高中人教B版 (2019)正切函数的性质与图修课时练习

这是一份高中人教B版 (2019)正切函数的性质与图修课时练习，共49页。

知识点01 正切函数的定义
对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
【即学即练1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 正切函数的性质
【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．
(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．
(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z.
(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
【即学即练2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 .
知识点03 正切函数的图像
(1)正切函数的图像
y＝tan x的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征
正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
【即学即练3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A．B．
C．D．
题型01 正切函数的定义域
【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 .
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 .
【变式3】（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 .
【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ．
题型02 正切函数的值域与最值
【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 .
【变式2】函数在的最小值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知在区间上的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4】当时,函数的最小值是
A．B．C．D．4
题型03 正切函数的周期性
【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（ ）
A．16B．8C．D．
【变式2】（24-25高一上·吉林四平·期末）“的最小正周期为是”“的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ．
【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 .
题型04 正切函数的奇偶性
【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法中错误的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数D．是最小正周期为的奇函数
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【变式2】函数的奇偶性是 ．
【变式3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 .
【变式4】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
题型05 正切函数的对称性
【典例5】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列说法不错误的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数图象的对称中心是
C．函数的零点为
D．函数在上单调递增
【变式2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数的对称中心的是（ ）
A．B．C．0,1D．
【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4】（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
题型06 正切函数的单调性
【典例6】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ．
【变式1】（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ．
【变式2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数的图象经过点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．的单调增区间为
D．在区间上的值域为
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A．B．C．D．
题型07 正切不等式的求解
【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C． ，D．，
【变式3】（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ．
【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ．
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
题型09 正切函数的图像及应用
【典例9】（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式3】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【变式4】函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A．B．C．D．
题型10 正切函数图像的变换
【典例10】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知函数与x轴交于A，B一点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．在上单调递增
C．最小正周期为D．图象关于点对称
【变式3】要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【变式4】（24-25高一下·陕西榆林·期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
一、单选题
1．（24-25高一下·北京·期中）函数是（ ）
A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的偶函数
2．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数（且）的值域为
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．图象关于点成中心对称B．图象关于直线成轴对称
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增
7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
二、多选题
9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）与函数的图象不相交的直线是（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则下列说法错误的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为
11．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
D．的单调递增区间为
三、填空题
12．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为π，则 .
13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ．
（2）函数的值域为 ．
14．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 .
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)试比较与的大小．
16．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数.
(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间；
(2)求不等式的解集；
(3)作出函数在一个周期内的简图.
18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数．
(1)若，求函数的定义域及最小正周期；
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
19．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，．
(1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若在上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围．课程标准
学习目标
1．能画出正切函数的图像
2．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质．
3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．
4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．
1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．
2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.
定义域、
值域
定义域为， 值域为 R
奇偶性
奇函数
周期
π
单调性
单调增区间(k∈Z)
零点
kπ，k∈Z
第10讲 正切函数的性质与图象
知识点01 正切函数的定义
对于任意一个角x，只要，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
【即学即练1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.
【详解】因为，所以.
则函数的定义域为
.
知识点02 正切函数的性质
【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．
(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．
(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z.
(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
【即学即练2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果.
【详解】易知正切函数的单调递增区间为，
所以令，解得；
即该函数的单调递增区间为.
故答案为：.
知识点03 正切函数的图像
(1)正切函数的图像
y＝tan x的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征
正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
【即学即练3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果.
【详解】由，得，令，得，
令，得，令，得，令，得，
令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线，
即直线与函数的图象不相交．
．
题型01 正切函数的定义域
【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 .
【答案】A
【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知需满足,
即，故函数的定义域为.
.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得.
【详解】函数有意义，则，于是，
即，因此，
所以原函数的定义域为.
【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由正切函数的定义得出定义域.
【详解】由，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式3】（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题意，，解不等式得出结论.
【详解】由题意，，所以，，
所以，，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据正切函数的定义域，列式求解.
【详解】由题意可知，，，
所以.
故答案为：
题型02 正切函数的值域与最值
【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再除以3即可.
【详解】
.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 .
【答案】2
【分析】配方，结合即可求解.
【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2.
故答案为：2
【变式2】函数在的最小值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.
【详解】，，，
根据函数在的最小值为7,最小值为3，
所以，即，根据正切函数在为单调增函数，
则，在上单调减函数，
，，
则，，，，
，
.
【变式3】已知在区间上的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
．
【变式4】当时,函数的最小值是
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答
【详解】分子与分母同除以，得，
时，的最小值为
综上，的最小值为4
故选D
题型03 正切函数的周期性
【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正切函数性质，求函数最小正周期.
【详解】由正切型函数的性质，知的最小正周期.
【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（ ）
A．16B．8C．D．
【答案】B
【分析】利用正切函数的周期公式求解.
【详解】的最小正周期为．
.
【变式2】（24-25高一上·吉林四平·期末）“的最小正周期为是”“的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；
当时，的最小正周期为，即必要性成立；
所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件.
【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ．
【答案】/0.5
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得.
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 .
【答案】
【分析】先根据正切函数的最小正周期求出，再计算即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，
故，所以，
故答案为：.
题型04 正切函数的奇偶性
【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法中错误的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数D．是最小正周期为的奇函数
【答案】C
【分析】利用正切型函数的周期公式及奇偶性定义判断即可.
【详解】函数中，，则，
其最小正周期为，且，为奇函数.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】的定义域为，定义域对称，
因为，
所以是偶函数.
.
【变式2】函数的奇偶性是 ．
【答案】奇函数
【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.
【详解】由，得或，
∴函数定义域为∪，关于原点对称．
又，
∴，∴是奇函数．
故答案为：奇函数.
【变式3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 .
【答案】
【分析】结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由，，
设函数，，
则，
即函数为奇函数，则，
所以，
则，即.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.
【详解】因为的图象关于原点中心对称，
所以，又，故的最小值为．
故答案为：.
题型05 正切函数的对称性
【典例5】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值.
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，，
则，
.
【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列说法不错误的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数图象的对称中心是
C．函数的零点为
D．函数在上单调递增
【答案】A
【分析】A选项，先求出定义域，进而得到，故A错误；B选项，令，解得，得到对称中心；C选项，令，求出零点；D选项，整体法得到函数的单调递增区间，得到答案.
【详解】A选项，，解得，
故的定义域为，
，故为奇函数，A错误；
B选项，令，解得，
故图象的对称中心是，B错误；
C选项，令，解得，
故函数的零点为，C错误；
D选项，令，解得，
当时，，
故在上单调递增，D错误.
【变式2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数的对称中心的是（ ）
A．B．C．0,1D．
【答案】C
【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案.
【详解】令，解得，
故函数的对称中心为，
故AB错误；
当时，，故对称中心为，D错误，
经检验，C不满足要求.
【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
【详解】当函数的图象关于对称时，
有，，得，，
易知，，
所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．
．
【变式4】（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期.
【详解】因为函数的图象的一个对称中心为，
则，解得，
且，所以函数的最小正周期为，
对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误；
对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误；
对于选项C：若，解得，故C错误；
对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误；
.
题型06 正切函数的单调性
【典例6】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的单调区间求解即可.
【详解】根据正切函数的单调区间可得
，
.
故答案为：
【变式1】（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ．
【答案】．
【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可.
【详解】令，，
解得，
故函数的单调递减区间是:．
故答案为:．
【变式2】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数的图象经过点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．的单调增区间为
D．在区间上的值域为
【答案】BBD
【分析】先根据图象过点计算解析式，再结合正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】将代入得，
所以，
对于A，函数的最小正周期，故A错误；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B错误；
对于C，令，
即函数的单调递增区间为：，故C错误；
对于D，当时，则，则，故D错误.
BD
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，，即可得到答案.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以，，，
.
.
【变式4】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解.
【详解】令，解得，
故且，解得，
题型07 正切不等式的求解
【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】求解不等式即可.
【详解】由题意，得，
所以，，得，，
故所求函数的定义城为，，
.
【变式1】（23-24高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得.
【详解】依题意，得，解得，
所以不等式的解集为.
【变式2】函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C． ，D．，
【答案】A
【分析】由对数函数的性质得，利用正切函数的性质以及余弦函数的性质即可分类求解.
【详解】的定义域满足，
当时，则等价于或，
此时解得,或
当时，也不符合要求，此时,
综上可知：满足的的取值范围为，
【变式3】（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的定义，得不等式，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】由，得.
所以函数y=fx的定义域为.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数图象即可求解.
【详解】因为角A是的一个内角，
所以，又，
所以由正切函数图象可得.
故答案为：.
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用三角函数的性质得到，进而得到，再利用对数函数的单调性与换底公式即可得解.
【详解】因为，所以，
即，
所以，，即，
所以，
即，则，
因为，，
，
所以.
.
【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先判断，然后根据三角函数的定义和单调性判断即可得出答案.
【详解】因为是钝角，所以，，，
因为，在0,π上是减函数，
所以，
而在上是增函数，可得，
所以，所以，
.
【变式2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由换底公式化简，并判断，由对数函数的性质判断，根据正切函数的单调性可判断，得解.
【详解】由题意得，．
因为函数在上单调递增，所以，
即．故．
.
【变式3】（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式得，然后由正切函数的单调性可得.
【详解】，
因为函数在上单调递增，且，
所以，即.
【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可得，又由从而得出的大小关系，得出答案.
【详解】因为，即，所以
又，
，所以
所以
题型09 正切函数的图像及应用
【典例9】（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解.
【详解】由，得，
在同一坐标系内作出，，的图象，
由图知，两函数的图象的交点有4个，
所以当时，函数的零点个数为4.
【变式1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质，代入求值即可.
【详解】函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，
则的最小值为．
.
【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论.
【详解】令，可得
当时，则有，
数形结合画出与在上的图象如下图所示：
可得在内两图象有三个交点；
当时，在内解得，不是方程的解，不合题意.
【变式3】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，,，
则的最小值为．
【变式4】函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值.
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为三角形的面积，可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意得，解得，故，得，即，
的图象过点，即，
∵，则，

∴，解得．
∴
∴.
题型10 正切函数图像的变换
【典例10】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知函数与x轴交于A，B一点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据题意求得的最小正周期为，得到，结合三角函数的图象变换，得到，由为奇函数，求得，进而求得的值.
【详解】因为函数与x轴交于A，B一点，且线段AB长度的最小值为，
可得函数的最小正周期为，所以，所以，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
又因为为奇函数，可得，即，
因为，当时，可得；当时，可得，
所以的值为或.
.
【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据图象平移伸缩变换，可得答案.
【详解】函数的图象向左平移个单位，得，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得.
.
【变式2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．在上单调递增
C．最小正周期为D．图象关于点对称
【答案】C
【分析】求出函数的解析式，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，由，得，
即函数的定义域为，
对于A，，即函数是奇函数，
不是偶函数，其图象关于直线不对称，A错误；
对于B，0不在函数的定义域内，则函数在上不单调，B错误；
对于C，函数的最小正周期为，C错误；
对于D，，的图象关于点对称，D错误.
【变式3】要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】化简即得解.
【详解】，
所以要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象向右平移个单位.
【变式4】（24-25高一下·陕西榆林·期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答.
【详解】函数的图象向右平移个单位得，
依题意，，，解得，而，有，，
所以的最小值为2．
一、单选题
1．（24-25高一下·北京·期中）函数是（ ）
A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的偶函数
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质判断的最小正周期、奇偶性，即可得答案.
【详解】由正切函数性质知：的最小正周期为，
定义域关于原点对称且，即为奇函数.
所以是周期为的奇函数.
2．（23-24高一下·广西桂林·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直接求解即可.
【详解】为使函数有意义，只需，即，
所以函数定义域为：.
.
3．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D.
【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误；
对于B：因为在定义域0,+∞上单调递增，所以，故B错误；
对于C：，，
又在0,π上单调递减，所以，即，故C错误；
对于D：，，
又在上单调递增，所以，所以，故D错误.
.
4．（24-25高一下·山东济宁·期中）函数（且）的值域为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：且，且，
由于正切函数的图象及单调性，得：
或，
即
故选B．
考点：正切函数的图象．
5．（23-24高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可.
【详解】当时，，
则其图象关于原点对称，故充分性成立，
当函数的图象关于原点中心对称时，
则，不一定成立，
则必要性不成立，
则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，
.
6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．图象关于点成中心对称B．图象关于直线成轴对称
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称性、定义域、单调性逐项分析即可.
【详解】当时，，
所以是函数的对称中心，故A错误，B错误；
当时，，
则当时，函数无意义故C错误；
当时，，
则当时，函数无意义故D错误，
.
7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，，即可得到答案.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以，，，
.
.
8．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
【答案】A
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，，
因此函数的图象关于直线对称，C错误；
对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误.
二、多选题
9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）与函数的图象不相交的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据正切函数的定义域有且，即可判断不相交直线.
【详解】由正切函数性质知：且，则且，
当，；当，；当，；
所以，只有A、D不符合，B、C不不符合.
D
10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则下列说法错误的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为
【答案】BCD
【分析】利用正切函数的周期公式求出周期判断A；求出定义域判断B；验证判断对称性判断C；利用平移变换求出解析式判断D.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A错误；
对于B，由，得，的定义域为，B错误；
对于C，当时，函数无意义，则的图象关于点对称，C错误；
对于D，将的图象向左平移个单位，得，D错误.
CD
11．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
D．的单调递增区间为
【答案】BCD
【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为，
则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B错误；
对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到
函数的图象，故C错误；
对于D，由，可得，
所以的单调递增区间为，D错误.
CD.
三、填空题
12．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为π，则 .
【答案】
【分析】利用周期求出可得的解析式，再求即可.
【详解】因为周期为，所以，，
则.
故答案为：.
13．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ．
（2）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解；
（2）令，换元法转化为求二次函数值域即可.
【详解】（1）要使有意义，
则，解得，
解得.
故函数的定义域是；
（2）设，则，
当时，.
所以的值域是．
故答案为：；.
14．（24-25高一上·湖南常德·期末）若将函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题可知是该函数周期的整数倍，结合计算即可求解.
【详解】由题可知是该函数周期的整数倍，
即，解得.
又，故其最小值为.
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解；
（2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小.
【详解】（1），
由，得．
因为在上单调递增，
所以在上单调递减．
故原函数的单调递减区间为．
（2），
，
因为，且在上单调递增，
所以，所以．
16．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解.
（2）由，得,解不等式组即可得解.
【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集为.
17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数.
(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间；
(2)求不等式的解集；
(3)作出函数在一个周期内的简图.
【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）.
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间.
（2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集.
（3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图.
【详解】（1）由，
得（），
∴的定义域是,
∵，
∴最小正周期，
由（），得（）.
∴函数的单调增区间是（）.
所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）.
（2）由，得（）.
解得（）.
∴不等式的解集是.
（3）令，则；
令，则；
令，则.
∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，.
从而得函数y=fx在一个周期内的简图如下：
18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数．
(1)若，求函数的定义域及最小正周期；
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解.
（2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期；
由，解得，
所以函数的定义域为．
（2）由，得，
由函数在区间内单调递增，得，解得，又，
所以的取值范围为．
19．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，．
(1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若在上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围．
【答案】(1)， ；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得；
（2）由题可得，进而即得；
（3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得.
【详解】（1）由题可得，
所以函数的最小正周期为 ，
由，可得，
所以函数的图像的对称中心 ；
（2）因为在上是严格增函数，
所以，
所以，又，
所以；
（3）因为，
所以，，至少存在2022个根，
所以可得b－a至少包含2021个周期，即，
所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022，
所以，
所以．
课程标准
学习目标
1．能画出正切函数的图像
2．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质．
3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．
4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．
1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．
2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.
定义域、
值域
定义域为， 值域为 R
奇偶性
奇函数
周期
π
单调性
单调增区间(k∈Z)
零点
kπ，k∈Z