初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘除运算教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘除运算教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，作业布置，板书设计等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1.经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力。
2.理解有理数乘法的法则，并能熟练运用法则进行有理数的乘法运算。
3.理解倒数的概念，能判断两个有理数是否互为倒数。
【教学重点】掌握有理数的乘法法则，并体会法则的合理性；会进行有理数的乘法运算。
【教学难点】会进行有理数的乘法运算。
【教学过程】
一、创设情境，新课导入
[设计意图]
通过实际问题，自然地引出本节课要解决的问题，为下面的教学做好准备。[情境引入]
甲水库的水位每天升高3cm，乙水库的水位每天下降3cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为3+3+3+3=3×4=12（cm）；
乙水库的水位变化量为（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4=-12（cm）。
结合实际问题，类比乘法的意义，我们发现：一个负数乘一个正整数（设为n）的积，可以看作是这个负数重复相加n次的和。
那么正数与负数相乘、负数与负数相乘又该如何理解和计算呢？接下来的学习，我们将从中寻找答案。[教学建议]
教学时可引导学生结合小学时学习乘法的过程，即加数相同的加法可以用乘法来表示进行计算。
二、问题引入，自主探究
[设计意图]
发散学生思维，通过赋予式子实际意义或结合运算律，培养学生解决问题的能力探究点 有理数乘法法则
问题1 我们略微改变下活动一中的问题：若乙水库的水位每天下降4cm,预计经过3天乙水库的总变化量是多少？
（-4）+（-4）+（-4）=（-4）×3=-12（cm）。
问题2 结合问题1，你认为3×（-4）的结果应该是多少？（-3）×（-4）呢？你是怎么做的？请说一说你的理由。
有理数的乘法要满足交换律，就要有3×（-4）=（-4）×3=-12；
同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有
问题3 请你仿照上面的方法说明（-2）×（-5）=10。
问题4 再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。
教师总结：
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。
例 （教材P50例1）计算：
教师总结：
非零有理数乘法的运算步骤：
（1）确定积的符号；（2）写出各因数的绝对值；（3）计算绝对值的积。
问题5 观察例题（1）中的因数和结果，你有什么发现？
一个数乘-1，所得的积就是它的相反数。
问题6 观察例题（4）中的因数和结果，猜测两个因数的关系。
该式两个数的乘积为1，与我们小学学过的倒数相近。
概念引入：
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。
[对应训练]
教材P50随堂练习。
2.写出下列各数的倒数：
[教学建议]
问题1旨在发散学生思维，可从多个方面进行探究，学生可能会结合之前加法运算律适用于有理数的情况，猜测乘法运算律同样适用，只要逻辑合理，都应鼓励。
[教学建议]
在归纳有理数乘法法则时要关注所有情况，让学生从中体会分类的思想方法。
法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”而言的，不可运用到加法运算和多个有理数的乘法运算中去。
[教学建议]
根据法则，应先确定结果的符号，再将绝对值相乘，运算熟练后，不必要求学生书写每一步的理由。
[教学建议]
引出倒数概念的同时，要注意与相反数的概念进行比较，避免混淆。倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数。
三、重点突破，提升探究
[设计意图]
应用有理数的乘法法则解决实际问题，使学生更深刻地体会有理数乘法的意义，提高运算能力与应用意识。例 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃，登高3km后，气温有什么变化？
解：（-6）×3=-18（℃）。因此，登高3km后，气温下降18℃。
例题变式 在例题的条件下，若登山队已经到达山顶，当他们下山2km后，此处的气温相对山顶的气温有什么变化？
解：（-6）×（-2）=12（℃）。因此，下山2km后，气温上升12℃。
[对应训练]
在实验室中，常采用水冷却、真空冷却等方式将物体温度降下来。现采用真空冷却的方式对某种标本稳定降温，每持续冷却1min，温度的变化量为-2℃，若持续冷却4min后，温度的总变化量是多少摄氏度？
解：（-2）×4=-8（℃）。因此，持续冷却4min后，温度的总变化量是-8℃。[教学建议]
在例题变式中，可将下山2km理解成登山-2km，也可将“每登高1km气温的变化量为-6℃”理解成“每下山1km气温的变化量为6℃”，得6×2，用两种方式让学生更深刻地理解有理数的乘法。
四、随堂训练，课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.请描述有理数乘法法则。
2.如何判断两个数互为倒数？
【作业布置】
教材P55～57习题2.3第1，2，9，10题。
第2课时 有理数乘法的运算律
【教学目标】
1.经历探索多个有理数相乘的积的规律的过程，感受数学方法的多样性，发展观察、归纳、猜测、验证等能力，能利用总结出的规律进行多个有理数的乘法运算。
2.能熟练运用乘法的运算律简化乘法运算，并会用文字语言和符号语言表述乘法运算律。
3.在运用乘法运算律简化乘法运算的过程中，培养学生良好的思维习惯。
【教学重点】多个有理数相乘的积的规律的探究。
【教学难点】根据具体式子选择合适的运算律简便运算。
【教学过程】
一、提出问题，新课导入
[设计意图]
回顾小学学过的乘法运算律并提出问题，由旧知过渡到新知。
[问题引入]
问题1 在小学里，我们都知道，数的乘法满足乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律，例如：
3×5=5×3，（3×5）×2=3×（5×2），3×（5+2）=3×5+3×2。
引入负数后，在有理数的乘法运算中，这三种运算律是否还能成立呢？
问题2 我们知道两个有理数相乘，同号得正，异号得负，比如（-3）×5的积是负数，那么如果是超过两个有理数相乘呢？比如（-3）×5×（-2），它的积的符号是什么呢？
带着这两个问题，我们一起走进本课时的学习。[教学建议]
教师带领学生具体回顾小学所学习的乘法运算律，并对问题2中的计算结果的符号进行猜想。
二、问题引入，自主探究
[设计意图]
先按照运算顺序计算出结果，再结合问题，类比两数相乘的探究过程，得出多个有理数相乘的一般性规律。
[探究点1] 多个有理数相乘
例1（教材P50例2）计算：
问题1 对例1（1）式子进行一些改编，得到下面一些式子，观察这些式子，判断它们的积的符号。
[教学建议]
教学时，可让学生回忆小学乘法同级运算的计算顺序，结合有理数乘法法则完成例1。再将例1两个算式的结果作为学生思考下面问题的实例，鼓励学生通过观察，用自己的语言表述所发现的规律，最后用先确定结果的符号再将绝对值相乘的方法进行计算，与例1的计算过程相比较，感受算法的不同。
[设计意图]
[设计意图]通过具体例子验证乘法运算律在有理数范围内仍然成立，并运用乘法运算律进行乘法的计算。问题2 几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？与同伴进行交流。
因此，利用上述性质，我们可以把多个有理数相乘的计算简单化，即先判断积的符号，再将各因数的绝对值相乘。
[对应训练]
教材P52随堂练习第1题。
探究点2 有理数乘法的运算律
问题1 根据有理数的乘法法则，乘法的运算律在有理数范围内仍然成立，下面有三组引入了负数的算式，请你计算它们的结果，验证乘法运算律的适用范围。
计算结果一致，由此可以验证：乘法的运算律在有理数范围内仍然成立。
问题2 请你用字母表示乘法的相关运算律。
乘法交换律：a×b=b×a；
乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）；
乘法对加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
注意：这里a，b，c分别表示任一有理数。
例2（教材P51例3）计算：
比较两种解法，说说它们的区别，并与同伴进行交流。
解法一先做括号内的加减运算，再做乘法运算。
解法二运用了乘法对加法的分配律，先做乘法运算，再做加减运算。
解法二不需要通分，运算量更小，过程相对更简便。
[对应训练]
教材P52随堂练习第2题。
[教学建议]
乘法运算律符号语言的表达学生可能会有困难，教师应有充分的预见性，适时加以提示和引导，让学生正确地用字母表示出乘法运算律。
[教学建议]
鼓励学生独立计算出结果，并与同伴进行交流，通过比较不同算法，体会运算律简化运算的作用。例2（2）也可采用先确定结果符号，再将绝对值相乘的方法计算，在几个正分数相乘时用运算律简化运算更方便学生理解和接受。
三、重点突破，提升探究
[设计意图]
通过变式练习，让学生灵活掌握运算律的使用场景，加深对乘法对加法的分配律的理解和掌握。
[对应训练]
教材P56习题2.3第7题。[教学建议]
提醒学生：（1）运用乘法运算律进行计算，是为了简化运算，它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小。（2）在使用乘法交换律时，交换因数的位置，要连同因数的性质符号一起交换。（3）在使用乘法对加法的分配律时，括号外面的数要乘括号里的每一个数，不要漏乘。
四、随堂训练，课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.多个有理数相乘有哪些计算方法？如何判断积的符号？
2.乘法的运算律有哪些？你能否用数学符号把它们表示出来？
3.在乘法计算中，如何运用乘法的运算律来简化运算？
【作业布置】
教材P55习题2.3第3，11题。
【板书设计】
第3课时 有理数的除法
【教学目标】
1.理解有理数除法的法则，体会除法与乘法的关系。
2.会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
3.经历利用已有知识解决新问题的探究过程。
4.通过学习有理数的除法运算，体会类比、转化的数学思想。
【教学重点】会进行有理数的除法运算；会求有理数的倒数。
【教学难点】理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系。
【教学过程】
一、回顾旧知，新课导入
[设计意图]
利用除法是乘法的逆运算，将有理数的除法转化为乘法来解决问题。
[回顾引入]
我们知道，（-3）×4=-12。
如果有人这样问：“一个数与4相乘，积是-12，这个数是多少？”你会怎么回答呢？
这个问题写成算式为（？）×4=-12（乘法算式）。
想一想，小学里学过的除法的意义是什么？
除法是乘法的逆运算。
通过前面课时的学习，我们发现，小学学过的一些运算法则在有理数范围内同样适用，而乘法与除法互为逆运算在有理数范围内也成立。
因此上面的问题还可以写成另一种算式形式：（-12）÷4=（？）（除法算式）。
由（-3）×4=-12，我们有（-12）÷4=-3。
今天我们将学习有理数的除法。[教学建议]
也许学生会利用小学学过的“除以一个数等于乘它的倒数”的法则进行运算，对此教师也应肯定并明确此法则在有理数范围内同样适用。
二、问题引入，自主探究
[设计意图]
利用乘法与除法互为逆运算的关系，让学生把除法运算转化为乘法运算，通过具体实例，归纳、猜想出有理数除法法则。[探究点1] 有理数的除法法则（一）
问题1 利用有理数的乘法法则计算下列各式：
问题2 根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
问题3 观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？换一些算式再试一试，并与同伴进行交流。
法则引入：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。
注意：0不能作除数。[教学建议]
类比有理数乘法运算，可以先确定结果的符号，再将绝对值相除。在小学，学生已经知道0不能作除数，当数的范围扩大到有理数时，0仍然不能作除数，学生知道这一规定即可，教师不必说明理由。
[设计意图]
探究有理数倒数的求法，并让学生通过观察发现规律，思考得出除法的另一个法则，为接下来熟练掌握有理数除法的计算方法奠定基础。例1（教材P53例4）计算：
[对应训练]
教材P54随堂练习。
探究点2 有理数的除法法则（二）
问题1 学习了有理数的除法后，怎样求一个有理数的倒数？
用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
问题2比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？换一些算式再试一试，并与同伴进行交流。
比较发现，每组的两个算式的计算结果相同，由此我们可以得出有理数除法的另一个运算法则：
例2（教材P54例5）计算：
问题3 将除法转化为乘法有什么好处？
将除法转化为乘法后可以运用乘法的运算律进行简便运算。
问题4有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较，有哪些相同点和不同点？与同伴进行交流。
数的范围扩大了，增加了负数；运算法则在原有法则的基础上补充了符号变化的法则；小学数学中的乘法的运算律全都适用于有理数的乘法；同级运算都是按照从左到右的顺序进行。
[对应训练]
教材P55习题2.3第4，5题。[教学建议]
由学生按照有理数除法法则自行计算，对于第（4）小题，教师可适当强调同级运算的顺序是从左到右依次计算。
[教学建议]
学生在小学已经学过“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，通过观察、比较，引导学生发现在非负数范围内成立的法则在有理数范围内也成立.除法的两个运算法则本质上是一致的，可根据具体情况灵活选用。
求一个有理数的倒数的方法不止一种，教师可鼓励学生发散思维找出其他方法。
[教学建议]
完成例题后，可引导学生总结：根据算式中所给数的不同合理选用两个法则，整数的除法先确定符号，再把两数绝对值相除；有分数或小数参与的运算，将除法转化为乘法，确定结果符号后再计算，一般情况下这样做会比较简便。
三、重点突破，提升探究
[设计意图]
通过有理数的乘除混合运算来提高学生的运算能力。例 计算：
分析：①有理数的乘除混合运算按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的。②乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。③有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用乘法的运算律简化运算。
[教学建议]
巧记：
乘除混合有理数，
统一为乘第一步，
乘法“三律”能简便，
负因个数定正负。
四、随堂训练，课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数的除法法则是什么？用字母怎么表示呢？
2.如何求一个有理数的倒数？
3.有理数除法的运算步骤有哪几步？分别什么呢？
【作业布置】
教材P56习题2.3第6，8题。