人教B版 (2019)必修 第三册正弦函数的性质与图像教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册正弦函数的性质与图像教案，共7页。教案主要包含了情境引入，复习旧知，探究新知，典例分析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境引入
将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm.记以OP为终边的角为xrad，点P离地面的高度为ym，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？
二、复习旧知
前面我们学过了三角函数线的相关知识，大家回顾下面知识并填空：
如下图，设任意角的终边与单位圆交于点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，可以直观地表示，我们称为角的_______，如果，把的方向看作与y轴正方向_______，表示是正数，且_______；如果，把的方向看作与y轴正方向相反，表示是负数，且，当角的终边在x轴上时，正弦线变成_______.
（答案：正弦线；相同；；点）
设计意图：从图形角度直观研究正弦线，为后续研究性质打下基础.
三、探究新知
大家观察正弦线，根据正弦线的变化大家可以得出正弦函数具有哪些性质？
观察1：是不是每个角都有正弦值？
观察2：正弦线长度的最大值是多少？
观察3：关于x轴对称的两个角的正弦线有什么关系？
观察4：终边相同的角的正弦线有什么关系？
观察5：当角旋转一周时，正弦线如何变化？
观察6：哪些角的正弦值为0？
师生一起归纳得出：
1.定义域：的定义域为R.
2.值域：引导回忆单位圆中的正弦线，结论：（有界性）.
再看正弦线（图像）验证上述结论，所以的值域为.
最值：（1）对于，当且仅当时，；
当且仅当时，.
（2）当时，；
当时，.
3.奇偶性：，故是奇函数.
4.周期性：（1）正弦函数的图像是有规律的、不断重复出现的；
（2）规律是：每隔重复出现一次（或者说每隔重复出现）；
（3）这个规律由诱导公式也可以说明.
师给出周期性的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足，那么就称函数为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期.对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为的最小正周期.
结论：是一个周期函数，都是它的周期，最小正周期为.
5.单调性：
增区间为，其值从增大到1；
减区间为，其值从1减少到.
6.正弦函数的零点：正弦函数的零点为.
设计意图：根据正弦线，师生共同探究正弦函数的性质，增强学生的学习积极性和主动性.
四、典例分析
例1 设，列出不等式求t的取值范围.
分析：利用正弦函数的值域，的范围与的范围相同，列出不等式求解t的取值范围.
解：因为，所以，解得.
变式1 设，求m的取值范围.
解：的值域为，故，解得.
变式2 不等式恒成立，求t的取值范围.
解：不等式恒成立，等价于大于等于的最大值，故有，解得或.
设计意图：通过例题以及变式训练要求学生掌握正弦函数的值域并熟练应用.
例2 不求值，比较与的大小：
解：因为，
，
，
又因为在区间内递增，且，所以，
因此.
变式3 不求值，比较下列两数的大小：
与.
分析：利用正弦函数在内递增；在内递减比较大小，对于不在单调范围内的角可通过诱导公式转化到单调区间求解.
解：（1）因为，而在内递增，
故.
设计意图：通过例题以及变式训练要求学生掌握正弦函数的单调性并熟练应用.
例3 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值.
（1）：
（2）；
（3）.
解：（1）函数与同时取得最大值和最小值，所以，
当时，取得最大值；
当时，取得最小值.
（2）令，则
，
于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.
因为时，，所以，因此
.
从而，此时，即，此时.
（3）令，则
.
因为时，所以，因此
.
从而，此时，此时，即或.
设计意图：通过例题要求学生掌握正弦函数的最值以及常见题型的求法，并熟练应用.
五、课堂小结
本节课我们共研究了正弦函数的几条性质，分别是定义域与值域、奇偶性、周期性、单调性、零点，这些性质都依托于正弦线，同学们要从图形的角度研究其性质，体会数形结合思想的应用.
六、布置作业
教材第42页练习A第1~4题.
板书设计
教学研讨
本节课主要是由正弦线直观判断正弦函数的性质，并上升到理性认识，理解并掌握正弦函数的性质，以学生的自主学习和合作探究式学习为主，由正弦线得出其性质是重点和关键，教师组织学生体验数形结合的数学思想.如何从数到形，再从形到数，尽量让学生将数与形完美结合在一起.
在性质的教学环节，关于奇偶性和周期性也可以借助三角函数线的相关知识进行推导，这样可以更好地体现数学直观想象核心素养.
第1课时 正弦函数的性质
一、情境引入
二、复习旧知
三、探究新知
1.定义域
2.值域、最值
3.奇偶性
4.周期性
5.单调性
6.零点
四、典例分析
例1
变式1
变式2
例2
变式3
例3
五、课堂小结