2026年中考数学考点一网尽-专题14反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型训练】（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学考点一网尽-专题14反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型训练】（学生版+名师详解版），共68页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28793" 【题型1 判断反比例函数图象】 PAGEREF _Tc28793 \h 2
\l "_Tc29334" 【题型2 反比例函数上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc29334 \h 4
\l "_Tc14755" 【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】 PAGEREF _Tc14755 \h 4
\l "_Tc27904" 【题型4 判断反比例函数经过象限】 PAGEREF _Tc27904 \h 5
\l "_Tc10063" 【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】 PAGEREF _Tc10063 \h 6
\l "_Tc29018" 【题型6 由反比例函数增减性求值】 PAGEREF _Tc29018 \h 7
\l "_Tc1472" 【题型7 由反比例函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc1472 \h 7
\l "_Tc6315" 【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc6315 \h 7
\l "_Tc14465" 【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】 PAGEREF _Tc14465 \h 9
\l "_Tc13417" 【题型10 反比例函数的实际应用】 PAGEREF _Tc13417 \h 11
\l "_Tc16101" 【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】 PAGEREF _Tc16101 \h 13
\l "_Tc13191" 【题型12 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13191 \h 14
【知识点 反比例函数】
1.定义
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永不相交 ．
2.反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
3.反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【题型1 判断反比例函数图象】
【例1】（2025·河北廊坊·校考三模）若函数y=5xx>0和函数y=−3xx0)的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-3】（2025·湖南娄底·统考二模）函数y＝1x+1的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】
【例2】（2025·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．−1B．1C．−7D．7
【变式2-1】（2025·广西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则y1+y2的值是 ．
【变式2-2】（2025·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1,y2，则y1+y2的值为 ．
【变式2-3】（2025·辽宁·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣4x和y＝kx的图象上，则k的值为 ．
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】
【例3】（2025·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．5B．12C．−5D．−12
【变式3-1】（2025·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（ ）

A． y=2x2B．y=6xC．y=−3xD． y=3x
【变式3-2】（2025·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k>0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ．
【变式3-3】（2025·江苏无锡·统考二模）反比例函数y＝kx的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
【题型4 判断反比例函数经过象限】
【例4】（2025·湖南永州·统考中考真题）已知点M2,a在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k>0﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-1】（2025·河北保定·校考模拟预测）如果反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A1,−2，那么这个反比例函数的图象在第 象限．
【变式4-2】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1k3>k2C．k3>k2>k1D．k2>k1>k3
【题型6 由反比例函数增减性求解】
【例6】（2025·湖南永州·统考二模）在反比例函数y=kxk≠0的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2−kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
【变式6-1】（2025·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数y=3−mx的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m>−3B．m3D．m0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图像上？并说明理由．
【题型10 反比例函数的实际应用】
【例10】（2025·广东肇庆·统考二模）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V=43πr3，π取3）；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【变式10-1】（2025·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cmL1=25cm处挂一个重9.8NF1=9.8N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL=F1L1．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

B．
C． D．
【变式10-2】（2025·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，ℎ=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，ℎ=25cm，求该液体的密度ρ．
【变式10-3】（2025·福建莆田·校考三模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强PPa与受力面积Sm2的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．

(1)求桌面所受压强PPa与受力面积Sm2之间的函数表达式；
(2)现有另一长、宽、高分别为0.3m，0.2m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B，已知该玻璃桌面能承受的最大压强为4500Pa，将长方体B任意水平放置于该玻璃桌面上是否安全？并说明理由．
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】
【例11】（2025·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点A0,4,B2,0，连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C(a,1)．

(1)求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
(2)将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【变式11-1】（2025·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为2,0,CAAB=12，则k的值是（ ）．

A．3B．23C．33D．43
【变式11-2】（2025·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B0,2，与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C6,a．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当kx+b>mx时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（2025·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型12 反比例函数与几何综合】
【例12】（2025·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB=12，AB=2．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
【变式12-1】（2025·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与A′B交于点C．若A′C=BC，则k的值为（ ）

A．23B．332C．3D．32
【变式12-2】（2025·安徽·统考中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过斜边OB的中点C．

（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【变式12-3】（2025·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A4,n．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．

(1)求n,k的值；
(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
专题14 反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28793" 【题型1 判断反比例函数图象】 PAGEREF _Tc28793 \h 2
\l "_Tc29334" 【题型2 反比例函数上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc29334 \h 5
\l "_Tc14755" 【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】 PAGEREF _Tc14755 \h 7
\l "_Tc27904" 【题型4 判断反比例函数经过象限】 PAGEREF _Tc27904 \h 11
\l "_Tc10063" 【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】 PAGEREF _Tc10063 \h 12
\l "_Tc29018" 【题型6 由反比例函数增减性求值】 PAGEREF _Tc29018 \h 15
\l "_Tc1472" 【题型7 由反比例函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc1472 \h 17
\l "_Tc6315" 【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc6315 \h 19
\l "_Tc14465" 【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】 PAGEREF _Tc14465 \h 26
\l "_Tc13417" 【题型10 反比例函数的实际应用】 PAGEREF _Tc13417 \h 33
\l "_Tc16101" 【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】 PAGEREF _Tc16101 \h 37
\l "_Tc13191" 【题型12 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13191 \h 45
【知识点 反比例函数】
1.定义
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永不相交 ．
2.反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
3.反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【题型1 判断反比例函数图象】
【例1】（2025·河北廊坊·校考三模）若函数y=5xx>0和函数y=−3xx0，−30的图象在第一象限，y=−3xx−3，
∴函数y=−3xx0，
∴反比例函数图像经过第一象限和第三象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0，当k>0时，图象经过第一象限和第三象限；当k0)的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤y≤2，根据l:y=110x+1得到B−10,0，可视范围是−10≤x≤10，故31k≥10，求k的最小整数解即可．
【详解】∵已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤y≤2，
根据l:y=110x+1得到B−10,0，
∴可视范围是−10≤x≤10，
∴31k≥10，
解得k≥313
故k的最小整数解为k=4，
故选B．
【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键．
【变式1-3】（2025·湖南娄底·统考二模）函数y＝1x+1的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】y＝1x+1的大致图象是由y＝1x向左平移1个单位得到，由此即可判断；
【详解】解：y＝1x+1的大致图象是由y＝1x向左平移1个单位得到，
∵y＝1x的图象是双曲线，图象在一、三象限，
∴函数y＝1x+1的大致图象是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，掌握平移的法则是解题的关键．
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】
【例2】（2025·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．−1B．1C．−7D．7
【答案】C
【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线y=−x对称，即有x1=−y2，x2=−y1，再根据两点均在反比例函数图象，可得x1⋅y1=x2⋅y2=7，问题随之得解．
【详解】解：根据题意A、B关于直线y=−x对称，
∴x1=−y2，x2=−y1，
∵互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，
∴x1⋅y1=x2⋅y2=7，
∴x1⋅x2=x1⋅−y1=−x1y1=−7，
故选：C．
【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线y=−x对称，得出x1=−y2，x2=−y1，是解答本题的关键．
【变式2-1】（2025·广西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则y1+y2的值是 ．
【答案】0
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得y1+y2
【详解】∵一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象关于原点对称，
∴ y1+y2 =0
故答案为：0
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键．
【变式2-2】（2025·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1,y2，则y1+y2的值为 ．
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴y1+y2=0，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
【变式2-3】（2025·辽宁·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣4x和y＝kx的图象上，则k的值为 ．
【答案】12．
【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到AEOF=OEBF=OAOB=33，设A(m,−4m)，于是得到AE=-m，OE=−4m，从而得到B(43m,3m)，，于是求得结果．
【详解】解：过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，
∵∠AOB=90°，∠ABC=30°，
∴tan30°=OAOB=33，
∵∠OAE+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∴ΔAOE∽ΔBOF，
∴ AEOF=OEBF=OAOB=33，
设A(m,−4m)，
∴AE=−m，OE=−4m，
∴OF=3AE=−3m，BF=3OE=−43m，
∴B(43m,3m)，
∴k=43m·3m=12．
故答案为12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】
【例3】（2025·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．5B．12C．−5D．−12
【答案】C
【分析】根据图象，当x=−3时，yk>−9；当x=2时，y