预备知识11 函数的单调性与最大（小）值-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力
2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养
3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing functin).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing functin).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值
对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上是增函数.
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.
(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.
对点特训二：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．和
例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
对点特训三：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是
2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)若，求的取值范围．
对点特训四：利用函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ．
例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围 .
精练
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 .
2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ．
对点特训五：求函数最值（值域）
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ．
例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是 .
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是 ．
2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是
对点特训六：二次函数（含参数）最值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ．
例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的最小值是 .
例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最大值等于 ．
精练
1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 .
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数，求的最小值 .
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数，的值域是 .
对点特训七：根据最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ．
例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1B．1C．2D．3
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
对点特训八：恒成立（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．3
例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数，其中.
(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．
例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数.
(1)解不等式；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数.
(1)求；
(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；
(3)设，若在时有解，求的取值范围.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
一、单选题
1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，若有最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“，都有”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）函数，其中．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，f（x）的最小值为0，求a的值．
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若，对于，不等式恒成立，求实数c的取值范围．函数
单调性
一次函数（）
当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（）
当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（）
对称轴为
当时，在上单调递减；
在上单调递增
当时，在上单调递增；
在上单调递减
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减