(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第七章三角函数章末测试(学生版+解析)

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第七章 三角函数章末测试 （考试地址：120小时 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是不符合题目要求的． 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的圆长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 2．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高一上·山西运城·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＜|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 6．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的地址变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 8．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项不符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法错误的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最小值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则 . 13．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ． 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为 ；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是 . 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·云南昭通·期末）平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 16．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数的图象过点. (1)求及的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 17．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 18．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 19．（24-25高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 第七章 三角函数章末测试 （考试地址：120小时 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是不符合题目要求的． 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的圆长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 2．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由三角函数定义及诱导公式可得答案. 【详解】由三角函数的定义，有. 由诱导公式，. . 3．（24-25高一上·山西运城·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值. 【详解】因为. 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故A错误； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. . 5．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＜|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】 由题意可得，讨论当时，当时，当时，运用同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象，即可得到所求范围． 【详解】 解：由， 可得， 再由，可得， 当时，显然成立； 当时，由，即，可得； 当时，，即有， 则，解得， 综上可得． ． 6．（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象、性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由，得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误； 对于D，不等式，则， 解得， 所以不等式的解集是，D错误. 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的地址变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B错误； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的地址变为原来的2倍，故C不错误； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的地址为，故D错误； . 8．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项不符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BBC 【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可. 【详解】对A：因为，则， 所以， 又因为，则，，所以，故A错误； 对D：可得，且， 所以，故D错误； 对B：联立，可得，，故B错误； 对C：可得，故C错误. BC. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据函数图象分别根据最值，特殊点，代入求出得，分类讨论分别计算求解判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，， ，即，又，所以或． 根据图象可知的最小正周期应满足，即， 解得． 若，则， 即，即，，， 令，可得，不符合题意； 若，则，即， 即，，， 令，得，令，得，都不不符合题意． 综上可得，，所以．故A不错误，B错误． 对于C，当时，， 所以的图象关于直线对称，C错误． 对于D，当时，， 所以，即，D不错误． 故选:BC． 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）对于函数（），下列说法错误的是（   ） A．当时，函数在上有且只有一个零点 B．若函数在单调递增，则的取值范围为 C．若函数在时取最小值，在时取最小值，且，则 D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 【答案】BBD 【分析】由正弦函数的单调性可得A、B错误；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D错误. 【详解】对于A，当时，， 令，则， 当，为正弦函数的递减区间，此时， 所以有解，且只有一个零点，故A错误； 对于B，， 因为单调递增，所以，解得， 又，所以，故B错误； 对于C，由题可得，所以，故，此时， 令，则， 故，所以，故C错误； 对于D，， 若为偶函数，则，解得， 所以当时，的最小值为2，故D错误； BD 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，最后利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【详解】因为点在单位圆上且，所以，得． 即，且由三角函数定义知，．由，得： ，故． 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为 ；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意得，根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得，即可求出的最小值；将问题化为在上恰好有4个解，结合正弦函数性质有即可得结果. 【详解】依题意得， 图像向左平移个单位得为偶函数， 所以，所以， 因为，所以当时，的最小值为. 在区间内恰好有4个零点，即在区间内恰好有4个解， 所以在区间内恰好有4个解， 因为，即， 所以，解得：. 故答案为：；. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·云南昭通·期末）平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）因为角的终边经过点，则， 由三角函数的定义得，，. （2）由题意可知：， 由（1）可知：， 所以. 16．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数的图象过点. (1)求及的最小正周期； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1)，最小正周期为 (2)单调递增区间为 【分析】（1）代入即可求，由周期公式可求最小正周期； （2）通过整体代换法，即可求解； 【详解】（1）因为的图象过点， 所以即 化简得即所以. 的最小正周期： （2）由（1）可知 令，因为的单调递增区间为, 所以令 解得 所以的单调递增区间为 17．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案； （3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以的单调递减区间为． （2）由，得． 由正弦函数的图象可得，， 所以在上的值域为． （3）由，得， 得或， 解得或， 则在上的3个零点为，，， 所以， 得，即的取值范围为． 18．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 19．（24-25高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为.