第12讲 幂函数【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
幂函数的概念
1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
2．幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
【题型1 对幂函数的概念的理解】
【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=x+12B．y=x+1xC．y=x4D．y=5x
【变式1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）在函数y=x−2，y=2x2，y=(x+1)2，y=3x中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【变式1.2】（24-25高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．α=1,3,12时，幂函数y=xα是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．y=2x2既是二次函数，又是幂函数
【变式1.3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=2xB．y=2x−1
C．y=(x+1)2D．y=3x2
【题型2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数fx=k+1x2k−1是幂函数.则f2=（ ）
A．13B．2C．12D．1
【变式2.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点2,14，则该函数的解析式为（ ）
A．f(x)=1x2B．f(x)=x2C．f(x)=x8D．f(x)=12x
【变式2.2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则（ ）
A．fx=x12B．fx=x2
C．fx=x32D．fx=x−12
【变式2.3】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数fx满足f(6)f(2)=4，求f(13)的值（ ）
A．3B．13C．4D．14
【题型3 根据函数是幂函数求参数值】
【例3】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数y=m2−9m+19xm−4的图象不过原点，则实数m的值为（ ）
A．0B．3C．6D．3或6
【变式3.1】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数y=m2−9m+19xm−4的图象不过原点，则实数m的值为（ ）
A．0B．3C．6D．3或6
【变式3.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知点M2,b在幂函数fx=b−1xn的图象上，则b+2n=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx=x1−2m2的图象过点2,2，则实数m=（ ）
A．12B．32C．32或−32D．12或−12
模块二
幂函数的图象与性质
1．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α0D．(0,+∞)
【变式4.1】（24-25高三上·福建·阶段练习）已知fx=xα是幂函数，则“α是正偶数”是“fx的值域为0,+∞”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4.2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数fx=x−m2+2m的定义域为R，且m∈Z，则m的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4.3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．fx=x2与gx=x3B．fx=x−1与gx=x−2
C．fx=x12与gx=x23D．fx=x−1与gx=x3
【题型5 幂函数的图象】
【例5】（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5.1】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）图中C1、C2、C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象，则指数α的值依次可以是（ ）
A．12，3，−1B．−1，3，12
C．12，−1，3D．−1，12，3
【变式5.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数y=x23的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5.3】（24-25高一上·北京·阶段练习）如图所示的曲线是幂函数f(x)=xa在第一象限内的图象．已知a分别取−1,1,12，2四个值，则与曲线C1,C2,C3,C4相应的a依次为（ ）
A．2,1,12,−1B．2,−1,1,12C．12,1,2,−1D．−1,1,2,12
【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】
【例6】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知幂函数fx=x4−mm∈N*为奇函数，且在区间0,+∞上单调递增，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或3D．3
【变式6.1】（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）若函数fx=m2−m−5xm2−4m+1为幂函数，且在区间0,+∞上单调递增，则m=（ ）
A．−2B．3C．−2或3D．2或−3
【变式6.2】（24-25高一上·四川成都·期中）幂函数y=xm2−2m−3m∈Z的图象关于y轴对称，且在0,+∞上是减函数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6.3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数y=m3−m+1x2+3m−2m2是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，则满足条件的不同m有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型7 比较幂值的大小】
【例7】（24-25高一上·天津·期中）已知a=250.3,b=140.3,c=14−0.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．ay1
【变式7.2】（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（ ）
A．760.7cC．c>b>aD．b>c>a
【题型8 利用幂函数的性质解不等式】
【例8】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数fx=3m2−m−1x3m−1是定义域上的奇函数，则满足fa+2(3−2a)−m5的实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)∪(23,32)B．(−∞,23)
C．(−1,23)∪(32,+∞)D．(0,32)
【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数fx=x4m−m22m∈Z在0,+∞上单调递增，且fx的图象关于y轴对称.
(1)求m的值及函数fx的解析式；
(2)若fa−2cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a
7．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数fx=x−12，则下列说法正确的是（ ）
A．fx是偶函数B．fx的图象恒在x轴上方
C．fx的图象经过原点D．fx是R上的减函数
8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知幂函数fx的图象经过点8,2，若f2a+7+f1−a2≤0，则实数a的取值范围是（ ）
A．−4,2B．−2,4
C．−∞,−2∪4,+∞D．−∞,−4∪2,+∞
二、多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（ ）
A．y=xB．y=x3C．y=3xD．y=x−1
10．（24-25高一上·吉林长春·期末）幂函数f(x)=m2+m−1x−m−1,m∈N∗，则下列结论正确的是（ ）
A．m=1B．f(−2)f(3)
C．当α=12时，fx2是偶函数D．当α=12时，f2(x)是奇函数
三、填空题
12．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数fx=xα图象经过点9,3，则f12= .
13．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知幂函数fx=m2−3m−3xm2+m−3在0,+∞上是减函数，则m的值为 ．
14．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数y=xa的部分图像，已知a分别取14,4,−4,−14这四个值，则与曲线C1､C2､C3､C4相应的a依次为 .
四、解答题
15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)⋅x2m−4在(−∞,0)上单调递减．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(1−2x)