高中数学人教B版 (2019)必修 第三册正弦函数的性质与图像巩固练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册正弦函数的性质与图像巩固练习，共36页。


知识点01 正弦函数的性质
定义域与值域：
定义域为，值域为
当且仅当，时，函数的最小值为；
当且仅当，时，函数的最小值为；
奇偶性：
正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
周期性：
(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
单调性：
在上单调递增，在上单调递减（）；
正弦函数的零点：
正弦函数的零点是
【即学即练1】
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称D．曲线关于直线对称
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程；对称中心（）
3、五个关键点：,,,,
【解读】（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，
(1)用五点法画函数的图象；
(2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数.
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【典例1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）列表描点连线五点作图画在上的图像.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出函数的简图？
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)，；
(2)，.
题型02 正弦函数的单调性
【典例2】下列关于函数，的单调性的叙述，错误的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
【变式1】（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)；
题型03 含sinx函数的奇偶性
【典例3】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（24-25高一上·吉林长春·期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则 ．
题型04 正弦函数的值域与最值
【典例4】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】函数，的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高一下·上海·期中）函数最小值为 ．
【变式4】（24-25高一·上海·随堂练习）函数，的值域是 ．
【变式5】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
题型05 由正弦函数图象解不等式
【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 .
【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，求使有意义的x的取值范围．
【变式4】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的定义域．
题型06 利用单调性比较大小
【典例6】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和.
【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列关系式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】令，，判断a与b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法判断
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与.
题型07 正弦函数的零点问题
【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1】（23-24高一下·广东茂名·期中）（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）设为常数，若满足，且的的值只有一个，则实数的值为 .
【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（24-25高一·上海·随堂练习）下面关于正弦函数的性质中，错误的是（ ）．
A．最小正周期是2π；B．值域是；
C．是偶函数；D．定义域是实数集R．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的简图为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高一上·四川泸州·期末）函数取得最小值时，（ ）
A．B．C．0D．
6．（24-25高三上·山东枣庄·期中）若函数的最小值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·陕西·阶段练习）函数图象与直线（为常数）公共点的个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小值为1B．在上是增函数
C．为的一个周期D．在上有两个零点
11．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则（ ）
A．为偶函数
B．是的最小正周期
C．在区间上单调递增
D．的值域为
三、填空题
12．函数在上的递增区间为 ．
13．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ．
14．（24-25高一上·天津·期末）设函数，若[x]表示不超过x的最小整数，则函数 的值域是 .
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业），用“五点法”作出函数的简图
16．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知集合，.
(1)当时，设全集，求；
(2)若，求a的取值范围.
课程标准
学习目标
1.掌握的周期性、奇偶性、单调性和最值；
2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题；
3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象。
1.了解正弦曲线的画法，能错误使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象，重点提升直观想象核心素养；
2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象与性质解决相关问题，重点提升数学运算核心素养。
第07讲 正弦函数的性质与图像

知识点01 正弦函数的性质
定义域与值域：
定义域为，值域为
当且仅当，时，函数的最小值为；
当且仅当，时，函数的最小值为；
奇偶性：
正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
周期性：
(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
单调性：
在上单调递增，在上单调递减（）；
正弦函数的零点：
正弦函数的零点是
【即学即练1】
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可.
【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数.
2．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称D．曲线关于直线对称
【答案】B
【分析】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可.
【详解】由，
A：因为在上单调递增，所以在上单调递减，错误；
B，D：因为的对称轴为，，故B错误，D错误；
C：因为的对称中心为，，错误.
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程；对称中心（）
3、五个关键点：,,,,
【解读】（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，
(1)用五点法画函数的图象；
(2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数.
【答案】(1)图象见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象；
（2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可.
【详解】（1）由题意，列表：
根据五点，作图：
（2）其图象如图：
观察图象得：当或时，有0个交点；
当或时，有1个交点；
当或时，有2个交点；
当时，有3个交点.
题型01 五点作图法画正弦函数图象
【典例1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）列表描点连线五点作图画在上的图像.
【分析】利用五点法列表求值，再描点画图即可.
【详解】(1)列表:
描点作图：
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出函数的简图？
【答案】答案见解析
【分析】根据正弦函数图象的列表、描点、连线即可得结论.
【详解】列表：
描点连线，其图象如图所示．

【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用“五点法”按照列表、描点、连线的过程画出函数图象；
（2）列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像.
【详解】（1）因为，
列表：
描点、连线，函数图象如下图所示：

（2）因为的定义域为R，关于原点对称，
，故为偶函数，
解：列表
作图：先作出的图像，又原函数是偶函数，
图像关于y轴对称，即可作出的图像.

题型02 正弦函数的单调性
【典例2】下列关于函数，的单调性的叙述，错误的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.
【详解】解：，
当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增．
故只有C错误．
故选：
【变式1】（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】对于ABC：，，均在区间上单调递减，错误；
对于D：在区间上单调递增，错误；
.
【变式2】函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由的图象与性质得的单调减区间.
【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D不符合题意.
.
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)；
【详解】（1）函数的递增区间为，，
递减区间为，，
则函数的递增区间为，，
递减区间为，，
（2）因为求的单调增区间即求的单调减区间，
因为求的单调减区间即求的单调增区间，
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为，.
题型03 含sinx函数的奇偶性
【典例3】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义计算求参，再根据充分不必要条件定义判断即可.
【详解】当时，，可得，所以是偶函数；
函数，因为是偶函数，所以，
所以，所以，即，不能得出;
故“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件.
.
【变式1】（24-25高一上·吉林长春·期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可；
【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A错误；
对于B，，不是奇函数，故B错误；
对于C，为偶函数，故C错误；
对于D，在区间0,1上是减函数；故D错误；
.
【变式2】（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】设与相减可得答案.
【详解】因为，所以，
设，
可得
，解得.
.
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】由题设知函数为奇函数，再利用奇函数特征代入计算即得.
【详解】令，则的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
由得， .
故答案为：.
题型04 正弦函数的值域与最值
【典例4】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数的基本性质可求得原函数的值域.
【详解】因为，则，故.
.
【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解正弦函数的值域，得到，进而利用补集和交集概念求出答案.
【详解】，故或x>1，
故或x>1，
即.
【变式2】函数，的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由正弦函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，；
时，；
时，，
所以函数，的值域是.
.
【变式3】（23-24高一下·上海·期中）函数最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据即可求解.
【详解】因为，
所以当时，函数有最小值为.
故答案为：3.
【变式4】（24-25高一·上海·随堂练习）函数，的值域是 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到，进而求得函数的值域.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
所以值域为，
综上所以．
图象为：
故答案为：
【变式5】函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：
因为，所以
∴或，∴或
故的值域为
解法二：由，得，易知，
所以，则，解得或
故的值域为．．
题型05 由正弦函数图象解不等式
【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足，
即，结合图象，知道．
.
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，作出正弦函数的图象，再结合图象求解不等式.
【详解】画出，的草图如下：

当时，由，得，又，
观察图象，当时，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为
【答案】
【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【详解】
由题意得：
，
解得：或，
故函数的定义域是，
故答案为：
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，求使有意义的x的取值范围．
【答案】或
【分析】由题意只需解不等式即可，结合三角函数、对数函数性质即可得解.
【详解】要使该式有意义，
需满足，
即，作出正弦函数图象，如图所示．
由图象知的定义域为．
【变式4】（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的定义域．
【答案】．
【分析】由被开方数非负得不等式，先利用同角三角函数关系将余弦化正弦，再把看作整体解不等式，然后借助正弦函数图象可得.
【详解】要使函数有意义，需满足，
即，
解得，由正弦函数的图象，可得．

题型06 利用单调性比较大小
【典例6】（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和.
【答案】(1).
(2)
【分析】(1)利用正弦函数在上的单调性比较大小；
(2)利用正弦函数在在上的单调性比较大小.
【详解】（1）因为，
正弦函数在区间上是增函数,
所以.
（2），
，又，
正弦函数在区间上是增函数,
所以，即.
【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列关系式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据诱导公式得到和，再结合正弦函数的单调性可得到从而可确定答案．
【详解】因为，，
由正弦函数的单调性得，即.
【变式2】令，，判断a与b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法判断
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为函数在上单调递增，且，
所以.
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】（1）由，函数在上单调递增，
所以.
（2）由于，
，
因为函数在上单调递增，
由可得，所以，
所以.
题型07 正弦函数的零点问题
【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】画出的图象，观察其与直线的交点个数即可.
【详解】的图象如图所示，
由图可知其与直线有2个交点.
.

【变式1】（23-24高一下·广东茂名·期中）（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】BBD
【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数.
【详解】首先画出函数，的图象，

当时，有0个交点；当时，有1个交点；当0