专题02 分式方程及其应用（分层训练）-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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一、单选题
1．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．480x+160−480x=4
B．480x−480x+160=4
C．480x−480x−160=4
D．480x−160−480x=4
【答案】B
【知识点】列分式方程
【详解】解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，
根据题意
，可得：480x−480x+160=4，
故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
2．若关于x的分式方程ax−1+1=−2x−1无解，则a的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．−2
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【详解】解：方程去分母，得：a+x−1=−2，
∵方程无解，
∴整式方程无解或方程有增根，
∴x−1=0，
∴x=1，
把x=1代入a+x−1=−2，得：a+1−1=−2，
∴a=−2；
故选D．
3．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（ ）
A．9B．12C．10D．14
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【详解】试题分析：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程： +=，解得：x=10．检验得x=10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选C．
考点：分式方程的应用．
4．若关于x的一元一次不等式组3x+1≤2(x−2)x−2a3−4，
分式方程去分母得：−2−ax+2x−3=4，
整理得：(2−a)x=12，
解得：x=122−a，
由x为非负整数，且x≠3，得到2−a=1，2，3，6，12，
解得a=1或0或−1或−4或−10
∵a>−4，
∴a=1或0或−1，
符合条件的所有整数a的和为1+0−1=0．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．2022年北京冬奥会的比赛场馆分为3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km，高速公路里程为178km，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用2h，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度是x km/h，则可列方程为（ ）
A．166x−1783x=2B．166x+2=1783xC．178x−1663x=2D．178x+2=1663x
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】由“复兴号”列车和汽车的平均速度之间的关系，可得出“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用2h，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】∵“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，汽车的平均速度为xkm/h，
∴“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h．
依题意得：178x−1663x=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．昆明市区与石林风景区相距约为84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发20分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计），已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.2倍．设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（ ）
A．84x+841.2x=13B．841.2x−13=84xC．84x−841.2x=13D．841.2x=84x
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.2xkm/h，根据甲比乙晚出发20分钟为等量关系即可求得答案．
【详解】解：设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.2xkm/h，由题意得，
84x−841.2x=13，
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际问题的应用——行程问题，找准等量关系，根据等量关系建立方程是解题的关键．
7．某商店出售A，B两种型号的钢笔，已知A型号的钢笔比B型号的钢笔贵5元，小红用50元买了A型号的钢笔，用若干元买了相同数量B型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完款后发现余钱剩3元，设A型号的钢笔每支售价为x元，根据题意可列出的方程为（ ）
A．50x=30x−5B．50x=33x−5
C．30x=50x−5D．50x=30x+5
【答案】A
【分析】根据题意，先得出B型号的钢笔每支售价（x-5）元，再根据小红用50元买A型号的钢笔数量=用（83-3-50）元买B型号的钢笔的数量列方程即可解答．
【详解】解：根据题意，B型号的钢笔每支售价（x-5）元，花了83-3-50=30元，
则有：50x=30x−5，
故答案为：50x=30x−5．
【点睛】本题考查看分式方程的应用，能读懂题意，找到等量关系是解答的关键．
8．若关于x的分式方程xx−1−m1−x=2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m−2且m≠−1
C．m>−2D．m0且2+m≠1，进而求解即可．
【详解】解：∵ xx−1−m1−x=2，
∴x+m=2x−1，
∴x=2+m，
∵关于x的分式方程xx−1−m1−x=2的解为正数，
∴x>0且x−1≠0，即x>0,x≠1，
∴2+m>0且2+m≠1，
∴m>−2且m≠−1，
故选：B．
9．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（ ）
A．900m+3=750mB．900m=750m+3
C．900m=750m−3D．900m−3=750m
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(m+3)美元/件，根据数量=总价÷单价，结合现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，即可得出关于m的分式方程，此题得解．
【详解】解：设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(m+3)美元/件，
依题意得：900m+3=750m．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．12000x=11000x−5−40B．12000x−40=11000x+5
C．12000x+5+40=11000xD．11000x+40=12000x−5
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x−5元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x−5元/件，根据题意得：
12000x=11000x−5−40，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
11．方程1x+1=2x的解是（ ）
A．x=−2B．x=−1C．x=1D．x=2
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的方法和步骤进行求解即可．
【详解】解：去分母，得：x=2x+2，
移项合并，得：−x=2，
化系数为1，得：x=−2，
经检验，x=−2是原分式方程的解．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．
12．方程1x=2x+3的解为（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝﹣3D．x＝﹣4
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】将分式方程化为整式方程，求解，检验，即可
【详解】去分母：2x=x+3
化简：x=3
检验：x=3≠0；x+3=3+3=6≠0
故原方程的解为：x=3
故选：A
【点睛】本题考查分式方程的运算，注意计算结果要检验
13．2023年“全民健身日”这一天，广大市民积极参与运动，锻炼身体，增强体质，甲、乙两人沿着总长度为2km的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前40min走完全程，如果设乙的速度为xkm/h，那么下列方程中，正确的是（ ）
A．2x−21.5x=40B．2x−21.5x=23C．21.5x−2x=40D．21.5x−2x=23
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】此题考查了分式方程的应用，设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，甲比乙提前40min走完全程，据此列方程即可.
【详解】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，
2x−21.5x=23
故选：B
14．分式方程2x−1−1=0的解是（ ）
A．x=1B．x=−2C．x=3D．x=−3
【答案】C
【知识点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：2x−1−1=0
2-（x-1）=0
2-x+1=0
-x=-3
x=3
检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．
15．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ）
A．200个B．180个C．240个D．150个
【答案】D
【知识点】解分式方程、由频率估计概率
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得3030+x=1060，求出解即可．
【详解】设黄球的数量为x，根据题意得
3030+x=1060
解得x=150．
经检验是方程的解且符合题意 ，
所以袋子中黄球有150．
故选：D．
二、填空题
16．分式方程6x2−9-1=x3−x的解是x= .
【答案】-5
【知识点】解分式方程
【详解】两边同时乘以（x+3）(x-3)，得
6-x2+9=-x2-3x，
解得:x=-5，
检验：当x=-5时，（x+3）(x-3)≠0，所以x=-5是分式方程的解，
故答案为-5.
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.
17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
【答案】200x−200x+15=12
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，
可列方程：200x−200x+15=12．
故答案为200x−200x+15=12．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
18．关于x的分式方程7x−1+3=mx−1有增根，则增根为 ．
【答案】x=1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的x的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程7x−1+3=mx−1有增根，且分式方程最简公分母为x−1，
∴分式方程7x−1+3=mx−1的增根为x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的x的值叫增根是解决问题的关键．
19．若整数a使关于x的不等式组x−3≤2x−5a−3x3>−1，有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程ay−1−51−y=−2的解满足y−1的解集是： 2≤x