2.3.2有理数乘法的运算律（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

幻灯片 16：有理数乘法的运算律乘法交换律：文字表述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。符号表述：若\(a\)，\(b\)为有理数，则\(a×b = b×a\) 。举例：\((-3)×5 = 5×(-3)\)，计算\((-3)×5\)，根据有理数乘法法则，异号得负，绝对值相乘\(\vert -3\vert×\vert5\vert = 3×5 = 15\)，所以\((-3)×5 = -15\)；计算\(5×(-3)\)，同样异号得负，绝对值相乘\(\vert5\vert×\vert -3\vert = 5×3 = 15\)，所以\(5×(-3)= -15\)，验证了乘法交换律在有理数乘法中成立。在实际计算中，如计算\(\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})\)，若交换因数位置变为\((-\frac{9}{4})×\frac{2}{3}\)，计算过程可能会更简便，结果都是\(-\frac{3}{2}\)。乘法结合律：文字表述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。符号表述：对于有理数\(a\)，\(b\)，\(c\)，有\((a×b)×c = a×(b×c)\) 。举例：计算\([(-2)×3]×(-5)\)，先算\((-2)×3\)，异号得负，\(\vert -2\vert×\vert3\vert = 6\)，即\((-2)×3 = -6\)，再算\((-6)×(-5)\)，同号得正，\(\vert -6\vert×\vert -5\vert = 30\)，结果为\(30\)；而计算\((-2)×(3×(-5))\)，先算\(3×(-5)\)，异号得负，\(\vert3\vert×\vert -5\vert = 15\)，即\(3×(-5)= -15\)，再算\((-2)×(-15)\)，同号得正，\(\vert -2\vert×\vert -15\vert = 30\)，结果也为\(30\)，说明乘法结合律在有理数乘法中成立。当计算多个有理数相乘时，合理运用乘法结合律可以简化运算，比如计算\((-2)×3×(-5)×(-4)\)，可以先将\((-2)×(-5)\)结合，因为同号得正，\(\vert -2\vert×\vert -5\vert = 10\)，然后再与\(3×(-4)\)（结果为\(-12\)）相乘，\(10×(-12)= -120\)，这样比依次相乘计算更简便。乘法对加法的分配律：文字表述：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。符号表述：若\(a\)，\(b\)，\(c\)为有理数，则\(a×(b + c)= a×b + a×c\) 。举例：计算\(5×(3 + (-7))\)，根据有理数加法法则，先算括号里\(3 + (-7)= -4\)，再算\(5×(-4)\)，异号得负，\(\vert5\vert×\vert -4\vert = 20\)，结果为\(-20\)；而按照乘法分配律计算，\(5×(3 + (-7)) = 5×3 + 5×(-7)\)，\(5×3 = 15\)，\(5×(-7)\)异号得负，\(\vert5\vert×\vert -7\vert = 35\)，即\(5×(-7)= -35\)，\(15 + (-35)= -20\)，两种方法结果一致。在实际应用中，比如计算\((-6)×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\)，运用乘法分配律，\((-6)×\frac{1}{2}-(-6)×\frac{1}{3}\)，\((-6)×\frac{1}{2}\)异号得负，\(\vert -6\vert×\vert\frac{1}{2}\vert = 3\)，即\((-6)×\frac{1}{2}= -3\)，\((-6)×\frac{1}{3}\)异号得负，\(\vert -6\vert×\vert\frac{1}{3}\vert = 2\)，即\((-6)×\frac{1}{3}= -2\)，\(-3 - (-2)= -3 + 2 = -1\)，大大简化了计算过程。幻灯片 17：典型例题 4 - 运用乘法运算律简化计算例题：计算\((-\frac{3}{4})×(-8 + \frac{2}{3}-\frac{4}{9})\)分析：本题可运用乘法对加法的分配律进行计算，将\(-\frac{3}{4}\)分别与括号内的每一项相乘，再把所得的积相加。解答：\((-\frac{3}{4})×(-8 + \frac{2}{3}-\frac{4}{9}) = (-\frac{3}{4})×(-8)+(-\frac{3}{4})×\frac{2}{3}+(-\frac{3}{4})×(-\frac{4}{9})\)计算\((-\frac{3}{4})×(-8)\)，同号得正，\(\vert -\frac{3}{4}\vert×\vert -8\vert=\frac{3}{4}×8 = 6\)；计算\((-\frac{3}{4})×\frac{2}{3}\)，异号得负，\(\vert -\frac{3}{4}\vert×\vert\frac{2}{3}\vert=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)；计算\((-\frac{3}{4})×(-\frac{4}{9})\)，同号得正，\(\vert -\frac{3}{4}\vert×\vert -\frac{4}{9}\vert=\frac{3}{4}×\frac{4}{9}=\frac{1}{3}\)；所以原式\(= 6-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)通分计算：\(6=\frac{36}{6}\)，\(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\)，\(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\)则\(\frac{36}{6}-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{36 - 3+2}{6}=\frac{35}{6}\)。例题：计算\((-25)×0.37×4\)分析：本题可运用乘法交换律和结合律，先交换\(0.37\)与\(4\)的位置，再将\((-25)\)与\(4\)结合相乘，这样可以简化计算。解答：\((-25)×0.37×4 = (-25)×4×0.37\)（乘法交换律）计算\((-25)×4\)，异号得负，\(\vert -25\vert×\vert4\vert = 100\)，即\((-25)×4 = -100\)；再计算\(-100×0.37 = -37\)。幻灯片 18：课堂练习 3 - 乘法运算律应用练习用简便方法计算：\(32×(-\frac{13}{15})\)\((\frac{7}{9}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})×(-36)\)\((-8)×(-12)×(-0.125)×(-\frac{1}{3})×(-0.001)\)已知\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -4\)，求\(a×(b + c)\)与\(a×b + a×c\)的值，并比较大小。答案：\(32×(-\frac{13}{15})=(30 + 2)×(-\frac{13}{15}) = 30×(-\frac{13}{15})+2×(-\frac{13}{15})=-26-\frac{26}{15}=-27\frac{11}{15}\)\((\frac{7}{9}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4})×(-36)=\frac{7}{9}×(-36)-\frac{5}{6}×(-36)+\frac{3}{4}×(-36)= -28 + 30 - 27=-25\)\((-8)×(-12)×(-0.125)×(-\frac{1}{3})×(-0.001)=[(-8)×(-0.125)]×[(-12)×(-\frac{1}{3})]×(-0.001)=1×4×(-0.001)= -0.004\)当\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -4\)时，\(a×(b + c)= -2×(3 + (-4))=-2×(-1)=2\)\(a×b + a×c = (-2)×3+(-2)×(-4)= -6 + 8 = 2\)所以\(a×(b + c)=a×b + a×c\)幻灯片 19：课堂小结（续）乘法运算律：乘法交换律：\(a×b = b×a\) 。乘法结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\) 。乘法对加法的分配律：\(a×(b + c)= a×b + a×c\) 。运算律作用：在有理数乘法运算中，合理运用运算律可以简化计算过程，提高运算效率，减少计算错误。通过交换因数位置、结合因数相乘以及分配因数与和相乘等方式，将复杂的乘法运算转化为更易于计算的形式。例如在多个有理数相乘时，利用乘法交换律和结合律将能凑整或便于计算的因数组合在一起；在一个数与多个数的和相乘时，运用乘法对加法的分配律展开计算。幻灯片 20：作业布置（续）利用乘法运算律简便计算教材上相关有理数乘法题目，包括两数相乘与多个有理数相乘且涉及运算律应用的题型。已知\(x\)，\(y\)满足\(\vert x - 2\vert+(y + 3)^2 = 0\)，求\(x×(y - \frac{1}{2})\)的值，尝试运用乘法运算律简化计算过程。某水果店购进苹果和香蕉两种水果，苹果每千克进价\(a\)元，购进\(m\)千克；香蕉每千克进价\(b\)元，购进\(n\)千克。如果将这两种水果都以每千克\(\frac{a + b}{2}\)元的价格卖出，该水果店是盈利还是亏损？用所学有理数乘法及运算律知识进行分析并计算盈利或亏损的金额（用含\(a\)，\(b\)，\(m\)，\(n\)的式子表示）。2024北师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 经历探索有理数乘法运算律的过程,理解有理数乘法运算律。2. 能熟练运用有理数乘法运算律简化运算。重点：理解有理数的乘法依然满足交换律、结合律、 分配律，并会利用它们简化运算。难点：会用分配律的逆运算来简化计算。1. 有理数的乘法法则：2. 小学学过乘法的哪些运算律：两数相乘，同号得正，任何数与 0 相乘，积仍为 0。异号得负，并把绝对值相乘。乘法交换律、结合律和分配律。例1 计算(1) (-4)×5×(-0.25)； 解：(1) 原式＝[-(4×5)]×(-0.25) ＝(-20)×(-0.25)＝+(20×0.25)＝+5有没有更加简便的方法？探究1：观察下列各式，它们的积是正的还是负的？2×3×4×(-5)；2×3×(-4)×(-5)；2×(-3)×(-4)×(-5)；(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；2×3×4×(-5)2×3×(-4)×(-5)2×(-3)×(-4)×(-5)(-2)×(-3)×(-4)×(-5)-12011202-12031204思考：（1）几个不为 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？（2）有一个因数为 0 时，积是多少？ 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是_____时，积为正；负因数的个数是_____时，积为负。奇数偶数奇负偶正有一个因数为 0 时，积是 0。你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．几个数相乘，如果其中有因数为 0，那么积等于____.= 007.8×(-8.1)×0×(-19.6) 如图所示，有 5 张写着不同有理数的卡片，从中抽出几张卡片，并将这几张卡片上的数字相乘。2-34-50(2) 若抽出三张，则哪三张卡片所得的积最小，最小是多少？ (1) 若抽出两张，则哪两张卡片所得的积最大，最大是多少？ (-3)×(-5) = 152×4×(-5) = -40 1. 计算下列各题，并比较它们的结果。（1）(-7)×8 与 8×(-7)；（2）[(-4)×(-6)]×5 与 (-4)×[(-6)×5]；（3）(-4)×[(-3) + ] 与 (-4)×(-3)＋(-4)× 。2. 通过第1题的计算，你有什么发现？说出你的想法。==== -56= 120= 18 有理数的运算中，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律还成立。思考：如何用字母表示乘法运算律？乘法交换律：ab＝ba；乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac。例3 计算：用两种方法计算解法1：＝10。解法2： ＝8＋6－4＝10。比较两种解法，说说它们的区别，并与同伴进行交流。1. 用两种方法计算. 解法1：原式 =＝－6 + 1 + 3＝－2.注意带分数可化为假分数注意不要漏掉符号拆分法解法2：原式 =＝－2.知识点1 多个有理数相乘 D  B  DA.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个4.（12分）计算：      知识点2 有理数的乘法运算律 AA.乘法交换律、乘法结合律B.乘法结合律、乘法对加法的分配律C.乘法交换律、乘法对加法的分配律D.三种乘法运算律 DA.加法结合律 B.乘法结合律C.乘法交换律 D.乘法对加法的分配律 有理数乘法法则乘法交换律乘法结合律三个数相乘，先把_________相乘，或者先把后两个数相乘，____相等一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同________相乘，再把积_____两个数相乘，交换_____的位置，____相等相加这两有理数乘法运算律baa(bc)ab＋ac因数个数前两个数积积乘法对加法的分配律必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！