预备知识10 函数的表示法 -2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法
2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
知识点二：求函数解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
知识点三：分段函数
对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．
注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
知识点四：函数的图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
对点特训一：函数的三种表示法的应用
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合.
故选：C.
例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：
则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据表格的函数表示得，进而求目标式函数值.
【详解】由表知：，则.
故答案为：2
精练
1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为:
设，的值域为M，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域.
【详解】因为满足，所以，
由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以，
故选：B.
2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．任意一个函数都可以用解析式表示
B．函数，的图象是直线上一些孤立的点
C．表格可以表示y是x的函数
D．图象
可以表示函数的图象
【答案】BC
【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可.
【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误；
对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确；
对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确；
对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误.
故选：BC
对点特训二：求函数的解析式---待定系数法
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则= .
【答案】
【分析】设，代入，可得解析式.
【详解】因为是R上的减函数，所以设，
故，
所以，解得或，
又，得，所以.
故答案为：
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知是二次函数，若，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据系数相等得到方程组，求出的值即可；
（2）根据二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）设，
由，得，
所以，
由，
得，
即，即，
所以，解得，
所以；
（2）函数的对称轴为，
所以.
精练
1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已已知是一次函数，且，求 .
【答案】或
【分析】利用待定系数法求解．
【详解】设，
则，
，
或，
或．
故答案为：或.
2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数满足，且，.
(1)求函数的解析式；
(2)若，比较与的大小.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设出二次函数代入，以及对称轴，求解即可；
（2）依题意，分类讨论，得到结果.
【详解】（1）设二次函数.
由，得图象的对称轴为，
所以，解得.
由得，，
可得.
由得，，解得.
所以.
（2）
，
当或时，，此时.
当时，，此时.
当或4时，，此时.
对点特训三：求函数的解析式---换元法
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
例题2．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数，则 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得.
【详解】令，则，
∴，故，
∴.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B
2．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（ ）
A．B．
C．的最小值为1D．的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
题型四：求函数的解析式---凑配法
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用配凑法求解析式即可.
【详解】，且，所以，.
故选：B.
例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则（ ）．
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．
【详解】函数，
所以，．
故选：A．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且，则（ ）
A．7B．5C．3D．4
【答案】A
【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.
【详解】,
.
,解得．
故选：A.
2．（22-23高一上·福建厦门·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
对点特训五：求函数的解析式---方程组法
典型例题
例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令为，则，然后与联立可求出
【详解】令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
例题2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【答案】
【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式
【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以，
故答案为：
精练
1．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.
【详解】因为，所以，
联立可得，所以，，
因为，所以，则，
所以.
故选：C.
2．（23-24高一上·全国·课后作业）若，则 ．
【答案】
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
对点特训六：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
例题2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，则的值为 .
【答案】/
【分析】
利用的解析式，依次计算与即可得解.
【详解】
因为，
所以,
则.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，则（ ）
A．B．-3C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选:C.
2．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数，则的值为 ；
【答案】1
【分析】
代入即可求解.
【详解】,,
故答案为：1
对点特训七：分段函数图象
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.
【答案】(1)，
(2)作图见解析
【分析】（1）将以及代入解析式，即可得出答案；
（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.
【详解】（1）由已知可得，，.
（2）在坐标系中描点，，，，，
作出的简图
精练
2．（23-24高一·山西·期中）设．
（1）在图的直角坐标系中画出的图像；
（2）若，求t值；
（3）求函数的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）或，或；（3）-1.
【分析】（1）根据解析式作出函数图像即可；
（2）分别将时， 时，当时的解析式代入方程，即可求得答案.
（3）根据的图像，即可求得最小值.
【详解】（1）的图像如下边：
（2）当时，，∴；
当时，，解得：；
当时，，∴，
综上所述：或，或．
（3）由图可知：当时，，
所以函数的最小值为．
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
，
所以.
故选：A
2．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分，，求出解析式，然后可知图象.
【详解】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.
故选：A．
3．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，.
故选：B.
4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，分和两种情况分别求解即可.
【详解】由已知得：
当时，，解得：，或（舍），
当时，，解得：，
综上：的值为或,
故选：C.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
【详解】因为，所以当时，，故排除ABC，
又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确.
故选：D.
6．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意取特值点分析判断.
【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B.
故选：A.
7．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】换元法求函数解析式即可.
【详解】设，则，
所以，
故，
故选：C
8．（23-24高一上·上海奉贤·期末）某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（ ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．）
A．，；B．，；
C．，；D．，.
【答案】A
【分析】根据条件知当时，，再对选项B、C、D逐项分析，即可判断出选项B、C、D不正确，即可得出结果.
【详解】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，，时，，时，，时，，所以选项A正确，
对于选项B，当时，，所以选项B错误，
对于选项C，当时，，所以选项C错误，
对于选项D，当时，，所以选项D错误，
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（ ）
A．B．的最小值为
C．的定义域为D． 的值域为
【答案】CD
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得.
【详解】依题意，，则，A错误；
当时，，当且仅当时取等号，B错误；
在中，，解得，因此的定义域为，C正确；
显然，，于是，因此 的值域为，D正确.
故选：CD
三、填空题
10．（23-24高一上·广东韶关·期中），用表示中的最小者，记为，则函数的最大值为 .
【答案】/
【分析】画出函数的图象，结合图象即可求得结果.
【详解】如图所示，
，即，
，即，
由图可知，，
所以的图象如图所示，
所以当时，取得最大值为.
故答案为：.
四、解答题
11．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算；
（2）分，分别求解，注意检验即可得解.
【详解】（1）因为，，
故，解得，故，
所以，.
（2）因为，
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
综上，.
12．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定设上课开始分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与的函数关系为：．
(1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)若一个数学难题，需要及以上的接受能力（即）以及分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
【答案】(1)开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；
(2)不能.
【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；
（2）分段求解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意可知，当时，，
所以当时，的最大值为，
因为当时，，
当时，，当时，.
所以开讲后分钟接受能力最强，且能维持分钟.
（2）当时，，
解得，
当时，，满足要求，
当时，，
解得，
故分钟分钟，
老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．
优点
缺点
联系
解析法
①简明、全面的概括了变量之间的关系；
②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；
③便于利用解析式研究函数的性质；
①并不是所有的函数都有解析式；
②不能直观地观察到函数的变化规律；
解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
图象法
①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；
②可以直接应用图象来研究函数的性质；
①并不是所有的函数都能画出图象；
②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；
列表法
①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；
①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；
②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；
x
1
2
3
x
1
2
3
2
3
1
1
3
2
x
0
y
1
0
2
x
有理数
无理数
y
1