第09讲 函数的概念及其表示 -【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
函数的概念
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，x∈A.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
4．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
5．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)配方法；
(3)不等式法；
(4)单调性法；
(5)换元法；
(6)数形结合法.
【题型1 函数的概念的理解】
【例1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．A=B=R，对应关系f:x→y=1x
B．A=B=R，对应关系f:x→y=2x
C．A=B=R，对应关系f:x→y=±x
D．A=B=N，对应关系f:x→y=x2
【变式1.1】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列图象中，不能作为函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1.2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合A=−1,1,2，B=−1,12,1,2,4，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是（ ）
A．y=x+1B．y=−2xC．y=x2+1D．y=2x
【变式1.3】（24-25高一上·山西大同·期中）下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是（ ）
A．y=x−3+2−x
B．y2=9x
C．y=2xx≥11−2xx≤1
D．
【题型2 求函数的定义域】
【例2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数f(x)=x+3−1x的定义域是（ ）
A．RB．[−3,+∞)C．(−∞,0)∪(0,+∞)D．−3,0∪(0,+∞)
【变式2.1】（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数fx2的定义域为1,2，则函数f2x+1的定义域为（ ）
A．12,1B．0,32C．1,2D．1,4
【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数y=fx的定义域为−2,3，则函数y=f2x+1x+1的定义域为（ ）
A．−32,1B．−32,−1∪−1,1C．−3,7D．−3,−1∪−1,7
【变式2.3】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数f(x)=11x−2，则函数y=f(x)−f(13−x)的定义域为（ ）
A．2