于点T．
在Rt△PCT中，PC＝4﹣2（t﹣2）＝8﹣2t，CT＝8﹣2t，PT＝16﹣4t，
∴DT＝CD﹣CT＝5﹣（8﹣2t）＝2t﹣3
∴[2（t﹣2）]2＝（16﹣4t）2+（2t﹣3）2，
∴t＝．
综上所述，满足条件的t的值为或．
（4）如图5中，当点P在AB上时，过点P作PK⊥BC于点K．
∵DB′⊥CB，
∴∠PDK＝∠PDB′＝45°，
∴PK＝DK＝4t，
∵BK＝3t，
∴7t＝5，
∴t＝．
如图6中，当点P在AC上时，过点P作PT⊥BC于点T．
同法可证PT＝DT＝16﹣4t，
∵CT＝8﹣2t，
∴CD＝16﹣4t+8﹣2t＝5，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
2．（2025春•丰台区期末）在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．图1为菱形的环绕点的示意图．
如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且．
（1）在点，，中，菱形的环绕点是 ；
（2）若为菱形的环绕点，求的取值范围；
（3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）如图，点，， 中，菱形的环绕点是，
故答案为：．
（2）由题意得，环绕点逆时针旋转后的点在菱形上运动，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得，
①当点 在第一象限，即，
当经过时，如图1，；
当经过时，如图2，；
的取值范围是；
②当点 在第三象限，即，
当经过点时，如图3，；
当经过点时，如图4，；
综上，的取值范围是或，
（3）如图，当过点时，此时，
解得，
如图，当过点时，此时，
的取值范围为．
3．（2025春•丰都县期末）已知在菱形中，，连接对角线．
（1）如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点．
①求证：；
②过点作，垂足为，求证：；
（2）如图2，已知，将沿射线平移，得到△，连接，，请直接写出的最小值．
【解答】（1）证明：①四边形是菱形，，
和都为等边三角形，
，，
即，
又，，
，
；
②如图1，作于，
由①知，
，，
，
即，
又，，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
（2）解：如图2，设交于点，取的中点，连接，，，，
由题知，，且，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
即，
由题知，是的中点，是的中点，
，
即，
当、、三点共线时有最小值，即有最小值，
过点作延长线于，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
故的最小值为．
4．（2025春•青羊区校级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 BP＝CE ，CE与AD的位置关系是 AD⊥CE ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE．求证：CE+PD＝BD；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE．若，，求PD．
【解答】（1）解：如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．
理由：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
故答案为：PB＝EC，CE⊥AD．
（2）证明：如图2，
连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，
∵BP+PD＝BD，
∴CE+PD＝BD；
（3）解：如图3，连接AC交BD于O，连接CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
∴CE＝BP，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC，
∵BC＝AB＝4，BE＝4，
在Rt△BCE中，EC＝＝16，
∴BP＝CE＝16，
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝2AB•cs30°＝12，
∴OA＝AB＝2，PD＝BP﹣BD＝16﹣12＝4，
5．（2025春•连城县期中）如图①，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，当在线段的延长线上，求证：；
（3）如图③，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度（不写过程），若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：连接，
等边，等边，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（2）证明：连接、，
等边，等边，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（3）解：分情况讨论，
①特殊情况，如图，当为菱形的边时，
设，
等边，
，
，
则，
，
，
，
，即的值为2；
如图，当为菱形的对角线时，
同理，的值为4；
如图，当为菱形的对角线时，
同理，的值为6；
②一般情况：以、、顶点的菱形存在无限可能，则的长则无法确定．
6．（2025春•思明区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点是线段的中点，点，线段与轴交于点（备注：在平面直角坐标系中以任意两点，、，为端点的线段中点坐标为．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，点，分别在线段，上，，且，求线段的长．
【解答】解：（1）四边形为菱形，理由如下：
，，
，
，为的中点，
，
，
，
为的中点，
根据中点坐标公式得，
，
根据中点坐标公式得，
，，，
四边形为菱形；
（2）延长交于点，连，
，，
，
由（1）知四边形为菱形，
，
四边形为平行四边形，
由（1）知四边形为菱形，
，，，
，，
，
，，
又，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
7．（2025春•天宁区校级期中）在菱形中，．点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在线段上时，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，请直接写出的长．
【解答】解：（1）如图1，连接，延长交于，
四边形是菱形，，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
故答案为：，；
（2）当点在线段延长线上时，（1）中的结论还成立，理由如下：
如图2，连接交于，设交于，
四边形是菱形，，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，即；
（3）如图3，连接交于，连接，
四边形是菱形，
，平分，
，
，，
，
由（2）知，
，
，
，，
，
由（2）知，
，
，
．
8．（2025•武义县一模）如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点．
（1）求和的值．
（2）根据图象，当时，求的取值范围．
（3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标．
【解答】解：（1）将点代入得：；
，
将点代入得：，
解得：，
，；
（2）联立函数表达式得：
，
解得，．
由图象可知，当时，或．
（3）对于，令，则．
，
，
．
四边形是菱形，
，，
的坐标为．
9．（2025•衡水二模）如图，和均为边长为4的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的最小值；
（3）若与垂直，求的长．
【解答】（1）证明：和均为边长为4的等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：，是的中点，
，
点关于的对称点，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上，
连接，如图所示，
是的中点，是等边三角形，
，，
，
当在线段上时，取得最小值，
的最小值为；
（3）解：如图所示，延长交于点，
，，
，，
，
在△中，，则，
，
，
．
10．（2025春•思明区校级期中）如图，中，，，，点从出发沿以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，同时，点从出发沿以每秒1个单位的速度向终点匀速运动．设点、运动的时间为，作于，连、．
（1）求证：；
（2）当为多少时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？说明理由．
【解答】（1）证明：由题意得：，，
，，，
，而，
，
；
（2）解：如图2，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
在中，，，
，，
，，
，
若使平行四边形为菱形，则需，即，
解得：，
即当时，四边形为菱形；
（3）为直角三角形时，要分三种情况：
①如图3，当时，
，
四边形为矩形，
，即，
解得：；
②如图4，时，
由（2）四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即，解得：，
③时，此种情况不存在；
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．
11．（2025秋•东乡区校级期末）如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长以及菱形的面积；
（3）在（2）的条件下，若动点从出发，沿以2米秒的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿以1米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为2平方米．
【解答】（1）证明：平分，，
，
是等腰三角形，，
又，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：解方程，得，
，，
利用勾股定理，
平方米；
（3）解：在第（2）问的条件下，设、同时出发秒钟后，的面积，
当点在上时，，，
解得，（大于2，舍去）；
当点在上且点在上时，，，
整理得，，方程无解．
当点在上且点在上时，即，，
解得，（小于3，舍去）．
综上所述：，出发1秒或4秒钟后，的面积为．
12．（2025•三亚模拟）如图1，在菱形中，是锐角，、分别是边、延长线上的动点，连接、分别交、于点、．
（1）当且时，证明：；
（2）如图2，当时，连接、．
①证明：；
②若，，则当为何值时，是以为底边的等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）①证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：由①知：，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
如图3，过点作于，作于，
，
，
，
，
，
，
则当为时，是以为底边的等腰三角形．
13．（2025春•雨花区校级期末）如图，已知在菱形中，，点，，，分别是，，，上一点，且始终满足，的长为4．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
（3）设菱形的边长为，的面积记为，请建立与之间的函数关系式并指出的取值范围．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：直线经过菱形对角线的交点；理由如下：
连接、交于点，如图1所示：
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
又四边形是菱形，对角线互相平分，
为的中点，
直线经过菱形对角线的交点；
（3）解：设，则，
在中，
，
，
过作，交的延长线于，如图2所示：
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
．
14．（2025秋•瑞安市期末）如图1，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且，在边上取点，（点在之间）使．点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，连结，分别交对角线于，，记，，已知．
（1）①请判断与的大小关系，并说明理由；
②求，的长；
（2）如图2，连结，当四边形中有两边平行时，求的值；
（3）若，连结，求面积的最小值．
【解答】解：（1）①结论：．理由如下：
是菱形，
，，
，
，，
又，
，
；
②当代入得，即，
当代入，得，即，
，，
，
；
（2）①当时，如图2，
，
，
是的中位线，
，而，
，
，，
，，
，
，
，
；
②当时，如图2，
，
是平行四边形，
，代入得，
，
，，
，
；
（3）连接．过点作于点，于点，过点作于．
由题意，，，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
时，的面积最小，最小值为．
15．（2025秋•和平区期末）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，且，．
（1）求菱形的面积及周长；
（2）点是射线上一个动点，作射线，交射线于点．将射线绕点逆时针旋转后交射线于点，旋转角为，且，连接．
①如图2，当点与点重合时，求的周长；
②当时，请直接写出的长为 ；
③时，请直接写出的长为 ．
【解答】解：（1）如图1中，四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长为40，菱形的面积；
（2）①如图2中．过点作于点．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长．
②如图3中，设．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
③如图中，当点在点的右侧时，
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，当点在点的左侧时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，的长为或2．
16．（2025秋•吉安期中）如图1，在菱形中，对角线，，，交于点，是边的中点，是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）如图2，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）直接写出当的值为多少时，四边形是矩形．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，，，．
，，
，，
在中，，
，
是等边三角形；
（2）解：四边形为菱形．
理由：是边的中点，
．
四边形是菱形，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
由（1）知是等边三角形，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，四边形是菱形；
（3）解：当的值为2时，四边形是矩形．理由如下：
由（1）知：是等边三角形，
，
，
，
，
由②知：四边形是平行四边形，
是矩形；
当时，四边形是矩形．
17．（2025秋•李沧区期中）在菱形中，对角线，交于点，且，；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；若，两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点作，交于点，交于点，设运动时间为．解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含的代数式表示的长度；
（2）当为何值时，线段？
（3）设四边形的面积为，求关于的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
（2）四边形菱形，
，
当时，四边形是平行四边形，此时，
，
，
即当为时，线段；
（3）如图1，过点作于，
，
，
中，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（4）分三种情况：
①如图2，，
，
，
，
，
，
，即，
；
②如图3，，
，，
，
；
③如图4，，过点作于，
，
，，
，
，即，
，
，
；
综上所述，当或4或4.5，以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
18．（2025春•江夏区校级月考）如图，菱形中，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点．
（1）如图1，若，连接，，求证：；
（2）如图2，若，点是延长线上的一点，点为延长线上的一点，且．连接、，交的延长线于点，连接，已知，，求线段的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，点，分别在线段，上，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，，若，求的值．（用含的代数式表示）
【解答】（1）证明：延长交于，
，，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，连接，取上一点使，连接，，过点作于，
由（1）得是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图3中，设，则，设，，
是等边三角形，
，，
过点作于，则，，
在中，，
，
解得，，
同法可得，
．
解法二：证明，利用相似三角形的性质求解．
19．（2025秋•西湖区校级月考）如图1，在菱形中，，点在边上（不与点，重合），连结，交于点．
（1）如图2，若点在边上，且，连结，．求证：三角形为等边三角形；
（2）设，求的值（用的代数式表示）；
（3）如图3，若点在线段上，且，连结、，，四边形的面积为，的面积为，求的最大值．
【解答】（1）证明：如图2中，连接．
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形；
（2）解：如图1中，连接交于点．
四边形是菱形，
，，
，
可以假设，则，，
，，
，
；
（3）解：如图3中，连接，设菱形的面积为．则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为．
20．（2025秋•和平区校级月考）在菱形中，，为等边三角形．
（1）如图1，、分别为、的中点，为的中点，求证：
（2）如图2，为上一点，为的中点，问（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立请说明理由；若成立，请证明．
（3）如图3，以为边在菱形外作正方形，连交于，若菱形的边长为，请直接写出三角形的面积 3 ．
【解答】（1）证明：如图1中，延长交于点，连接，．
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，结论成立．
理由：如图2中，延长到，使得，连接．
，，，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
；
（3）解：如图3中，过点作于点．
是等边三角形，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．