初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）分式方程精品第1课时同步达标检测题

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知识点一 分式方程
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的特征
①含有分母;②分中含有未知数;③方程
注意：方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别.分母中含有字母的方程未必是分式方程.例如：虽然分母中含有字母，但是字母不是未知数，因此此方程为整式方程，不是分式方程.
知识点二 分式方程的解法
1.基本思想（转化思想）
先把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根，从而确定分式方程的解.简记为：一化，二解，三检验.
2.解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母：方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程
注意：同乘最简公分母的依据是等式的性质2.
(2)解整式方程
去括号、移项、合并同类项等
(3)检验（验根）
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解.
注意：
(1)同乘最简公分母的依据是等式的性质2.
(2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时,不要漏乘不含分母的项.
(2)解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.
知识点三 分式方程的增根
1.增根
在分式方程变形时,有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根
2.解分式方程产生增根的原因
我们在将分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子,这个式子有可能为零.如果为零,那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解,它是原分式方程的增根.
2.验根的方法
方法1：把求得的未知数的值代入原方程进行检验，验根的同时还可以检查解方程时有无计算错误.
方法2：把求得的未知数的值代入最简公分母，看最简公分母的值是否等于零,若不为零,则是原分式方程的根;若为零,则是原分式方程的增根,应舍去.
题型一、分式方程的定义
1．（2022七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A、C、D选项中分母含有未知数，是分式方程；
B选项中分母不含有未知数，故不是分式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念分母含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．
2．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、不是分式方程，符合题意；
D、是分式方程，不符合题意；
故选：C．
3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
4．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，据此逐一进行判断．
【详解】解：A.分母不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
题型二、解分式方程
5．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)分式方程无解．
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（）按照解分式方程的步骤解答即可求解；
（）按照解分式方程的步骤解答即可求解；
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，，
解得，
检验：把代入最简公分母得，，
∴是分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，，
解得x=1，
检验：把x=1代入最简公分母得，，
∴x=1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】
两边都乘以去分母，得
整理，得
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
7．（23-24七年级上·上海·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后注意对方程的解进行检验．
【详解】解：，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
8．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为；方程的解为；方程的解为……．
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________；
(2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．
（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3）解：
，
，
，
即，，
解得：，，
经检验：，是方程的解.
9．（23-24七年级上·上海松江·期末）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
10．（23-24七年级上·上海宝山·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出解后代入检验即可．
【详解】解：，
去分母，化为整式方程得：，
即，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
11．（23-24七年级上·上海普陀·期末）解方程：．
【答案】x=1
【分析】此题考查了解分式方程；首先将分式方程化为整式方程，解出整式方程，检验即可得出结果．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
即，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
12．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程．将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：；
经检验，是原方程的解．
∴方程的解为：．
13．（22-23七年级上·上海·期末）解方程：．
【答案】无解
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：；
检验：当时，，
∴是原方程的增根，舍掉，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根．
题型三、根据分式方程解的情况求值
14．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ．
【答案】/0.5
【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．
【详解】方程两边同时乘以得：
即，
∵原方程有增根，
∴，
解得：，
将代入得：，
故答案为：12．
15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值．
【详解】解：∵方程会产生增根，
∴，
解得：x=2，
原方程去分母得：，
把x=2代入得：，
解得，
故答案为：．
16．如果方程有增根，则k＝ ．
【答案】1
【分析】先化简原式，再将x＝2代入求解．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2022七年级上·上海奉贤·期末）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是 ．
【答案】k≠1
【分析】先去分母，然后再根据会产生增根的条件确定x的值，然后代入方程确定存在增根时k的取值范围，然后作相反回答即可．
【详解】解：
去分母得，2k+x＝2x+4，
因为x＝﹣2是分式方程的增根，
把x＝﹣2代入整理后的方程得，2k﹣2＝﹣4+4，解得k＝1，
所以当k＝1时，方程会产生增根，
所以当k≠1时，方程不会产生增根．
故答案是：k≠1．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，确定有增根时的x的值是解答本题的关键．
18．若关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】-2
【分析】解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】∵分式方程有增根，
∴x-1=0，
∴x=1．
把两边都乘以x-1，得
a+1=x-2，
∴a+1=1-2，
∴a=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
19．已知分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
【答案】m＜5且m≠±1．
【分析】求解分式方程为x=-，根据解为正数可得m＜5，同时考虑x≠2，x≠3的情况，进而求出m的范围．
【详解】，
∴m＝﹣2x+5，
∴x＝﹣，
∵分式方程的解为正数，
∴m﹣5＜0，
∴m＜5，
又∵x≠2，x≠3，
∴m≠1，m≠﹣1，
∴m的范围是m＜5且m≠±1，
故答案为m＜5且m≠±1．
【点睛】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，要考虑方程增根的情况是解题的关键．
20．如果关于的方程有增根，那么 .
【答案】1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】，
去分母得：1＝3（x-3）+k，
由分式方程有增根，得到x−3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得1＝3（3-3）+k，
解得k＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21．若方程有增根，则 ．
【答案】3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】解：去分母得：3＝k＋x−2，
由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：k＝3，
故答案为3
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22．已知分式方程＝1的解为非负数，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤﹣1且a≠﹣2
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：分式方程转化为整式方程得，2x+a＝x﹣1
移项得，x＝﹣a﹣1，
解为非负数则﹣a﹣1≥0，
又∵x≠1，
∴a≠﹣2
∴a≤﹣1且a≠﹣2，
故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解答本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．
题型四、分式方程无解问题
23．去分母解关于x的方程产生增根，则m的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】先把分式方程化为整式方程，由于原分式方程有增根，则有x−2＝0，得到x＝2，即增根只能为2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值．
【详解】解：方程两边乘（x−2）得，x−3＝m，
∵分式方程有增根，
∴x−2＝0，即x＝2，
∴2−3＝m，
∴m＝−1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程有增根，求方程中的参数，掌握增根的定义是解题关键．
24．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根．
【详解】解：方程的最简公分母是，
依题意，，解得：，
∴分式方程的增根是，
故答案为：．
25．（22-23七年级上·上海青浦·期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ．
【答案】或者
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
∵该分式方程无解，
∴或者，
∴或者，
故答案为：或者．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
26．如果关于x的方程无解，那么 ．
【答案】2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】解：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
27．若y=1是方程+=的增根，则m= ．
【答案】-1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．
【详解】解：+=
去分母，可得
m（y-2）+3（y-1）=1，
把y=1代入，可得
m（1-2）+3（1-1）=1，
解得m=-1，
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
28．若关于x的方程无解，则a的值为 ．
【答案】-1或-2或
【分析】化简得，整理有，分类讨论，若=0且时，则a=-1，若0，则，由x的方程无解可知x=1或x=2，则或，解得a=-2或a=．
【详解】将化简
得
若=0且时
则a=-1
若0，则有
关于x的方程无解
即x-1=0、x-2=0
故x=1或2．
将x=1或2代入
有或
解得a=-2或a=．
故答案为：-1或-2或．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，依据分式方程的无根确定字母参数的情况有1、分式方程化成的整式方程，该整式方程本事没有根，若化为的是一元一次方程，则一次项系数为0即可，若化为的一元二次方程，则判别式小于零即可；分式方程的增根有两个特点：第一：它必须是由分式方程转化成的整式方程的根；第二：它能使原分式方程的最简公分母等于0；依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤先将分式方程转化为整式方程；由题意求出增根；将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值．
解题技巧提炼
判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数(也可以看方程中是否含有关于未知数的分式)，而不是看分母中是否含有字母.
解题技巧提炼
(1)解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程.(2)分式方程去分母时，一定不能漏乘不含分母的项(3)解出未知数的值后必须检验.
解题技巧提炼
利用增根求字母参数的一般步骤
第1步:去分母,将分式方程转化为整式方程；
第2步:找出增根,即使最简公分母为0的x的值;
第3步:将增根代入整式方程,求出字母参数的值.
解题技巧提炼
分式方程无解不等同于最简公分母的值为0，分式方程无解可能有两种情况:
(1)求出的x的值是分式方程转化成整式方程的解,但这个解使最简公分母的值为0;
2)所化成的整式方程无解,这往往是由于未知数的系数含有待定字母造成的，这种情况在解题时不要忽略.