预备知识13 幂函数-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质；
2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．
知识点一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
知识点二：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
2、五个幂函数的性质
3、拓展：
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
对点特训一：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A．B．2C．4D．
例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ．
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是幂函数，则 ．
对点特训二：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ）
A．2或B．C．2D．或
例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则 .
对点特训三：求幂函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足：
①在区间上单调递增；
②对任意的，都有.
求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数在区间，上的值域．
2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足：
①在区间上为减函数；
②对任意的，都有.
求幂函数的解析式，并求当时，的值域.
对点特训四：幂函数的图象问题
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接）
对点特训五：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 .
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
精练
1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
2．（20-21高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ．
对点特训六：幂函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
精练
1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
对点特训七：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 .
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足的实数a的取值范围．
精练
1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是 .
2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)若不等式成立，求实数的取值范围.
1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A．B．2C．4D．
2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（ ）
A．B．3C．1或D．或3
6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的定义域是D．为偶函数
三、填空题
10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
四、解答题
11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
12．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称．
(1)求的值及函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的值域．定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在单调递增
在上单调递增
在单调递增
在上单调递减
在上单调递减
定点