(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第七章三角函数章末题型大总结(学生版+解析)

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第七章 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的定义 解题锦囊1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＜0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．【典例1】（24-25高一下·福建莆田·开学考试）若角的终边过点，则（ ）A．B．C．D．【变式1】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ）A．B．C．D．【变式2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ）A．B．为第二象限的角C．D．【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ）A．B．C．D．【变式4】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ）A．2B．C．或2D．或【变式5】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ．题型02同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用解题锦囊1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【典例2】（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ）A．B．1C．D．【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ）A．B．C．D．【变式2】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则（    ）A．B．C．D．【变式3】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论错误的是（    ）A．B．C．D．【变式4】（多选）（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式错误的有（    ）A．B．C．D．【变式5】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列式子中错误的有（    ）A．B．C．D．【变式6】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法错误的是（    ）A．B．若，则C．若是第三象限角，且，则D．若角的终边过点，则题型03三角函数的图像及变换 解题锦囊三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【变式1】（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ）A． B．C．D．【变式3】（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【变式4】（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ）A．B．C．D．【变式5】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A．B．C．D．将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象题型04三角函数的性质 解题锦囊研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.【典例4】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ）A．B．该简谐运动的频率为，初相为C．直线是的一个对称轴D．点是曲线的一个对称中心【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法错误的是（   ）A．函数最小正周期为B．定义域为C．函数图象所有对称中心为，D．函数的单调递增区间为，【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ）A．B．C．D．【变式3】（24-25高一下·云南德宏·开学考试）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）.A．B．C．D．【变式4】（多选）.（24-25高一下·云南大理·开学考试）已知函数，则下列结论错误的是（   ）A．的最小正周期为B．图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象【变式5】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论错误的是（  ）A．B．C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称.【变式6】（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数．(1)求函数的单调增区间；(2)求函数的对称轴方程和对称中心；(3)当时，求的值域．002第七章 三角函数 章末题型大总结 题型01三角函数的定义 解题锦囊1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＜0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．【典例1】（24-25高一下·福建莆田·开学考试）若角的终边过点，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.【变式1】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】由已知可得，，则，又，所以，则.【变式2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ）A．B．为第二象限的角C．D．【答案】C【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误.【详解】由题设，可得，A错；所以，则为第三象限的角，B错；，C错；，D对.【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三角函数的定义求得即可判断.【详解】由题意得，由三角函数的定义可得，.若，则，，；若，则，，；.【变式4】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ）A．2B．C．或2D．或【答案】C【分析】由三角函数的定义计算可得；【详解】由三角函数定义可得，解得，所以的值为或..【变式5】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为 ．【答案】【分析】首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，最后利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标.【详解】因为点在单位圆上且，所以，得．即，且由三角函数定义知，．由，得：，故．故答案为：.题型02同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用解题锦囊1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【典例2】（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ）A．B．1C．D．【答案】C【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以..【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可.【详解】因为，解得..【变式2】（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.【详解】因为，则..【变式3】（多选）（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知，则下列结论错误的是（    ）A．B．C．D．【答案】BBC【分析】由，平方可得，进而可得，求解可得，逐项分析判断即可.【详解】对A：因为，则，所以，又因为，则，，所以，故A错误；对D：可得，且，所以，故D错误；对B：联立，可得，，故B错误；对C：可得，故C错误.BC.【变式4】（多选）（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式错误的有（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据诱导公式化简可判断ABC的真假；根据同角三角函数的商数关系结合诱导公式可判断D的真假.【详解】对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C错误；对D：，故D错误.CD【变式5】（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，下列式子中错误的有（    ）A．B．C．D．【答案】BBD【分析】根据诱导公式逐项计算后可得错误的选项.【详解】对于A，，故，故A成立；对于B，，故B成立；对于C，，而，故，故C不成立；对于D，，故D成立，BD.【变式6】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法错误的是（    ）A．B．若，则C．若是第三象限角，且，则D．若角的终边过点，则【答案】BBD【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断.【详解】，A错误；若，则，即，B错误；若是第三象限角，且，则，所以，所以，C错误；若角的终边过点，则，，D错误.故选：题型03三角函数的图像及变换 解题锦囊三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（   ）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据三角函数图象的变换规则即可得出结果.【详解】由表中的数据可得，，解得，所以，将图象向左平移单位后，得到的图象.【变式1】（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【分析】根据函数平移性质判定即可.【详解】向右平移个单位，将函数的图像得到函数的图象.【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ）A． B．C．D．【答案】B【分析】根据三角函数图象变换以求得错误答案.【详解】函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到，再将图象向右平移个长度单位得到.【变式3】（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （    ）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】由函数图象可知：，函数过、一点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此，即，因为，所以，即，所以，因为，所以，即，因此，而，所以将的图象向左平移个单位长度得到的图象.【变式4】（24-25高三下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据三角函数的性质得，，求解.【详解】因为，所以，，，即得，，，故得，，当时，的最小值是.【变式5】（多选）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A．B．C．D．将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象【答案】BB【分析】由图象确定函数解析式判断ABC，由图象变换判断D．【详解】由图可知，由，得，则，A，B错误．因为，所以，得，又，所以，C错误．由题意得，D错误．B题型04三角函数的性质 解题锦囊研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.【典例4】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ）A．B．该简谐运动的频率为，初相为C．直线是的一个对称轴D．点是曲线的一个对称中心【答案】BCD【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误.【详解】由图知，由图像知，又，所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到，所以，对于选项A：设，由，得到，所以，故选项A错误；对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误；对于选项C：因为，由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C错误；对于选项D：因为，由，即，故点是曲线的一个对称中心，故选项D错误；CD【变式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法错误的是（   ）A．函数最小正周期为B．定义域为C．函数图象所有对称中心为，D．函数的单调递增区间为，【答案】C【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D错误.【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误；对于B，由正切函数定义域可得，解得；可得的定义域为，即B错误；对于C，利用对称中心方程可得，解得,因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误；对于D，根据正切函数单调性可得，解得，所以函数的单调递增区间为，可得D错误.【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间.【详解】令，解得，所以函数的增区间是..【变式3】（24-25高一下·云南德宏·开学考试）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）.A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可.【详解】由题意得，，即，把点代入方程可得，所以，，即，，因为，所以，，因为，经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为，．【变式4】（多选）.（24-25高一下·云南大理·开学考试）已知函数，则下列结论错误的是（   ）A．的最小正周期为B．图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象【答案】BBC【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D.【详解】对于A：因为，所以周期，故A错误；对于B：令，得，时可得该函数图象的一个对称中心为，故B错误；对于C：由，解得，的单调递增区间为，故C错误；对于D：把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到，故D错误，BC．【变式5】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论错误的是（  ）A．B．C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称【答案】BCD【分析】求出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可判断A选项；由结合的取值范围可求出的值，可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，则，A对；对于B选项，因为，可得，所以，，则，因为，故，B错；对于C选项，由AB选项可知，当时，，所以，函数在上单调递增，C对；对于D选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，D对.CD..【变式6】（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数．(1)求函数的单调增区间；(2)求函数的对称轴方程和对称中心；(3)当时，求的值域．【答案】(1)(2)对称轴方程：，；对称中心：，(3)【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可；（2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果；（3）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可．【详解】（1）由，所以函数的单调增区间是．（2）根据，可得对称轴为，；根据，解得，，因为函数为，所以对称中心为，；（3）由，可得，从而，所以．所以的值域为．002