沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）分式的运算优秀第2课时课后作业题

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知识点一 同分母分式加减法的法则
1.文字语言
同分母分式相加减，分母不变,分子相加减
2.符号语言
提示
(1)法则中的“分母不变”就是加减运算时所取的分母是原分式中的分母
(2)“分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减即各个分子都应有括号，当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略
(3)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式
知识点二 通分和最简公分母
1.通分的意义
将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分
2.最简公分母
(1)定义: 如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母
(2)确定最简公分母的一方法
①确定系数:把各分式中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
②确定相同因式:把相同字母(或分解因式后得到的相同因式)的最高次幂作为最简公分母的一个因式
③把只在一个分式的分母中出现的字母(或因式)连同它的指数作为最简公分母的一个因式
3.通分的方法
先求出各分式的最简公分母，再用最简公分母去除以每个分式的分母，用所得的商去乘以它的分子、分母
4.通分与约分的联系与区别
联系:通分与约分都是根据分式的基本性质进行的恒等变形
区别:①约分是分子分母都除以同一个不为零的整式,而通分是分子与分母都乘以同一个不为零的整式;②约分是针对一个分式而言的，而通分是针对几个分式而言的;③约分的结果可能是分式也有可能是整式,而通分的结果都是分式
知识点三 异分母分式加减法的法则
1.文字语言
异分母分式相加减先将它们化为同分母的分式然后进行加减
2.符号语言
异分母分式加减运算的一般步骤
(1)通分: 将异分号的分式化成同分母的分式;
(2)加减: 按同分母的分式加减法法则写成“分母不变、分子相加减”的形式;
(3)合并:分子去括号、合并同类项;
(4)约分:分子、分母约分，把结果化成最简分式或整式
简记为“一通分，二加减,三合并，因约分”
知识点四 分式的混合运算
分式混合运算与分数的加减乘除及乘方混合运算一样,先算乘方，再算乘除最后进行加减运算，如果有括号的，一般要先算括号内的，再算括号外的
注意
(1)对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减；
(2)要灵活运用交换律、结合律与分配律；
(3)分式的运算结果一般化简成最简分式或整式.
题型一、同分母分式加减法
1．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的加减运算，把原式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
2．（22-23九年级上·上海静安·期末）计算： .
【答案】2
【分析】根据同分母分式加减法法则计算．
【详解】解：原式
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
3．计算： ．
【答案】1
【分析】根据计算即可．
【详解】∵
=
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加减法的法则是解题的关键．
4．计算： ．
【答案】2
【分析】根据分式的运算法则即可求解．
【详解】
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
6．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．
如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ．
【答案】
【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解．
【详解】解：由题意得
是整式，
，，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键．
题型二、异分母分式加减法
7．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加减，先通分，再计算减法，最后约分即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的加减法，先变形为同分母分式，再进行加减计算即可．
【详解】,
故答案为：．
9．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式的变形得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，异分母分式加法，正确得到是解题的关键．
10．（22-23七年级上·上海宝山·期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据异分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法，熟知相关计算法则是解题的关键．
11．计算： ．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
12．化简：
【答案】-
【分析】先通分化为同分母分式再进行相加减,最后化为最简分式即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=．
【点睛】本题考查了分式的加减运算,掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
题型三、整式与分式相加减
13．化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
【详解】解：
．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
14．若，则式子的值是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选A
【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键．
15．计算：＝ ．
【答案】/
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【详解】解：原式＝﹣
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式与分式的加减运算，如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式的分母看成1，先通分，再进行加减运算．
16．计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
17．计算： ．
【答案】/
【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型四、已知分式恒等式，确定分子或分母
18．已知x+＝3，那么分式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件可知，则在分式的分子和分母同时除以，然后对分母运用完全平方公式变形，代入条件求解即可．
【详解】由条件可知，
则，
将代入上式得：
原式，
故选：C．
【点睛】本题考查分式求值问题，灵活结合分式的性质以及完全平方公式进行变形是解题关键．
19．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
20．已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
21．如果，，那么，的值为（ ）
A．36B．16C．14D．3
【答案】A
【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案．
【详解】解：由，去分母，得
，
则
∵，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．
22．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】先对条件进行变形，再整体代入化简即可．
【详解】由条件可得：，
原式=，将化简后的条件代入得：原式= =，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，灵活对条件进行变形，整体代入是解题关键．
23．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
24．已知,则4A-B的值是 .
【答案】13
【分析】由，利用恒等式的性质即可得出．
【详解】，
∵
∴A－B＝3，A＋2B＝4
∴A＝，B＝
∴4A－B＝13
故答案为:13
【点睛】本题考查的是分式的恒等变形，熟练掌握分式加减运算的法则是解题的关键.
25．已知，则 ．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
①+②得：；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
26．已知，则的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
27．已知，求的值.
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵
左边=，
右边=
所以
解得：.
把，代入，．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
28．阅读：分式可进行如下变形：．
探索：如果，则 ；
总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】探索：；总结：；应用：2或0
【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键．
探索：把已知式子展开成求解即可；
总结：根据条件化式子为计算即可；
应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可；
【详解】解：探索：，
所以；
总结：，
∴；
应用：∵，
又∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴或，
∴或0．
题型五、分式加减混合运算
29．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
30．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式．
（2）原式
31．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用单项式乘单项式法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．
【详解】（1）原式
；
（2）原式，
．
【点睛】本题考查了整式以及分式的化简，正确的计算是解题的关键．
32．计算：
【答案】原式=
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可
【详解】原式=
=
=
=
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
33．分式运算：
（1）；（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先通分，再化简；
（2）先对x2-4分解因式，再通分化简．
【详解】(1)原式==
(2)原式=
=
=
=
【点睛】此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键
题型六、分式加减的实际应用
34．如果，那么的值为 ．
【答案】2.
【分析】根据分式的运算对各已知式进行化简整体代入求值即可.
【详解】解：∵a+=1,
∴b=.
∵b+=1,
∴+=1
∴=1
∴c+2-2a=c-ac
化简得：ac+2=2a
∴===2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了分式的化简求值和整体代入的数学思想，化简后整体代入是解题的关键.
35．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．
(2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
【答案】(1)
(2)满足条件的整数x的值为2或4或﹣10或16
【分析】（1）按照定义拆分即可．
（2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，＝，若要值为整数，只需为整数即可．
【详解】（1）解：
＝
．
（2）解：
＝
若要值为整数，只需为整数即可
当x=2时
当x=4时
当x=-10时
当x=16时
故x=2或4或-10或16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求使分式值为整数的未知数等知识点，理解逆用分数加减法的化简方法是解答本题的关键．
36．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）2-；（2）x=2或0
【分析】（1）根据题意，把分式，分子化为“”，再进行化简，写成整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）由题可得，==2-；
（2）==x+1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x-1=±1，
∴x=2或0．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
37．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【答案】(1)①真；②，
(2)，或或或
(3)36
【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值；
（3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．
【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②，
故答案为：，；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或；
（3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为，
则个位数字为，，，
，
，
，
，
，
当时，
为正整数，
，
当时，且为正整数，
不可能为整数，
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型七、分式加减乘除混合运算
38．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算．先用分数线表示除号，再约分，然后进行同分母的减法运算．
【详解】解：
．
故答案为：．
39．（22-23七年级上·上海闵行·期末）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】；1
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：．
，
∵且，
∴且，
∴，
∴原式．
40．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则化简即可得出结果，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
41．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： （结果用不含负整数指数幂的形式表示）．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算和负整数指数幂．先将负整数指数化为正整数指数，即分式形式，再通分相除，利用平方差公式分解，约分后可得到结果．
【详解】
解：．
．
．
．
．
42．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
43．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，。
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键．先将原分式化为最简分式，再把代入求值
【详解】解：原式•
．
当时，原式．
44．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：（结果不含负整数指数幂）：
【答案】
【分析】本题主要考查了含负整数指数幂的分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
45．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号里面的，把异分母化为同分母后，再相减，化除法为乘法，约分化简为最简分母后代入求值．解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．
【详解】
∵
∴原式．
46．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查分式混合运算，掌握先对异分母分式的通分，然后约分是解题的关键．
【详解】解：
．
题型八、分式化简求值
47．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂等知识，先按相关法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，原式．
48．（23-24七年级上·上海·期末）化简：，并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值．
【答案】，当时，原式，当时，原式．
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键，先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，最后代入求值即可．
【详解】解：
；
∵，
当时，原式，
当时，原式．
49．（23-24七年级上·上海崇明·期末）先化简分式：，再从3，2，5中选一个你认为合适的值，代入求值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
，
∵，，3，
当时，原式．
50．（23-24七年级上·上海金山·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号里面的加减，再计算括号外面的除法，即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式=．
51．（23-24七年级上·上海宝山·期末）先化简：，再从3、1、、中选取合适的代入求值．
【答案】；当时，原式=1
【分析】本题考查了分式的化简求值；根据异分母分式的加法法则计算括号内的运算，同时将除法变成乘法，再进行约分即可得到最简结果，然后根据分式有意义的条件选取合适的代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵、、，
∴当时，原式．
52．（23-24七年级上·上海普陀·期末）化简：，然后从中取一个你认为合适的数作为的值，再代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，先将括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用分式有意义的条件是分母不为0得到，把代入计算即可求出值．
【详解】解：
若分式有意义可得，
当时，原式．
53．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简原分式，再代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
解题技巧提炼
同分母的分式相加减分母不变,分子相加减
解题技巧提炼
异分母的分式相加减，先通分,变为同分母的分式后再加减
解题技巧提炼
整式与分式相加减，先将整式改写成与分式同分母的分式，再进行相加减.
解题技巧提炼
一般思路是先化简，再将已知条件代入求值，有时也会用到整体代入的思想.化简与求值的重点是化简.
解题技巧提炼
（1）若分子、分母是多项式,应先因式分解;
（2）若分子、分母中有公因式,应先约分最后结果要化为最简分式或整式.
解题技巧提炼
在分式的减法运算中，当减式的分子是一个多项式时，必须给分子加上括号后再相减.要注意分数线有除号和括号的作用.
解题技巧提炼
(1)分式的混合运算,应先算乘方,再算乘除，最后算加减,有括号的先算括号里面的;(2)分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减.
解题技巧提炼
解决分式的化简与求值问题的一般思路是先化简，再将已知条件代入求值，有时也会用到整体代入的思想.化简与求值的重点是化简.